广东省广州市2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷（含答案解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（ ）
A．B．2C．5D．2或5
3．已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．在等比数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ）
A．B．C．D．
8．定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ）
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10．已知曲线，则以下结论正确的是（ ）
A．的范围是B．若，则曲线具有周期性
C．曲线既是轴对称图形又是中心对称图形D．曲线与圆有公共点
11．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ）
A．是钝角三角形
B．直线与平面所成角为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．被8除的余数为______.
13．在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____．
14．已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求角B；
(2)若，求面积的取值范围；
16．（15分）
如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线．
(1)若，证明：；
(2)若是圆的直径，求二面角的正切值．
17．（15分）
某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立.
(1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差；
(2)记第天选择投放点甲的概率为.
（i）请写出与的递推关系；
（ii）求数列的通项公式.
18．（17分）
已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值；
(3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值．
19．（17分）
已知．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若 ，求实数a的取值范围；
(3)证明：
广东省广州市2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算化简求出复数，求得其共轭复数，利用复数的几何意义即可判断.
【详解】由，可得，
故在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
2．已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（ ）
A．B．2C．5D．2或5
【答案】B
【分析】由等差数列的通项公式和求和公式， 结合等比数列的性质， 解方程可得首项和公差， 进而得到所求值.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，75成等比数列可得 ，
即 ，
①，
又 ，即② ，
由①②解得 ， ，
故选：B.
3．已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解.
【详解】因为，，
所以，故，
又是第一象限角，为第四象限角，
故，
因此，
因此，由于，
则，故.
故选：C.
4．过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
若直线的斜率斜率为，则直线与抛物线只有一个交点，不满足条件，
故可设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
设，
则，
所以，
由已知，
设的中点为，
则，，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
所以，故，
所以，.
故选：B.
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用换底公式变形，结合对数函数性质得到范围，再根据正弦函数单调性得到的范围，即可判定.
【详解】，
，故，
故选：D.
6．在等比数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用表示，再根据条件列出方程组，求出的值，再代入原式，即可求出的值.
【详解】由可得，，
两式相除可得，即，解得.
所以，解得．
故选：B
7．已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用球体的性质先计算球心到平面的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可.
【详解】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r，
则，且平面，
所以，故C到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为.
故选：C
8．定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得5为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，则，
由，
得，
又因为函数在上单调递减，且，
则函数在上单调递增，
则时，，当时，，
则当时，，
当时，，
所以的解集为，的解集为，
由于不等式的解集为，
当时，不等式为，
此时解集为，不符合题意；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
要使不等式的解集为，
则，即；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
此时不等式的解集不为；
综上所述，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ）
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
【答案】BCD
【分析】A项，由各组频率之和为求参数；B项可由频率分布直方图面积与比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，由分别两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可.
【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则，解得，故A错误；
项，前两个矩形的面积之和为
前三个矩形的面积之和为.
设该年级学生成绩的中位数为，则，
根据中位数的定义可得，解得，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B正确；
C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
分，故C正确；
D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
，故D正确.
故选：BCD.
10．已知曲线，则以下结论正确的是（ ）
A．的范围是B．若，则曲线具有周期性
C．曲线既是轴对称图形又是中心对称图形D．曲线与圆有公共点
【答案】BCD
【分析】根据正弦函数值域判断A，根据周期性及对称性定义判断B，C，应用特殊点判断D.
【详解】曲线，则，A选项错误；
当，则曲线，，
所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确；
代入曲线成立，所以曲线关于轴成轴对称图形，
代入曲线成立，所以曲线关于对称图形，
所以曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确；
曲线，与圆有公共点，D选项正确；
故选：BCD.
11．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ）
A．是钝角三角形
B．直线与平面所成角为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】根据题意可得固定平面，求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得，即A正确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断C错误，求得三棱锥的外接球的球心位置和半径即可求得D正确.
【详解】如下图所示：
易知，由可得；
固定平面，由二面角的大小为可知为一个与平面夹角为的平面与的交点（在的右侧），
如图中过平面的虚线形成的劣弧所示：
取的中点为，作平面，则有，
又易知，
如下图所示：
在劣弧上运动，
对于A，易知，因此可得是钝角三角形，即A正确；
对于B，设直线与平面所成的角为，
则，为定值，即B正确；
对于C，作，
易知三棱锥的体积的最大值为
，即C错误；
对于D，设三棱锥的外接球的球心为，如下图：
由于是的外心，则平面，因此三点共线，
设，
在中由勾股定理可得，解得；
因此三棱锥的外接球的表面积为，即D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面，再根据二面角大小求得线段长度得出点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．被8除的余数为______.
【答案】2
【分析】根据二项式展开式性质计算求解余数.
【详解】，
因为能被8整除，
所以除以8的余数即是被8除的余数，
所以被8除的余数是2.
故答案为：2.
13．在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____．
【答案】12
【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和
【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则，
分层抽样方差
14．已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________.
【答案】3
【分析】设过原点的切线的切点为，则，再设，进而可得，再利用基本不等式求最值即可．
【详解】解：设过原点的切线的切点为，圆半径为，中点为，
则，
所以
，
则的最小值，即为求的最小值，
设，点到直线的距离，
则，
而，
当且仅当取到最小值，所以最小值为3．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求角B；
(2)若，求面积的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】小问（1）运用正弦定理进行边角转化，再运用两角和的三角公式化简等式，最后根据角度的取值范围进行求解；小问（2）先计算出三角形的面积，再运用正弦定理将c用三角函数值进行表示，求出c的取值范围从而求出三角形面积的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
又，所以，又，所以，
即，由，所以；
（2）由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）得，所以，
所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，，
所以面积的取值范围为
16．（15分）
如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线．
(1)若，证明：；
(2)若是圆的直径，求二面角的正切值．
【答案】(1)侧面积（母线长）．
圆台高．
建系：，．
上底面圆方程为（平面）．
下底面圆方程为（平面）．
是圆的弦，，圆半径，
由．
即弦对应的圆心角为．
不妨取，．
（此时，，验证正确）．
是圆台母线：母线上、下端点在两底面的对应方位角相同．
即若在圆上方位角为，则在圆上同方位角处，
，．
时，在的垂直平分面上．
中点，垂直平分面为．
在圆上且满足．
取，对应．
，．
，故．证毕．
(2)
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，利用向量的数量积证垂直；
（2）先求出两平面的法向量，再根据面面角向量法计算可解.
【详解】（1）略
（2）是圆的直径，故与关于对称，
，．
在圆上与同方位：．
平面：三点，，均在平面上（上底面所在平面），
故平面的法向量（竖直向上）．
平面：设其法向量为．
，．
两式相减：．代入第二式：．
取，得．
二面角的余弦：．
．
17．（15分）
某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立.
(1)若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差；
(2)记第天选择投放点甲的概率为.
（i）请写出与的递推关系；
（ii）求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）由二项分布求解即可；
（2）（i）由第天选择投放点甲的概率为即可求解；（ii）构造数列，由等比数列的定义即可求解.
【详解】（1）任意1位居民第二天选择投放点甲的概率为，
由题意可得，，
所以.
（2）（i）第天选择投放点甲的概率为，
整理得.
（ii）因为，
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，解得.
18．（17分）
已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值；
(3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明：由题知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去y并整理得，
此时且，
由韦达定理得，，
直线的方程为，
令，解得，即，
同理得，
因为O为的中点，
所以，即，
所以，
因为，，
所以，
整理得，
所以或，
若，即，
此时直线方程为，即，
则直线过点，不合题意；
若，此时直线方程为，
则直线恒过定点，
所以为定值，
因为为直角三角形，且为斜边．
所以当R为的中点时，．
【分析】（1）根据双曲线的离心率与实轴长列出方程组即可求解；
（2）根据直线与圆E相切，得出，设，则，求得的最小值即可求解的最小值；
（3）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得出韦达定理，再求得的坐标，由O为的中点，即可得出证明．
【详解】（1）因为双曲线C的离心率为，实轴长为，
所以，解得，，
则，
故双曲线C的方程为．
（2）
因为圆E的方程为，
所以圆E的圆心，半径，
因为点S是双曲线C上的动点，T是圆E上的动点，直线与圆E相切，
所以，
此时，
设，
因为点S是双曲线C上的动点，所以 ，即 ，
，
当时，取得最小值，且，
则．
（3）
略．
19．（17分）
已知．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若 ，求实数a的取值范围；
(3)证明：
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)
(3)令，
．
由（2）可知，当时，，
则.所以 ．
因为，所以在上单调递增，所以，
即．
【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可.
（2）构建新函数，利用局部保号性可求参数的取值范围.
（3）构造，根据函数的导数以及单调性证明即可.
【详解】（1）已知，
则．
令，即，则，
因为，所以，即，解得．
当时，，则，即，
所以在上单调递减．
当时，，则，即，
所以在上单调递增．
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）已知，由可得，
设，则，
若，则，故存在，使得，，
故在上为减函数，故，总有，矛盾；
故，
而当时，，
设，则
，
故在为增函数，故即，
故即原不等式成立.
综上，，
（3）略