2027届宝鸡市高考仿真模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份2027届宝鸡市高考仿真模拟数学试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了复数，已知圆，已知复数满足，则=，若双曲线，已知集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）
A．24B．36C．48D．64
2．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
3．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )
A．B．
C．D．
4．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
5．复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．3B．
C．2D．
6．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为( )
A．B．C．D．
8．已知复数满足，则=（ ）
A．B．
C．D．
9．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．
11．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）
A．1B．2C．D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若方程的解为，（），则_______；_______．
14．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
15．在区间内任意取一个数，则恰好为非负数的概率是________.
16． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.
18．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，E是边PD上一点，且.
（1）求证：平面ACE；
（2）当PA的长为何值时，AC与平面PCD所成的角为？
19．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.
（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.
20．（12分）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：.
21．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？
22．（10分）已知函数，．
（1）若，，求实数的值．
（2）若，，求正实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.
【详解】
当按照进行分配时，则有种不同的方案；
当按照进行分配，则有种不同的方案.
故共有36种不同的派遣方案，
故选：B.
本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.
2、D
【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；
B项利用线面垂直的判定定理；
C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.
【详解】
A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；
B项，如图：
当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；
C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；
D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.
故选D
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
3、B
【解析】
利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】
如图，，设为的中点，为的中点，
由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，
由题易知，的补角，分别为，
设三棱柱的棱长为2，
在中，，
；
在中，，
；
在中，，
，
.
故选：B
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.
4、C
【解析】
由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.
【详解】
，，
由于，则，同理可知，，
函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，
，则，，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.
所以，.
故选：C.
本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.
5、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.
【详解】
，
所以，，
故选：D.
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.
6、B
【解析】
试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
7、C
【解析】
设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论．
【详解】
设分别是的中点
平面
是等边三角形
又
平面 为与平面所成的角
是边长为的等边三角形
，且为所在截面圆的圆心
球的表面积为 球的半径
平面
本题正确选项：
本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．
8、B
【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.
【详解】
由，得，
所以，.
故选：B.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
9、D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
10、D
【解析】
首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵，解得
∴，∴.
故选：D
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
11、C
【解析】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
12、B
【解析】
因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.
【详解】
请在此输入详解！
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出在 上的对称轴，依据对称性可得的值;由可得，依据可求出的值.
【详解】
解：令，解得
因为，所以 关于 对称.则.
由，则
由可知，，又因为 ，
所以，则，即
故答案为: ;.
本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围，导致求出.在求的对称轴时，常用整体代入法，即令 进行求解.
14、
【解析】
利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】
的二项展开式的通项公式：，
令，解得.
∴，
解得.
故答案为：-2.
本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.
15、
【解析】
先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“恰好为非负数”的概率.
【详解】
当是非负数时，，区间长度是，
又因为对应的区间长度是，
所以“恰好为非负数”的概率是.
故答案为：.
本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.
16、
【解析】
分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列．
【详解】
第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为．
故答案为：1．
本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；
（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
（1），,又，，,
而、分别是、的中点，， 故面,
又且，故四边形是平行四边形,面,
又，是面内的两条相交直线, 故面面.
（2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则
，
，，,
设是平面PAB的法向量,，
令，则,,
直线NE与平面所成角的余弦值为.
本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.
18、（1）证明见解析；（2）当时，AC与平面PCD所成的角为.
【解析】
（1）连接交于，由相似三角形可得，结合得出，故而平面；
（2）过作，可证平面，根据计算，得出的大小，再计算的长．
【详解】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
，，
又平面ACE，平面ACE，
平面ACE.
（2），，
平面PAD
作，F为垂足，连接CF
平面PAD，平面PAD.
，有，，平面
就是AC与平面PCD所成的角，，
，，
，
，
时，AC与平面PCD所成的角为.
本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．
19、（1）；（2）①可能是2件；②详见解析
【解析】
（1）由一件手工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；
②分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.
【详解】
（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，
则，其中，
.
由得，整数不存在，
由得，所以当时，，即，
由得，所以当时，，
所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，
一件手工艺品质量为C级的概率为，
一件手工艺品质量为D级的概率为，
所以X的分布列为：
则期望为.
本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
20、（1），；（2）详见解析.
【解析】
（1）当时，，当时，，
当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，
∴，又∵，
∴或（舍去），
∴；
（2）由（1）可得：，
∴
，显然数列是递增数列，
∴，即.）
21、（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大
【解析】
（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.
（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.
【详解】
（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.
可得.
（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.
②当投入2艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
③当投入3艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.
本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
22、（1）1（2）
【解析】
（1）求得和，由，，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解．
（2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解．
解法二：可利用导数，先证明不等式，，，，
令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
（1）由题意，得，，
由，…①，得，
令，则，
因为，所以在单调递增，
又，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，当且仅当时等号成立．
故方程①有且仅有唯一解，实数的值为1．
（2）解法一：令（），
则，
所以当时，，单调递增;
当时，，单调递减;
故
．
令（），
则．
（i）若时，，在单调递增，
所以，满足题意．
（ii）若时，，满足题意．
（iii）若时，，在单调递减，
所以．不满足题意．
综上述：．
解法二：先证明不等式，，，…（*）．
令，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即．
变形得，，所以时，，
所以当时，.
又由上式得，当时，，，.
因此不等式（*）均成立．
令（），
则，
（i）若时，当时，，单调递增;
当时，，单调递减;
故
．
（ii）若时，，在单调递增，
所以 ．
因此，①当时，此时，，，
则需
由（*）知，，（当且仅当时等号成立），所以．
②当时，此时，，
则当时，
（由（*）知）；
当时，（由（*）知）．故对于任意，．
综上述：．
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
劳动节当日客流量
频数（年）
2
4
4
劳动节当日客流量
型游船最多使用量
1
2
3
X
900
600
300
100
P
2.5
6
2
5.5
9