昭通市2026-2027学年高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份昭通市2026-2027学年高考数学二模试卷（含答案解析），共35页。试卷主要包含了已知命题p，一袋中装有个红球和个黑球，设，则“”是“”的，已知，，，若，则，集合的真子集的个数是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．若时，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知命题p：“”是“”的充要条件；，，则（ ）
A．为真命题B．为真命题
C．为真命题D．为假命题
5．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）
A．B．C．D．
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
10．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
11．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若的展开式中所有项的系数之和为，则______，含项的系数是______（用数字作答）.
14．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．
15．已知函数，若恒成立，则的取值范围是___________.
16．函数在的零点个数为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；
（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
18．（12分）已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
19．（12分）在中，角的对边分别为.已知，.
（1）若，求；
（2）求的面积的最大值.
20．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.
（1）求的极值点与极值.
（2）当，时，证明：.
21．（12分）2019年6月，国内的运营牌照开始发放.从到，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率；
（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
22．（10分）设为等差数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：
，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．
2、D
【解析】
由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.
【详解】
由题得对恒成立，
令，
在单调递减，且，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又在单调递增，，
的取值范围为.
故选：D
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.
3、B
【解析】
根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.
【详解】
函数


则函数的最大值为2，
存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即
故答案为：B.
这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.
4、B
【解析】
由的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解
【详解】
由函数是R上的增函数，知命题p是真命题．
对于命题q，当，即时，；
当，即时，，
由，得，无解，
因此命题q是假命题．所以为假命题，A错误；
为真命题，B正确；
为假命题，C错误；
为真命题，D错误．
故选：B
本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
5、A
【解析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
因此，随机变量的数学期望为.
故选：A.
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
6、B
【解析】
先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可
【详解】
解不等式可得，
解绝对值不等式可得，
由于为的子集，
据此可知“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.
7、A
【解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解.
【详解】
设点的坐标为，
由题意知，焦点,准线方程，
所以，解得，
把点代入抛物线方程可得，
，因为，所以，
所以点坐标为，
代入斜率公式可得，.
故选：A
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.
8、B
【解析】
由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算．
【详解】
由，得，则，
，，所以．
故选：B．
本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．
9、C
【解析】
根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；
【详解】
解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），
故选：C
考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．
10、A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
11、B
【解析】
用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.
【详解】
①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.
②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.
③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补，故③错误.
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.
故选：B
本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.
12、B
【解析】
设，则，，
因为，所以．若，则，所以，
所以，不符合题意，所以，则，
所以，所以，，设，则，
在中，易得，所以，解得（负值舍去），
所以椭圆的离心率．故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是 ，故答案为（1），（2）.
14、4038.
【解析】
由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．
【详解】
由知：
得函数的图象关于点对称
又函数的图象关于点对称
则函数图象与函数图象的交点关于点对称
则
故，
即
本题正确结果：
本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．
15、
【解析】
求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。
【详解】
因为，所以，因为，所以.
当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意；
当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得.
令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是.
故答案为：.
本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.
16、1
【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题.
在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：
由图象可知：当时，两个函数只有一个交点.
故答案为：1
本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.4；（2）；（3）应选择方案，理由见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；
（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率；
（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择.
【详解】
（1）设事件为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.
根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为，
∵，
∴估计为0.4.
（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”，
设事件，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”，
则，
所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.
（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，
方案的日工资，
方案的日工资，
所以随机变量的分布列为
；
同理，随机变量的分布列为
.
∵，
∴建议骑手应选择方案.
本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.
18、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.
【详解】
（1）解：，
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
19、（1）；（2）4
【解析】
（1）根据已知用二倍角余弦求出，进而求出，利用正弦定理，即可求解；
（2）由边角，利用余弦定理结合基本不等式，求出的最大值，即可求出结论.
【详解】
（1）∵，∴，
由正弦定理得.
（2）由（1）知，，
所以，，，
当且仅当时，的面积有最大值4.
本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.
20、（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为.
，由已知得，解得
∴，
令，得
令，得，∴在上单调递增.
令，得∴在上单调递减
∴的极小值点为，极小值为，无极大值.
（2）证明：由（1）知，∴，
令，
即
∵，， ∴恒成立.
∴在上单调递增
又，∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴， 即
∴
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
21、（1）（2）详见解析（3）事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
【解析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意的所有可能值为，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，得到七概率为，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即.
（2）由题意的所有可能值为，
记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
由题意可知，事件，相互独立，且，，
所以，
，
，
所以的分布列为
故的数学期望.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，那么.
回答一：事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.
回答二：事件发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
22、（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，整理得，
解得，，因此，；
（2），
满足不等式的正整数恰有个，得，
由于，若为奇数，则不等式不可能成立.
只考虑为偶数的情况，令，
则，．
.
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以，，
又，，，，.
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
用户分类
预计升级到的时段
人数
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2020年1月至2021年12月
530人
后期用户
2022年1月及以后
200人

160
180
200
220
240
260
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0.05
0.05
0.2
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0.2
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0.3
0.3
0.2
0.15
0.05
0
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0.49
0.33