河南省平顶山市2027年高考仿真卷数学试题（含答案解析）

这是一份河南省平顶山市2027年高考仿真卷数学试题（含答案解析），共18页。试卷主要包含了若，满足约束条件，则的最大值是，展开项中的常数项为，已知为非零向量，“”为“”的等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( )
A．B．C．D．
2．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．13D．
6．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：
①在上单调递增；
②
③在上没有零点；
④在上只有一个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②④B．①③C．②③D．①②④
7．展开项中的常数项为
A．1B．11C．-19D．51
8．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．或D．
9．已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
10．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
11．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．已知集合，则( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.
14．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点，且的最小值为，则该双曲线的离心率是__________.
16．若四棱锥的侧面内有一动点Q，已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，k的值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.
18．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
19．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.
（1）求的值及圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.
20．（12分）已知函数（），是的导数.
（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；
（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.
21．（12分）本小题满分14分）
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段的长度
22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，
那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.
【详解】
的最小正周期为，
那么(∈)，
于是，
于是当时，最小值为，
故选B.
该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.
2、B
【解析】
由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.
【详解】
解：显然是偶函数
所以只需时，有且只有2个零点即可
令，则
令，
递减，且
递增，且
时，有且只有2个零点，
只需
故选：B
考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.
3、B
【解析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），
所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.
故选：B
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4、A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4，
∴正方体的棱长为，
设球的半径为，
则，解得，
所以，
故选：A．
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
5、C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即
点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
6、A
【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.
【详解】
因为函数在区间内没有最值.
所以，或
解得或.
又，所以.
令.可得.且在上单调递减.
当时，，且，
所以在上只有一个零点.
所以正确结论的编号②④
故选：A.
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7、B
【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.
【详解】
展开式中的项为常数项，有3种情况：
（1）5个括号都出1，即；
（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；
（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；
所以展开项中的常数项为，故选B.
本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.
8、D
【解析】
先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.
【详解】
，
若在上不单调，令，
则函数对称轴方程为
在区间上有零点（可以用二分法求得）.
当时，显然不成立；
当时，只需
或，解得或.
故选:D.
本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.
9、B
【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.
【详解】
若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
故选:B
本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.
10、A
【解析】
根据题意，用表示出与，求出的值即可.
【详解】
解：根据题意，设，则
，
又，
，
，
故选：A.
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.
11、C
【解析】
根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.
【详解】
由题可知：直线过定点
且在是关于对称
如图
通过图像可知：直线与最多有9个交点
同时点左、右边各四个交点关于对称
所以
故选：C
本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.
12、C
【解析】
解不等式得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．
【详解】
集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，
，
故选C．
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.
【详解】
据题设分析知，，所以，得，
所以双曲线的离心率.
本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
14、21 3892
【解析】
根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.
【详解】
如图所示：
正四棱锥P-A BCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，
截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
，
故答案为：21；3892.
本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.
15、
【解析】
根据双曲线方程，设及，将代入双曲线方程并化简可得，由题意的最小值为，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得的值，进而求得离心率即可.
【详解】
设点，，
则，即，
∵，，
，
当时，等号成立，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.
16、
【解析】
二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线得距离为d，则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得，由此可得，则由可求k值.
【详解】
解：如图，
设二面角平面角为，点Q到底面的距离为，
点Q到定直线的距离为d，则，即.
∵点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，
∴，则，
∵动点Q的轨迹是抛物线，
∴，即则.
∴二面角的平面角的余弦值为
解得：（）.
故答案为：.
本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）：，：；（2）
【解析】
（1）由直线参数方程消去参数即可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可得曲线的直角坐标方程；
（2）由即可得的底，由点到直线的距离的最大值为即可得高的最大值，即可得解.
【详解】
（1）由消去参数得直线的普通方程为，
由得，曲线的直角坐标方程为；
（2）曲线即，
圆心到直线的距离，
所以，
又 点到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.
18、（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【解析】
（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.
【详解】
（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为
∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
19、（1）2，；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意得的方程为，根据为抛物线过焦点的弦，以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性，可得，圆心为，半径为2.
（2）设，的方程为，代入的方程，得，根据直线与抛物线相切，令，得，代入，解得.将代入的方程，得，得到点N的坐标为，然后求解.
【详解】
（1）解：由题意得的方程为，
所以，解得.
又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为，半径为2.
所以圆的方程为.
（2）证明：易知直线的斜率存在且不为0，
设，的方程为，代入的方程，
得.
令，得，
所以，解得.
将代入的方程，得，即点N的坐标为，
所以，
，
故.
本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设，，注意到在上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数在上单调递减，则在恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导讨论的最值即可.
【详解】
（1）由已知，，所以，
设，，
当时，单调递增，而，，且在上图象连续
不断.所以在上有唯一零点，
当时，；当时，；
∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小
值点，即在区间上存在唯一的极小值点；
（2）设，，，
∴在单调递增，，
即，从而，
因为函数在上单调递减，
∴在上恒成立，
令，
∵，
∴，
在上单调递减，，
当时，，则在上单调递减，，符合题意.
当时，在上单调递减，
所以一定存在，
当时，，在上单调递增，
与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
21、
【解析】解：解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即，它表示以为圆心，2为半径圆， ………………………4分
直线方程的普通方程为， ………8分
圆C的圆心到直线l的距离，……………………………10分
故直线被曲线截得的线段长度为．……………14分
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用勾股定理结合条件求得和，利用椭圆的定义求得的值，进而可得出，则椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出，利用几何法求得直线截圆所得弦长，可得出关于的函数表达式，利用不等式的性质可求得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）在椭圆上， ，，，，
，，
又，，，，
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设点、，
联立消去，得，，
则，，
设圆的圆心到直线的距离为，则.
，
，
，，
的取值范围为.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
76
83
812
526
0
1
2
3