2027届安徽省高考冲刺数学模拟试题（含答案解析）

这是一份2027届安徽省高考冲刺数学模拟试题（含答案解析），共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，，则，下列判断错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，则
A．B．
C．D．
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
6．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）
A．2B．C．D．
7．已知函数的图象的一条对称轴为，将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8． 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
9．下列判断错误的是( )
A．若随机变量服从正态分布，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件
C．若随机变量服从二项分布： ， 则
D．是的充分不必要条件
10．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
11．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为( )
A．-2B．-1C．D．
12．在中，，则=（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．
14．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则_____．
15．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，则展开式所有项系数之和为______.
16．已知向量，，，若，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值.
18．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
19．（12分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点．已知长为40米,设为．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形的周长为,求的表达式;
（2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值．
20．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体
（1）求证：
（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；
（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.
21．（12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为.经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附：，；
22．（10分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解
【详解】
作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中，直线过定点，
当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；
当时，直线的斜率，
不等式表示直线下方的区域，不满足题意；
当时，直线的斜率，
不等式表示直线上方的区域，
要使不等式组所表示的平面区域内存在点，
使不等式成立，只需直线的斜率，解得.
综上可得实数的取值范围为，
故选：B.
本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题
2、D
【解析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.
【详解】
由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,
所以所求概率,
故选:D
本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.
3、B
【解析】
可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】
，，则，因此，.
故选：B.
本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
4、D
【解析】
因为，，
所以，，故选D．
5、D
【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
6、C
【解析】
将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.
【详解】
解：
，
得，
则向量在上的投影为.
故选：C.
本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.
7、C
【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式，结合为函数的一条对称轴可求得，代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数的解析式.
【详解】
函数，
由辅助角公式化简可得，
因为为函数图象的一条对称轴，
代入可得，
即，化简可解得，
即，
所以
将函数的图象向右平行移动个单位长度可得，
则，
故选：C.
本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.
8、A
【解析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.
【详解】
由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.
故选：A
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
9、D
【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.
【详解】
对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；
对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；
对于选项，若随机变量服从二项分布： ， 则，故选项正确，不符合题意；
对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.
因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.
故选：D
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
10、D
【解析】
通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.
【详解】
如图所示，函数与的图象，
因为时，恒成立，
于是两函数必须有相同的零点，
所以
，
解得．
故选：D
本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11、B
【解析】
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，符合题意；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
综上选B.
12、B
【解析】
在上分别取点,使得,
可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．
【详解】
如下图，，在上分别取点,使得,
则为平行四边形，故,故答案为B.
本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．
【详解】
展开式通项为：
且的展开式中的系数比的系数大
，即：
解得：（舍去）或
本题正确结果：
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14、3﹣4i
【解析】
计算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算得到答案.
【详解】
∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．
故答案为：3﹣4i．
本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
15、64
【解析】
由题意先求得的值，再令求出展开式中所有项的系数和.
【详解】
的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，
，，
由两式可组成方程组，
解得或，
令，求得展开式中所有的系数之和为.
故答案为：64
本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.
16、-1
【解析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．
【详解】
由已知，∵，∴，．
故答案为：－1．
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.
【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
可得曲线C：（）的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为r的圆.
由直线l的方程，化简得，
则直线l的直角坐标方程方程为.
记圆心到直线l的距离为d，则，
又，即，所以.
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
19、（1）,．（2）
【解析】
（1）由余弦定理的,然后根据直线与圆相切的性质求出,从而求出;
（2）求得的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值.
【详解】
解：（1）连．由条件得．
在三角形中,,,,由余弦定理,得
,
因为与半圆相切于,所以,
所以,所以．
所以四边形的周长为
,．
（2）设四边形的面积为,则
,．
所以,．
令,得
列表：
答：要使改建成的展示区的面积最大,的值为．
本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,以及函数与方程的思想.
20、（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
根据折叠图形， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.
（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，根据，可知，，表示相应点的坐标，分别求得平面与平面的法向量，代入求解.
设所求几何体的体积为，设为高，则，表示梯形BEFD和 ABD的面积由，再利用导数求最值.
【详解】
（1）证明：不妨设与的交点为与的交点为
由题知，，则有
又，则有
由折叠可知所以可证
由平面平面，
则有平面
又因为平面，
所以
（2）解：依题意，有平面平面，
又平面，
则有平面，，又由题意知，
如图所示：
以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系
由题意知
由可知，
则
则有，
，
设平面与平面的法向量分别为
则有
则
所以
因为，解得
设所求几何体的体积为，设，
则，
当时，，当时，
在是增函数，在上是减函数
当时，有最大值，
即
六面体的体积的最大值是
本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
21、（1），，；（2）二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好，理由见解析.
【解析】
（1）计算平均数，即可容易求得；结合参考数据，即可求得回归直线方程；
（2）利用两个模型分别预测第11天的产量，和实际值进行比较，即可判断.
【详解】
（1），
由最小二乘法公式求得

即所求回归方程为.
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为
（万个）
用题中的二次函数模型求得的结果为
（万个）
与第11天的实际数据进行比较发现

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
本题考查平均数的求解，回归直线方程的求解，以及考查拟合模型的选择，属综合基础题.
22、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.
（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：
因为，，，
所以，故为等边三角形，则.
连接，因为，，
所以为等边三角形，则.
又，所以平面.
因为平面，
所以.
（2）由（1）知，
因为平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易求，则，，，，
则，，.
设平面的法向量，
则即令，则，，
故.
设平面的法向量，
则则
令，则，，故，
所以.
由图可知，二面角为钝二面角角，
所以二面角的余弦值为.
本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.
第天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
m
n
82.5
3998.9
570.5
+
0
-
增
最大值
减