2026-2027学年朝阳市高考仿真模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份2026-2027学年朝阳市高考仿真模拟数学试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，集合，则，下列命题是真命题的是，集合,则集合的真子集的个数是，已知复数满足，则的值为，综上，得或等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在处取得极值2，则（ ）
A．-3B．3C．-2D．2
4．集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
9．集合,则集合的真子集的个数是
A．1个B．3个C．4个D．7个
10．已知复数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
11．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
12．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．
15．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为_______．
16．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；
（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：
18．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，
（1）求的值与抛物线的方程；
（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.
19．（12分）如图：在中，，，.
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
20．（12分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．
22．（10分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
2、D
【解析】
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解.
【详解】
如图所示的直四棱柱，，取中点，
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．
设，则，
．
设平面的法向量为，
则取，
得．
设直线与平面所成角为，
则，
，
∴直线与平面所成角的正切值等于
故选：D
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
3、A
【解析】
对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.
【详解】
因为,所以,则,解得,则.
故选:A.
本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
4、D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
，故，
故选：D.
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
5、A
【解析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
6、A
【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.
【详解】
椭圆的方程，双曲线的方程为，
则椭圆离心率，双曲线的离心率，
由和的离心率之积为，
即，
解得，
所以渐近线方程为，
化简可得，
故选：A.
本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.
7、D
【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.
【详解】
由题意知：可化简为，，
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.
8、D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
9、B
【解析】
由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，集合，
则，
所以集合的真子集的个数为个，故选B．
本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合，再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
10、C
【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.
【详解】
因为，所以
故选：C
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.
11、D
【解析】
先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.
故选：D
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
12、D
【解析】
弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.
【详解】
因，所以，故，又， ，则，
故集合.
故选：D.
本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】
依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．
14、
【解析】
记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．
15、
【解析】
由分层抽样的知识可得，即，所以高三被抽取的人数为，应填答案．
16、1
【解析】
由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．
【详解】
由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，
所以，即①，
把代入，得，即②
又③
联立①②③，得．
所以．
故答案是：1．
本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）函数在区间上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据题意，，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论在区间的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；
（Ⅱ）求导，，由于在区间上的极值点从小到大分别为，，求出，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出.
【详解】
解：（Ⅰ），
，
当时，，，
在区间上单调递减，，
在区间上无零点；
当时，，
在区间上单调递增，，
在区间上唯一零点；
当时，，，
在区间上单调递减，，；
在区间上唯一零点；
综上可知，函数在区间上有两个零点.
（Ⅱ），，
由（Ⅰ）知在无极值点；
在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，
由，即，，2…
，，
，，，，以及的单调性，
，，
，，由函数在单调递增，
得，
，
由在单调递减，得，
即，故.
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.
18、（1）1；（2）
【解析】
（1）根据点到焦点的距离为2，利用抛物线的定义得，再根据点在抛物线上有，列方程组求解，
（2）设，根据，再由，求得，当，即时，直线斜率不存在；当时，，令，利用导数求解，
【详解】
（1）因为点到焦点的距离为2，
即点到准线的距离为2，得，
又，解得，
所以抛物线方程为
（2）设，
由
由，则
当，即时，直线斜率不存在；
当时，
令，
所以在上分别递减
则
本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，
19、（1）；（2）
【解析】
（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.
【详解】
（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，
故.
（2）∵，
∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
20、（1）或；（2）证明见解析，定点
【解析】
（1）设，由题意可知，对的正负分情况讨论，从而求得动点的轨迹的方程；
（2）设其方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，所以，所以直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点．
【详解】
（1）设，
动点到定点的距离比到轴的距离多，
，时，解得，
时，解得.
动点的轨迹的方程为或
（2）证明：如图，设，，
由题意得（否则）且，
所以直线的斜率存在，设其方程为，
将与联立消去，得，
由韦达定理知，，①
显然，，
，，
将①式代入上式整理化简可得：，
所以，
此时，直线的方程可表示为，
即，
所以直线恒过定点.
本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．
21、（1）证明见详解；（2）.
【解析】
（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；
（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：
在中，因为 为的中点，
，且，
又为的中点，，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
又平面，平面，
平面，即证.
（2）取中点，连结，，则，平面，
以为原点，分别以，，为，，轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则，则，
令．则，
同理得平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.
本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.
22、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由已知可证，即可证明结论；
（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.
【详解】
方法一：（1）依题意，且∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，∴，
∵且为的中点，∴，
∵平面且，
∴平面，
以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.
方法二：（1）证明：连接交于点，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为四边形为菱形，所以为中点，
∴在中，且，
∵平面，平面，
∴平面
（2）略，同方法一.
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.