2027年湖南省长沙市高考适应性考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年湖南省长沙市高考适应性考试数学试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了在中，，则=等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
2．的展开式中，项的系数为（ ）
A．－23B．17C．20D．63
3．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．240，18B．200，20
C．240，20D．200，18
4．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
5．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）

A．2014年我国入境游客万人次最少
B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势
C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次
D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差
8．函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．（1，2）D．（﹣∞，1）
9．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．在中，，则=（ ）
A．B．
C．D．
11．曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．4D．8
12．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( )
A．②③B．②③④C．①④D．①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.
14．在的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-64，则实数的值为__________.
15．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________
16．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，且．
（1）请给出的一组值，使得成立；
（2）证明不等式恒成立．
18．（12分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．
19．（12分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
20．（12分）已知，.
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
21．（12分）已知抛物线C:x24py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.
22．（10分）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可
【详解】
令，则，，∴，，∴.
本题考查等差数列的求和问题，属于基础题
2、B
【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为.则
①出，则出，该项为：；
②出，则出，该项为：；
③出，则出，该项为：；
综上所述：合并后的项的系数为17.
故选：B
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.
3、A
【解析】
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．
【详解】
样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，
∴抽取的户主对四居室满意的人数为：
故选A．
本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．
4、A
【解析】
首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.
【详解】
为等比数列，
若成立，有，
因为恒成立，
故可以推出且，
若成立，
当时，有，
当时，有，因为恒成立，所以有，
故可以推出，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.
5、C
【解析】
试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．
考点：函数的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．
6、C
【解析】
将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.
【详解】
已知圆，
所以其标准方程为：，
所以圆心为.
因为双曲线，
所以其渐近线方程为，
又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，
则圆心在渐近线上，
所以.
所以.
故选：C
本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7、D
【解析】
ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.
【详解】
A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；
B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；
C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；
D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.
故选：D.
本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.
8、B
【解析】
根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。
【详解】
根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，
若函数在上单调递减，则在上递增，
所以要使，则有，变形可得，
解可得：或，即的取值范围为；
故选：B．
本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。
9、B
【解析】
根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.
【详解】
函数


则函数的最大值为2，
存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即
故答案为：B.
这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.
10、B
【解析】
在上分别取点,使得,
可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．
【详解】
如下图，，在上分别取点,使得,
则为平行四边形，故,故答案为B.
本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．
11、B
【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.
【详解】
因为，
所以，
故，
解得，
又切线过点，
所以，解得，
所以，
故选：B
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
12、C
【解析】
根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.
【详解】
根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；
若，，平面可能相交，故②错误；
若，，则可能平行，故③错误；
由线面垂直的性质可得，④正确；
故选：C
本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知可得，结合双曲线的定义可知，结合 ，从而可求出离心率.
【详解】
解：,，又，则.
，，，即
解得，即.
故答案为: .
本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.
14、3或-1
【解析】
设，分别令、，两式相减即可得，即可得解.
【详解】
设，
令，则①，
令，则②，
则①-②得，
则，解得或.
故答案为：3或-1.
本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.
15、4
【解析】
根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，，，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，函数，且，，
可得，
，
又由，可得为常数列，且，
数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以，
其中数列满足，
所以，
所以，
又由，
可得数列的前n项和为，
数列的前n项和为，
所以数列的前项和为，满足，
所以，即，
又由表示不超过实数的最大整数，所以.
故答案为：4.
本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
16、
【解析】
先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围.
【详解】
解：由题可知，不等式对于任意恒成立，
即，
又因为，，
对任意恒成立，
设，其中，
由不等式，可得：，
则，
当时等号成立，
又因为在内有解，
，
则，即：，
所以实数的取值范围：.
故答案为：.
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（答案不唯一）（2）证明见解析
【解析】
（1）找到一组符合条件的值即可；
（2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.
【详解】
解析:（1）（答案不唯一）
（2）证明:由题意可知,,因为,所以.
所以,即.
因为,所以,
因为,所以,
所以.
考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
18、（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
（1）令可得，即．得到，再利用通项公式和前n项和的关系求解，
（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，再根据恰为与的等比中项求解，
（3）由（2）得到时，，
，求得，再代入证明。
【详解】
（1）解：令可得，即．所以．
时，可得，
当时，所以．
显然当时，满足上式．所以．
，所以数列是等差数列，
（2）由（1）知，．
设等比数列的公比为，所以
，
恰为与的等比中项，
所以，
解得，所以
（3）时，，，而时，，
，
所以当时，.
当时，，
∴对任意，都有，
本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，
19、（1），（）；（2）.
【解析】
（1）根据是等差数列，，、、成等比数列，列两个方程即可求出，从而求得，代入化简即可求得；（2）化简后求和为裂项相消求和，分组求和即可，注意讨论公比是否为1.
【详解】
（1）由题意知，，，
由得
，
解得.
又，得，
解得或（舍）.
，.
又（），
（）.
（2），
①当时，
.
②当时，
.
此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; （2）.作出函数的图象, 当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，由图可得结果.
【详解】
（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，
此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，
此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）
即.
作出函数的图象如图所示，
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.
所以实数的取值范围是.
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
21、（1）（2）当G点横坐标为整数时，S不是整数．
【解析】
（1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；
（2）先求解弦长，再分别求解点到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.
【详解】
（1）设，则，
抛物线C的方程可化为，则，
所以曲线C在点A处的切线方程为，
在点B处的切线方程为，
因为两切线均过点G，所以，
所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，
又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为；
（2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为，
即，
将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，
所以，，解得，
因为直线AB的斜率，所以，
且，
线段AB的中点为M，
所以直线EM的方程为：，
所以E点坐标为(0，)，
直线AB的方程整理得，
则G到AB的距离，
则E到AB的距离，
所以，
设，因为p是质数，且为整数，所以或，
当时，，是无理数，不符题意，
当时，，
因为当时，，即是无理数，所以不符题意，
当时，是无理数，不符题意，
综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
22、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）由恒成立，可得恒成立，进而构造函数，求导可判断出的单调性，进而可求出的最小值，令即可；
（2）由，可知存在唯一的，使得，则，，进而可得，即曲线的方程为，进而只需证明对任意，方程有唯一解，然后构造函数，分、和三种情况，分别证明函数在上有唯一的零点，即可证明结论成立.
【详解】
（1）由题意，可知，由恒成立，可得恒成立.
令，则.
令，则，
，，
在上单调递增，又，
时，；时，，
即时，；时，，
时，单调递减；时，单调递增，
时，取最小值，
.
（2）证明：由，令，
由，结合二次函数性质可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的极值点，则，，
，
曲线的方程为.
故只需证明对任意，方程有唯一解.
令，则，
①当时，恒成立，在上单调递增.
，，
，存在满足时，使得.
又单调递增，所以为唯一解.
②当时，二次函数，满足，
则恒成立，在上单调递增.
，，
存在使得，
又在上单调递增，为唯一解.
③当时，二次函数，满足，
此时有两个不同的解，不妨设，
，，
列表如下：
由表可知，当时，的极大值为.
，，
，，
，.
.
下面来证明，
构造函数，则，
当时，，此时单调递增，
，
时，，，
故成立.
，
存在，使得.
又在单调递增，为唯一解.
所以，对任意，方程有唯一解，即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.
本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗