2026-2027学年新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026-2027学年新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共69页。
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（ ）
A．B．C．8D．6
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．3C．D．4
9．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是
A．10B．9C．8D．7
11．设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为
A．8B．16C．24D．36
12．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．
14．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.
15．如图梯形为直角梯形，，图中阴影部分为曲线与直线围成的平面图形，向直角梯形内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________
16．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角的对边分别为.已知，且.
（1）求的值；
（2）若的面积是，求的周长.
18．（12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.
20．（12分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
21．（12分）在平面直角坐标系xy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若成等比数列，求a的值。
22．（10分）已知是圆：的直径，动圆过，两点，且与直线相切.
（1）若直线的方程为，求的方程；
（2）在轴上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恰好与轴相切？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．
【详解】
如图所示，
作，垂足为，设，由，得，则，.
过点N作，垂足为G，则，，
所以在中，，，所以，
所以，在中，，所以，
所以，，
所以 ．解得，
因为，所以为线段的中点，
所以F到l的距离为．
故选：D
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．
2、A
【解析】
考虑既属于又属于的集合，即得.
【详解】
.
故选：
本题考查集合的交运算，属于基础题.
3、C
【解析】
令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值.
【详解】
令，得，即对称轴为.
函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知，
将以上各式相加得：
故选:C.
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.
4、B
【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.
【详解】
可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.
故选:B.
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.
5、A
【解析】
首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.
【详解】
根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，
所以，所以．又，所以的最小值为．
故选：A
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.
6、B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
7、A
【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
解：.
故选：A
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
8、B
【解析】
由正弦定理及条件可得，
即.
，
∴，
由余弦定理得。
∴.选B。
9、B
【解析】
建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.
10、B
【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

所以

因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
，此时
所以选B
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．
11、B
【解析】
方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B．
方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B．
12、B
【解析】
由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，
即，①.
因为，①式两边同除以，得.
所以方程有三个不等的正实根.
记，，则上述方程转化为.
即，所以或.
因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.
当时，，在上单调递减，且时，.
所以当时，取最大值，当，有一根.
所以恰有两个不相等的实根，所以.
故选：B.
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决.
【详解】
由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为，
直三棱柱的棱长为x，则，，故，
即，解得，故三棱柱的侧面积为.
故答案为：.
本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.
14、2
【解析】
根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.
【详解】
据题设分析知，，所以，得，
所以双曲线的离心率.
本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15、
【解析】
联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出，最后根据几何概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：联立解得或，即，，，，
，
故答案为：
本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.
16、
【解析】
由得，即得解.
【详解】
由题意可知，则.
解得，所以，
向量与的夹角为.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由正弦定理可得,,化简并结合,可求得三者间的关系,代入余弦定理可求得;
（2）由（1）可求得,再结合三角形的面积公式,可求出,从而可求出答案.
【详解】
（1）因为,
所以,整理得:.
因为,所以,所以.
由余弦定理可得.
（2）由（1）知,则,
因为的面积是,所以,
即,解得,则.
故的周长为:.
本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.
18、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可有平面，从而得证.
（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，分别求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.
【详解】
（1）证明：∵平面，
∴四边形是矩形，
∵为中点，且，
∴，
∵，，，
∴.∴，
∵，∴与相似，
∴，∴，
∴，
∵，∴平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∴平面，∴.
（2）如图，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，，
解得：，
同理，平面的法向量，
设二面角的大小为，
则.
即二面角的余弦值为.
本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.
19、（1），；（2）.
【解析】
（1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可.
【详解】
（1）由（为参数）消去参数，
可得，即，
已知曲线的普通方程为，
，，
，即，
曲线的极坐标方程为，
直线经过点，且倾斜角为，
直线的参数方程：（为参数，）.
（2）设对应的参数分别为，.
将直线的参数方程代入并整理，
得，
，.
又为的中点，
，
，，
，即，
，
，
，即，
.
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；
（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证．
【详解】
（1）∵，分别是，的中点
∴
∵平面，平面
∴平面.
（2）∵为正三角形，且D是的中点
∴
∵平面平面，且平面平面，平面
∴平面
∵平面
∴
∵且
∴
∵，平面，且
∴平面.
本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．
21、（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.
【解析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．
【详解】
（1）由直线l的参数方程消去参数t得,
，即为l的普通方程
由，两边乘以得
为C的直角坐标方程.
（2）将代入抛物线得
由已知成等比数列，
即，，，
整理得
（舍去）或.
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．
22、（1）或. （2）存在，；
【解析】
（1）根据动圆过，两点，可得圆心在的垂直平分线上，由直线的方程为，可知在直线上；设，由动圆与直线相切可得动圆的半径为；又由，及垂径定理即可确定的值，进而确定圆的方程.
（2）方法一：设，可得圆的半径为，根据，可得方程为并化简可得的轨迹方程为.设，，可得的中点，进而由两点间距离公式表示出半径，表示出到轴的距离，代入化简即可求得的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得的轨迹方程为，由抛物线定义可求得，表示出线段的中点的坐标，根据到轴的距离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.
【详解】
（1）因为过点，，所以圆心在的垂直平分线上.
由已知的方程为，且，关于于坐标原点对称，
所以在直线上，故可设.
因为与直线相切，所以的半径为.
由已知得，，又，
故可得，解得或.
故的半径或，
所以的方程为或.
（2）法一：设，由已知得的半径为，.
由于，故可得，化简得的轨迹方程为.
设，，则得，的中点，
则以为直径的圆的半径为：
，
到轴的距离为，
令，①
化简得，即，
故当时，①式恒成立.
所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.
法二：设，由已知得的半径为，.
由于，故可得，化简得的轨迹方程为.
设，因为抛物线的焦点坐标为，
点在抛物线上，所以，
线段的中点的坐标为，
则到轴的距离为，
而，
故以为径的圆与轴切，
所以当点与重合时，符合题意，
所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.
本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.