湖北省圆创名校联盟2027届高三上学期入学考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知全集 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ,则 .
2. 若 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
3.已知向量 ，且 与 互相垂直，则实数
A. B. C. D. -5
【答案】A
【解析】已知 ,
则 .
由 与 互相垂直,得 ,即 ,
化简得 ,解得 .
4.若圆锥的轴截面是底边长为 4,顶角为 的等腰三角形,则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,则 .
所以该圆锥的侧面积为 .
5.已知 是椭圆 的左、右焦点, 为 上一点,且 , ,则 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 .
在 中,由三角形内角和得 .
由正弦定理得 ,即 .
由椭圆定义得 ,即 ,所以 .
由 及椭圆离心率 ,
得 .
6.已知函数 的部分图象如图所示, 是图象与 轴的交点,且 . 则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知, 点的横坐标为 ,则 ,所以 .
因为 ,所以 ,得 .
因为 ,所以 . 将 点坐标代入函数,得 ,即 .
所以 ,即 . 因为 ,所以 .
7.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 . 过点 作直线交 于 ， 两点，分别过 作 的切线，两切线交于点 . 若 ，则直线 的斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设直线 的斜率为 .
设过点 的切线 的斜率为 ,方程为 .
联立 ，消去 得 . 由 ，得 .
所以直线 的方程为 ,化简得直线 的方程为 .
同理可得直线 的方程为 .
联立 解得
又 ，且 ，代入上式化简得 即 .
由于抛物线的焦点 ,所以 .
因为 ,所以 ,解得 或 .
所以直线 的斜率的取值范围是 .
8.已知函数 若存在正实数 ,使得 , ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若存在正实数 ,使得 ,
则函数 与 的图象有两个公共点.
所以 ,即 在 时有两个不同的解.
又 . 令 ,
问题转化为求直线 与函数 的图象有两个交点时 的取值范围.
,令 ,得 ,解得 . 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减. 因此 在 处取得最大值,
所以 . 当 时, ; 当 时, ,所以 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列结论中正确的是
A. 若随机变量 满足 ,则
B. 数据1,2,3,4,5,6的 30% 分位数是 3
C. 若随机变量 ,则
D. 当相关系数 时,样本点都落在同一条直线上
【答案】ACD
【解析】由 ,得 ,故 正确;
对于 B，因为 ，所以数据1,2,3,4,5,6的 分位数是 2，故 B 错误；
对于 ,若随机变量 ,则 ,所以 ,故 C 正确;
对于 ,当相关系数满足 时,所有样本点完全线性相关,即全部样本点都在同一条直线上,故 正确.
10.记数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 数列 为等差数列 B.
C. D. 数列 为周期数列
【答案】AC
【解析】令 ,则 .
因为 ,所以 .
于是 ,所以 ,即 .
所以 是以 为首项,公差为 的等差数列.
所以 ,所以 .
选项 A. 因为 ,所以 为等差数列,所以 正确.
选项 B: . 因为 时 ,所以 不恒成立, B 错误.
选项 C: 由 ,
得 .
而 ,所以 ,故选项 正确.
选项 D: 通项 随 变化,对应的点分布在函数 的图象上,不是周期数列, D 错误.
11.已知曲线 ,点 在 上, 为坐标原点,则
A. B. 的取值范围是
C. 直线 与 有且仅有 4 个交点D.
【答案】ABD
【解析】对于 选项,曲线方程变形为 . 因为点 在 点上,所以 . 因为 ,所以 . 若 ,则 ,矛盾,所以 ,即 ,故 A 正确.
对于 选项, . 因为 ,所以 ,所以 , 故 B 正确.
对于 选项,联立 与 ,得 .
令 ,构造函数 .
求导 ,所以 在 单调递增.
当 时, ; 当 时, .
由零点存在定理,存在唯一的 使得 ,对应两个横坐标 ,即两个交点 和 ,共 2 个交点,故 错误.
对于 选项,要证 ,等价于证 . 令 ,由 ,
得 . 设 ,
求导 .
设 ,则 .
由 ,得 ,所以 在 单调递减.
当 时, ; 当 时, .
所以存在唯一极值点 ,满足 ,使得 在 单调递增, 在 单调递减,最大值为 .
接下来进一步确定 的范围: 由 ,得 .
将 代入 ,得 .
令 ,则 ,所以 在 单调递增,故 ,即 ,所以 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中 的系数为________.
【答案】10
【解析】 的展开式中 的项为: .
13.已知圆 ,过坐标原点 作 的两条切线,切点分别为 ,点 在直线 上，则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】显然,其中一条切线为 轴,设切点为 .
设另一条切线 的方程为 ，由 到切线的距离为 2，得 ，解得 .
所以 的方程为 .
由 解得 ,所以 .
所以 的方程为: ,即: .
所以 的最小值为点 到直线 的距离,即 .
14.在正方体 中, 为 的中点. 设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合 ，若从 中任取两个点连成直线，则与直线 垂直的直线条数为________.
【答案】18
【解析】 如图,在正方体 中,设对应棱上的点 (非顶点) 为棱的中点,连接 , . 因为 ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以 . 又因为 , 平面 ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以 . 同理 . 因为 平面 ,所以 平面 . 故所有与 垂直的直线在平面 内或与平面 平行. 易知与平面 平行的平面有平面 ,平面 和平面 PNC. 所以满足条件的直线条数为: (条).
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 为等差数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1) 设 的公差为 . 由 ,得 . (1 分)
由 ,得 . 解得 . (3 分)
所以 . (5 分)
(2)由(1)知 ，所以 . (6 分)
所以 . ① (7 分)
两边同时乘 ,得 .②(8 分)
①-②，得 (10 分)
. (12 分)
所以 . (13 分)
16.如图,在三棱柱 中, ,四边形 为菱形, .
(1)求二面角 的余弦值；
(2)求三棱柱 的体积.
【解析】(1) 取 的中点 ,连接 .
四边形 为菱形, ,
与 是等边三角形, .
.
,
是二面角 的平面角. (2 分)
又 平面 平面 . (4 分)
平面 . (5 分)
. (6 分)
.
所以二面角 的余弦值为 . (8 分)
(2)过 作 于点 ，则 ， ， . (10 分)
平面 .
平面 则 面 . (12 分)
所以 .
所以三棱柱 的体积为 . (15 分)
17.记 的内角 的对边分别为 为 边上的点.
(1)若 为 的角平分线， ， ，求 的面积；
(2)若 为锐角三角形， 为 边上的中线， ，求 的取值范围.
【解析】
(1)因为 是 的角平分线，所以 . (1 分)
因为 ,所以 . (2 分) 因为 ,
所以 ,化简得 . (3 分)
又因为 ,由余弦定理,得 ,所以 . (4 分)
所以 ,解得 . (6 分)
所以 的面积为 . (7 分)
(2)由余弦定理，得 ，即 . (8 分)
因为 为 边的中线,所以 .
所以 . (9 分)
由正弦定理,得 ,
所以 . (10 分)
所以
. (12 分)
因为 为锐角三角形,所以 解得 .
所以 . (13 分)
所以 . (14 分)
所以 ,即 .
所以 的取值范围是 (15 分)
18.已知双曲线 的离心率为 2,右焦点 到渐近线的距离为 ,左焦点为 ,过 的直线 与 的右支交于 两点,且点 在第一象限.
(1)求 的标准方程；
(2)若 ,求 的方程；
(3)记 的内心为 ， 的内心为 ， 的面积为 ， 的面积为 ,求 的最大值.
【解析】(1)因为右焦点 到渐近线 的距离 ,
所以 . (1 分)
又离心率 ,且 ,解得 . (2 分)
所以 的标准方程为 . (3 分)
(2)设直线 .
联立 消去 得 .
由韦达定理,得 . (5 分)
因为 与 的右支交于两点,所以 ,即 . (6 分)
因为 ,且 ,所以 . (7 分)
所以 ,解得 ,符合题意. (8 分)
所以 的方程为 . (9 分)
(3)由已知得 .
过 的内心为 作 的垂线,垂足分别为 ,如图所示.
根据切线长定理,得 ,
由 ,得 .
又 ,所以 .
而 ,则 .
所以 . 同理 . (11 分)
所以 .
又 ,所以 . (12 分)
因为 ,
所以 ,解得 . (13 分)
即 ,同理 . 所以 .
因为 ,
所以 .
所以 .
又 ,
所以 . (15 分)
因为 ,
所以 .
所以 .
因为 ,所以当 时, 取最大值 . (17 分)
19.某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验,产品按质量分为一等品和二等品. 已知每个产品为一等品的概率都为 ,且各产品是否为一等品相互独立. 现从这批产品中有放回地抽取 件 作检验,记其中一等品的个数为 . 定义该批零件的综合质量指数为
(1)求 ；
(2)设 ,记 ，证明: ；
(3)设 ，且正实数 ， 满足 ，定义函数 ，证明:对任意满足条件的 .
【解析】(1) 由题意可知, ,则 . (2 分)
所以 . (4 分)
所以 . (6 分)
(2)因为 ，所以 . . (7 分)
所以
. (8 分)
所以 . (9 分)
求导得 . 因为 ,所以 在 上单调递增.
所以 . (10 分)
由于 ,所以 .
所以原不等式 成立. (11 分)
(3)由题意可知

因为 ,所以 .
所以 . (13 分)
又 ,所以 . (14 分)
又 ,所以 . (15 分)
当等号成立时,需 (16 分)
而 ,显然不成立.所以 ,所以原不等式成立. (17 分)