2027年通化市高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）

这是一份2027年通化市高考数学倒计时模拟卷（含答案解析），共11页。试卷主要包含了如图，在中，，且，则，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；
③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
3．已知i是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
4．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，且，则（ ）
A．1B．C．D．
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A．10000立方尺 B．11000立方尺
C．12000立方尺 D．13000立方尺
7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为
A．2B．3C．D．
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（ ）
A．B．
C．D．
10．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A．B．C．D．
11．已知满足，，,则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．2
12．半正多面体(semiregular slid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
①的值可以为2；
②的值可以为；
③的值可以为；
14．函数的定义域为，其图象如图所示．函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论：
①；
②函数在内有且仅有个零点；
③不等式的解集为．
其中，正确结论的序号是________．
15．若实数，满足，则的最小值为__________．
16．在平面直角坐标系中,点在曲线：上,且在第四象限内．已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，求菱形的边长.
18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．
19．（12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，底面，且，为的中点.
（1）证明：；
（2）设点是线段上的动点，当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积.
20．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
21．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）已知函数，若的解集为．
（1）求的值；
（2）若正实数，，满足，求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.
【详解】
使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以①正确；
使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以②错误；
使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以③正确.
故选：C.
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.
2、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
3、D
【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果
【详解】
故选
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
4、D
【解析】
取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解.
【详解】
如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN，
则，，即为二面角的平面角，
过点B作于O，则平面ACD，
由，可得，，，
即点O为的中心，
三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，
，,
解得，
三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.
本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.
5、C
【解析】
由题可,所以将已知式子中的向量用表示，可得到的关系，再由三点共线，又得到一个关于的关系，从而可求得答案
【详解】
由，则
，即，所以，又共线，则.
故选：C
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.
6、A
【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．
故选A．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．
7、C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
8、D
【解析】
本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。
【详解】
根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，
因为，在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，，即，，
因为圆的半径为，是圆的半径，所以，
因为，，，，
所以，三角形是直角三角形，
因为，所以，，即点纵坐标为，
将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，
将点坐标带入双曲线中可得，
化简得，，，，故选D。
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。
9、A
【解析】
由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.
【详解】
由题意，2c＝8，则c＝4，
又，且a2+b2＝c2，
解得a2＝4，b2＝12.
∴双曲线C的方程为.
故选：A.
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.
10、C
【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.
【详解】
第一次循环：
第二次循环：
第三次循环：
第四次循环：
第五次循环：
第六次循环：
第七次循环：
第八次循环：
所以框图中①处填时，满足输出的值为8.
故选：C
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.
11、A
【解析】
根据向量投影的定义，即可求解.
【详解】
在上的投影为.
故选:A
本题考查向量的投影，属于基础题.
12、D
【解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.
【详解】
如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
该几何体的体积为，
故选：D.
本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、②③
【解析】
根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.
【详解】
如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合：，故，即或，
集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故所在的直线的倾斜角为，，故：，
解得，此时，，此时.
故答案为：②③.
本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.
14、①③
【解析】
利用奇函数和，得出函数的周期为，由图可直接判断①；利用赋值法求得，结合，进而可判断函数在内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
又，所以，即，
所以，函数的周期为.
对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；
对于②，，令，可得，得，
所以，函数在区间上的零点为和.
因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；
对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.
故答案为：①③.
本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．
15、
【解析】
由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.
【详解】
由约束条件先画出可行域，如图所示，由，即，当平行线经过点时取到最小值，由可得，此时，所以的最小值为.
故答案为.
本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解题方法.
16、
【解析】
先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.
【详解】
解:依题意设切点,
因为,
则,
又因为曲线在点处的切线为,
,解得,
又因为点在第四象限内,则,
.则
又因为点在切线上.
所以.
所以.
故答案为:
本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）1
【解析】
（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设，分别求得，和的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）四边形为菱形，
，
平面，
，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）设，在菱形中，由，
可得，，，
，
在中，可得，
由面，知，为直角三角形，可得，
三棱锥的体积，
，菱形的边长为1．
本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18、（1）（2）点在曲线外．
【解析】
（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；
（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即
（2）由题,点是曲线上的一点,
因为,所以,即,
所以点在曲线外.
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.
19、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）要证明，只需证明平面即可；
（2）以C为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求，并求其最大值从而确定出使问题得到解决.
【详解】
（1）连结AC、AE，由已知，四边形ABCE为正方形，则①，因为底面
，则②，由①②知平面，所以.
（2）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，所以，，，设，
，则，所以
，设，则
，所以当，即时，取最大值，
从而取最小值，即直线与直线所成的角最小，此时，
则，因为，，则平面，从而M到平面的
距离，所以.
本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
20、（1）（2）见解析
【解析】
（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；
【详解】
解：（1）设数列的公差为，∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴
，
∴.
本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当时,不等式可化为,得，无解；
②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故01时,不等式可化为,得x