2026-2027学年广元市高三压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2026-2027学年广元市高三压轴卷数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知为锐角，且，则等于，已知集合，，则，若直线经过抛物线的焦点，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．12B．C．D．10
6．已知为锐角，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．
8．若直线经过抛物线的焦点，则（ ）
A．B．C．2D．
9．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
10．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强
11．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（ ）
A．B．C．D．
12．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足约束条件，则的最大值为__________．
14．二项式的展开式中项的系数为_____．
15．已知向量，且向量与的夹角为_______.
16．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中，，，，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
18．（12分）设，函数.
（1）当时，求在内的极值；
（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.
19．（12分）设抛物线过点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.
20．（12分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．
（1）求证：；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
21．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.
【详解】
双曲线的右顶点为，右焦点为，
M所在直线为，不妨设，
∴MF的中点坐标为.代入方程可得，
∴，∴，∴（负值舍去）.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.
2、C
【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.
【详解】
由双曲线，
则渐近线方程：，
，

连接，则，解得，
所以，解得.
故双曲线方程为.
故选：C
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.
3、B
【解析】
根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以集合
则
所以的子集共有
故选：B
本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.
4、B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
5、C
【解析】
取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径
【详解】
如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=，
故选：C.
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.
6、C
【解析】
由可得，再利用计算即可.
【详解】
因为，，所以，
所以.
故选：C.
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
7、D
【解析】
首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵，解得
∴，∴.
故选：D
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
8、B
【解析】
计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.
【详解】
可化为，焦点坐标为，故.
故选：.
本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.
9、D
【解析】
推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
，
则，
，
，所以，函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，，即，解得或.
①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：
此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；
②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.
综上所述，.
故选：D.
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10、D
【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.
【详解】
对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，
故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；
对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，
故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；
对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为
，
乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；
对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；
故选：D
本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
11、D
【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小
【详解】
因为偶函数在减，所以在上增，
，，，∴.
故选：D
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
12、D
【解析】
根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
作出可行域如图所示：
由，解得.
目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.
14、15
【解析】
由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.
【详解】
由题得，，令，解得，
所以二项式的展开式中项的系数为.
故答案为：15
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.
15、1
【解析】
根据向量数量积的定义求解即可．
【详解】
解：∵向量，且向量与的夹角为，
∴||；
所以：•（）2cs2﹣2＝1，
故答案为：1．
本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．
16、
【解析】
由题意可知，，在和中，利用余弦定理建立
方程求，同理求，求，代入求值.
【详解】
由圆内接四边形的性质可得,．连接BD，在中，
有．在中，．
所以,
则，所以．
连接AC，同理可得,
所以．所以．
故答案为：
本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.
【详解】
（1），，
设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
所以，当时，轴为曲线的切线；
（2）令，，
则，，由，得.
当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.
，.
①当，即当时，函数有一个零点；
②当，即当时，函数有两个零点；
③当，即当时，函数有三个零点；
④当，即当时，函数有两个零点；
⑤当，即当时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．
18、（1）极大值是，无极小值；（2）
【解析】
（1）当时，可求得，令，利用导数可判断的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；
（2）表示出，并求得，由题意，得方程有两个不同的实根，，从而可得△及，由，得．则可化为对任意的恒成立，按照、、三种情况分类讨论，分离参数后转化为求函数的最值可解决；
【详解】
（1）当时，.
令，则，显然在上单调递减，
又因为，故时，总有，所以在上单调递减.
由于，所以当时，；当时，.
当变化时，的变化情况如下表：
所以在上的极大值是，无极小值.
（2）由于，则.由题意，方程有两个不等实根，则，解得，且，又，所以.
由，，可得
又.将其代入上式得：.
整理得，即
当时，不等式恒成立，即.
当时，恒成立，即，令，易证是上的减函数.因此，当时，，故.
当时，恒成立，即，
因此，当时，所以.
综上所述，.
本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．
19、（1）（2）
【解析】
(1)代入计算即可.
(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.
【详解】
解：
（1）因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.
本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.
20、（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）对求导，令，求导研究单调性，分析可得存在使得，即，即得证；
（2）分，两种情况讨论，当时，转化利用均值不等式即得证；当，有两个不同的零点，，分析可得的最小值为，分，讨论即得解.
【详解】
（1）由题意，
令，则，知为的增函数，
因为，，
所以，存在使得，即．
所以，当时，为减函数，
当时，为增函数，
故当时，取得最小值，也就是取得最小值．
故，于是有，即，
所以有，证毕．
（2）由（1）知，的最小值为，
①当，即时，为的增函数，
所以，
，
由（1）中，得，即．
故满足题意．
②当，即时，有两个不同的零点，，
且，即，
若时，为减函数，（*）
若时，为增函数，
所以的最小值为．
注意到时，，且此时，
（ⅰ）当时，，
所以，即，
又
，
而，所以，即．
由于在下，恒有，所以．
（ⅱ）当时，，
所以，
所以由（*）知时，为减函数，
所以，不满足时，恒成立，故舍去．
故满足条件．
综上所述：的取值范围是．
本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）由题意，，
设与交于点，在中，可求得，则，
可求得，则
（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立空间直角坐标系.
，，，
，，易得平面的法向量为.
，，易得平面的法向量为.
设二面角为，由图可知为锐角，所以
.
即二面角的余弦值为.
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）答案见解析．（2）
【解析】
（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）因为，所以平面，
因为平面，所以．
因为，点为中点，所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量，则即
取，则，，所以，
设平面的一个法向量，则即
取，则，，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
+
-
增
极大
减