2027年广东省汕头市高考数学考前最后一卷预测卷（含答案解析）

这是一份2027年广东省汕头市高考数学考前最后一卷预测卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，若a＞b＞0，0＜c＜1，则，已知命题p，设全集U=R，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）
A．B．C．D．
2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．lgac＜lgbcB．lgca＜lgcbC．ac＜bc D．ca＞cb
5．已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ）
A．B．1C．D．2
6．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ）
A．9B．7C．D．
7．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
8．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
9．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如：)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )
A．B．C．D．
10．设全集U=R，集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足，则的最小值为________.
14．若函数，则的值为______.
15．若实数，满足不等式组，则的最小值为______.
16．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：为定值．
18．（12分）已知三点在抛物线上.
（Ⅰ）当点的坐标为时，若直线过点，求此时直线与直线的斜率之积；
（Ⅱ）当，且时，求面积的最小值.
19．（12分）已知函数.
（1）求的极值；
（2）若，且，证明：.
20．（12分）如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．
(1)求证：平面ABE；
(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．
(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数，其中．
（1）①求函数的单调区间；
②若满足，且．求证： ．
（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．
22．（10分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率.
【详解】
.
故选:D.
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.
2、C
【解析】
试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得
，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图．
3、D
【解析】
先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.
【详解】
解：由，得，
所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限
故选：D
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
4、B
【解析】
试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
5、B
【解析】
先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.
【详解】
因为，所以，
又因为是纯虚数，所以，所以.
故选：B.
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有.
6、C
【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.
【详解】
设，，则.
因为平面，平面，所以.
又，，所以平面，则.
易知，.
在中，，
即，化简得.
在中，，.
所以.
因为，
当且仅当，时等号成立，所以.
故选：C.
本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.
7、B
【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.
【详解】
，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.
故选:B.

本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.
8、D
【解析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.
【详解】
∵
所以展开式中的系数为，
∴解得.
故选：D.
本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
9、B
【解析】
基本事件总数，能表示为两个不同费马素数的和只有，，，共有个，根据古典概型求出概率．
【详解】
在不超过的正偶数中随机选取一数，基本事件总数
能表示为两个不同费马素数的和的只有，，，共有个
则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是
本题正确选项：
本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．
10、A
【解析】
求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．
【详解】
，
，
则，
故选：A．
本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．
11、B
【解析】
根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.
【详解】
.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.
故选：B
本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.
12、C
【解析】
作，；，由题意，由二倍角公式即得解.
【详解】
由题意，，准线：，
作，；，
设，
故，，
.
故选：C
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】
先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.
故答案为：4
本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。
14、
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．
【详解】
根据题意，函数，
则，
则；
故答案为：.
本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力．
15、5
【解析】
根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解
【详解】
画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示，
令，则.分析知，当，时，取得最小值，且.
本题考查线性规划问题，属于基础题
16、
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，，点，，易求直线的方程为：，令得，，同理可得，所以
，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，化简即可得到．
【详解】
（Ⅰ）解：由题意可知：，解得，
椭圆的方程为：；
（Ⅱ）证：设点，，点，，
联立方程，消去得：，
，①，
点，，，
直线的方程为：，令得，，，，
同理可得，，
，
把①式代入上式得：，
为定值．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解；关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理化简三角形面积得到定值；考查计算能力与推理能力，属于中档题．
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）16.
【解析】
（Ⅰ）设出直线的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；
（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐标，，再用基本不等式求得的最小值，从而可得三角形的面积的最小值．
【详解】
解：（Ⅰ）设直线的方程为.
联立方程组，得，
，故，.
所以
；
（Ⅱ）不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧（包括轴），
设，，，的斜率为，
又，则， ①
因为，所以②
由① ②得，，（且）
从而
当且仅当时取“”号，从而，
所以面积的最小值为.
本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．
19、（1）极大值为；极小值为；（2）见解析
【解析】
（1）对函数求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;
（2）构造函数,求导并判断单调性可得,从而在上恒成立,再结合,,可得到,即可证明结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为,,
所以当时,;当时,,
则的单调递增区间为和,单调递减区间为.
故的极大值为;的极小值为.
（2）证明:由（1）知,
设函数,
则,
,
则在上恒成立,即在上单调递增,
故,
又,则,
即在上恒成立.
因为,所以,
又,则,
因为,且在上单调递减,
所以,故.
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.
20、（I）见解析（II）（III）
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，且，据此有，则平面．
（Ⅱ）由题意可得平面的法向量，结合(Ⅰ)的结论可得，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设，，则，而平面的法向量，据此可得，解方程有或．据此计算可得．
试题解析：
（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，
设平面的法向量，∴不妨设，又，
∴，∴，又∵平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，
∴不妨设，∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设 ，，∴，
∴，又∵平面的法向量，
∴，∴，∴或．
当时，，∴；当时，，∴．
综上，．
21、（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2）.
【解析】
(1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.
②根据(1)中的结论,求出的表达式,再分与两种情况,结合函数的单调性分析的范围即可.
(2)求导分析的单调性,再结合单调性,设去绝对值化简可得,再构造函数,,根据函数的单调性与恒成立问题可知,再换元表达求解最大值即可.
【详解】
解：,
由可得或,
由可得,
故函数的单调递增区间,,单调递减区间；
,
或,
若,因为,故,,
由知在上单调递增,,
若由可得x1,
因为,
所以,
由在上单调递增,
综上．
时,,在上单调递减,
不妨设
由(1)在上单调递减,
由,
可得,
所以,
令,,
可得单调递减,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,即,
所以, ,
所以的最大值．
本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.
22、（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2