[2026届]湖南省永州市高考考前模拟数学试卷-含解析

这是一份[2026届]湖南省永州市高考考前模拟数学试卷-含解析，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则的值为（ ）
A. 5B.
C. D.
3. 已知向量满足，则（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 1B. C. 7D.
5. 已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ）
A. 4∶5B. 5∶7C. 10∶17D. 8∶19
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机事件满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件相互独立
B.
C. 若，则
D. 若，则
10. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（ ）
A. M中所有直线均经过一个定点
B. 点到M中任意一条直线的距离为定值
C. 点到M中所有直线距离的最大值为6
D. 不在直线系M中的点都落在面积为的区域内
11. 已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为__________.
13. 已知，，则_________．
14. 将6枚硬币正面朝上排成一行，按照下列规则操作每一次的动作：抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为，则将排成一行的这6枚硬币最左边的枚硬币都翻转一次．进行三次操作后，6枚硬币中恰有2枚硬币正面朝上的概率为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）求角B的值；
（2）若且△ABC的面积为求BC边上的中线AM的长.
17. 已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围；
18. 抛物线（）上有一系列点，，…，…，对于所有正整数n，以点为圆心的与y轴相切，且与又彼此外切．若，点到C的焦点的距离为，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）设的面积为，，求证：．
19. 某棋类游戏有不同规格的地图，规格为（，）的地图共有个格子，编号为0，1，2，…，，如下图所示.
游戏规则如下：
①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）；
②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败；
③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励10n元.
（1）若选定规格为的地图，求游戏成功的概率；
（2）若选定规格为的地图，求棋子落到2n号格子且游戏成功的概率；
（3）为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由或，，
所以.
2. 已知，则的值为（ ）
A. 5B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：，
．
3. 已知向量满足，则（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
答案：B
解析：
思路：通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可.
解答过程：平面向量的夹角为，，，
则向量.
4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 1B. C. 7D.
答案：B
解析：
思路：利用二项式定理通项公式即可求解.
解答过程：由题意得：的展开式的通项为：，
所以的系数：.
5. 已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解.
解答过程：由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆.
则，
所以.
6. 设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：D
解析：
思路：根据得是的对称轴，进而可得，由同角平方关系可得，进而代入中即可求解.
解答过程：因为 ,则关于对称，
故取到最值，因此
当时，
当时，
故选：D
7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据分段函数的值域可得，令，，利用导数判断的单调性，利用单调性解不等式.
解答过程：因为在内单调递增，则，
可知函数在内的值域为；
又因为在内单调递增，则，
可知函数在内的值域为；
由题意可知：，即，
令，，则，
因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
又因为，且，
则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为.
8. 在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ）
A. 4∶5B. 5∶7C. 10∶17D. 8∶19
答案：D
解析：
思路：根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值.
解答过程：取的中点，连接，；
，，即点在线段上，.
过点作，分别交，于点，.
平面是过点，，三点的平面.
设，直三棱柱的高为.
.
，，；
；
直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小），
，则；
.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机事件满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件相互独立
B.
C. 若，则
D. 若，则
答案：AC
解析：
思路：利用条件概率公式，相互独立事件概率公式，并事件概率公式来进行求解即可.
解答过程：由，
代入已知得.
选项A，事件相互独立的充要条件是.
计算得，因此相互独立，A正确.
选项B，根据条件概率公式，，显然，B错误.
选项C，已知，又，
因此，C正确.
选项D，已知，代入得
.又因为，
两式消元可得，，解得，D错误.
10. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线平行的直线系可表示为．设直线系（），则（ ）
A. M中所有直线均经过一个定点
B. 点到M中任意一条直线的距离为定值
C. 点到M中所有直线距离的最大值为6
D. 不在直线系M中的点都落在面积为的区域内
答案：BCD
解析：
思路：利用直线系的性质，把直线系方程转化为的圆的全部切线，再根据圆的切线的性质判断选项，利用动圆切线无公共点判断选项A；利用点到直线距离公式计算判断选项B；利用定点到切线最大距离为圆心距与半径的和，判断选项C；不在直线系M中的点落在圆内部，即，求面积判断选项D．
解答过程：直线系方程表示圆心为，半径的圆的全部切线，
若直线过定点，则对任意恒成立，
不存在这样的定点，故A错误；
由点到直线的距离公式，点到直线距离，
距离恒为定值1，故B正确；
设，圆心，两点间距，
点到圆切线距离的最大值为，故C正确；
不在直线系M中的点到的距离小于1，在圆内部，
圆面积，故D正确．
11. 已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则D.
答案：BCD
解析：
思路：直接计算出即可判断A选项；构造函数函数，由，得到，进而判断B选项；
由得到，再结合累乘法得到，按照等比数列求和公式即可判断C选项；
构造函数，由得到，结合累乘法求得，按照等比数列求和公式即可判断D选项.
解答过程：，则，又，所以，A不正确.
令函数，则，则在上单调递减，在上单调递增，，即，又易得是递增数列，，故，所以，B正确.
易知是递增数列，所以，则，则，即，所以，即，所以，所以，
而当时，则有，C正确.
令函数，则，所以在上单调递减，所以当时，，则，
所以，，，
所以，D正确.
故选：BCD.
方法提示：本题关键点在于B选项通过构造函数进行放缩得到，结合即可判断；C选项由放缩得到，D选项构造函数得到，再结合累乘法和求和公式进行判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为__________.
答案：
解析：
思路：由已知可得，计算可得，可得渐近线方程.
解答过程：因为双曲线的离心率为，所以，
两边平方得，所以，所以，解得，
又双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
13. 已知，，则_________．
答案：##
解析：
解答过程：由题设，所以，
结合，可得，且，即，
所以.
14. 将6枚硬币正面朝上排成一行，按照下列规则操作每一次的动作：抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为，则将排成一行的这6枚硬币最左边的枚硬币都翻转一次．进行三次操作后，6枚硬币中恰有2枚硬币正面朝上的概率为_____________．
答案：
解析：
思路：先明确硬币最终状态与翻转次数奇偶性的对应关系，再将三次抛骰子的点数按重复情况分类，结合排列组合计数、枚举法统计符合“恰有2枚硬币正面朝上”的基本事件数，最终利用古典概型公式计算概率
解答过程：∵ 每枚硬币初始状态为正面朝上，翻转偶数次则回到正面，翻转奇数次则变为反面.
∴ 要满足三次操作后恰有2枚正面朝上，等价于恰有2枚硬币被翻转偶数次，剩余4枚被翻转奇数次.
设三次抛掷骰子得到的点数分别为（每个点数取值为，等可能），总基本事件数为.
对第枚硬币（从左到右排序，）：仅当某次操作的点数时，它会被翻转，因此其翻转次数等于中大于等于的个数，我们仅需考虑该次数的奇偶性即可判断最终状态.
我们按三次点数的重复情况分为两类讨论：
类型1：三次点数中，恰有一个点数出现的次数为奇数
∵ 出现偶数次的点数对翻转次数的奇偶性无影响（翻两次等价于没翻），因此该类情况等效于仅对出现奇数次的那个点数操作了1次，即仅翻转前枚硬币.
此时前枚硬币翻转1次（奇数次，反面），后枚硬币未翻转（偶数次，正面），正面朝上的硬币数为.
令，得，即仅当出现奇数次的点数为4时符合要求.
计数该类的基本事件：
1. 点数4出现3次：即三次抛掷结果均为4，共种情况.
2. 点数4出现1次，剩余两次为同一个非4的点数：先选1次抛掷结果为4，有种选法；剩余两次的点数可从中任选，共种选择，总共有种情况.
∴ 类型1的符合条件的基本事件共种.
类型2：三次点数为3个互不相同的数
将三个不同的点数从小到大排序为，此时三个数各出现1次（均为奇数次），硬币的翻转奇偶性可分为四段：
当：三个点数均小于，翻转次数为0（偶数，正面），共枚；
当：仅，翻转次数为1（奇数，反面），共枚；
当：，翻转次数为2（偶数，正面），共枚；
当：三个点数均大于等于，翻转次数为3（奇数，反面），共枚.
∴ 正面朝上的总硬币数为，令其等于2，得：
结合的条件枚举：
1. 当时，代入得，满足的解为，对应三元组为，共3组.
2. 当时，代入得，满足的解为，对应三元组为，共3组.
每组三个不同的点数可进行全排列，共种排列方式，因此类型2的符合条件的基本事件共种.
符合条件的总基本事件数为，因此所求概率为：
方法提示：方法归纳：本题核心是将硬币状态转化为翻转次数的奇偶性问题，剔除重复操作对奇偶性的无效影响，将复杂的多次操作简化为奇偶性分类，再结合排列组合计数、枚举法求解，是高中概率题中“化繁为简”的典型思路.
易错归纳：
1. 分类时需注意区分“点数重复”和“点数不重复”两类情况，避免漏算点数重复的16种基本事件；
2. 枚举三个不同点数的组合时，需严格满足的约束，防止出现重复计数或遗漏组合；
3. 计算排列数时，仅三个不同点数需要全排列，点数重复的情况不能套用全排列公式，避免多算基本事件.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
答案：（1）证明如下：
在五面体中，底面是正方形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为平面，平面平面，
所以.
因为为中点，，所以.
所以四边形是平行四边形.
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解析：
思路：（1）由正方形得，利用线面平行判定推出平面，再由线面平行性质得，结合中点及边长得，证出四边形为平行四边形从而，最后用线面平行判定定理证得平面.
（2）利用等腰三角形和面面垂直的性质，证明两两垂直，建立空间直角坐标系.然后分别求出平面和平面的法向量，最后用向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值.
（1）略
（2）取的中点，作，.
因为为正方形，所以.
因为，所以.
因为，，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
所以，即两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系，
则.
因此，由题可知平面的一法向量为.
设平面的法向量为.
则即
令，则.于是.
设平面与平面夹角为，则
.
16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）求角B的值；
（2）若且△ABC的面积为求BC边上的中线AM的长.
答案：（1）；（2）7.
解析：
思路：（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB，结合B∈（0，π），可得B的值.
（2）由已知可求∠C，设AC＝BC＝2a，利用三角形的面积公式可求a的值，可得AC＝BC＝2，在△ACM中，由余弦定理即可求解AM的值.
解答过程：（1）因为asinB﹣bcsBcsC＝ccs2B，
所以由正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcsBcsC＝sinCcs2B，
可得sinAsinB＝csB（sinBcsC+sinCcsB）＝csBsinA，
因为sinA≠0，可得sinB＝csB，即tanB，
由B∈（0，π），可得B.
（2）由已知A，则△ABC是等腰三角形，∠C，设AC＝BC＝2a，
可得S△ABCACBCsin∠ACB（2a）2sina2，
由已知△ABC的面积为7，得a2＝7，a，可得AC＝BC＝2，
△ACM中，由余弦定理，AM2＝CA2+CM2﹣2CACMcs
＝（2）2+（）2﹣2×2（）
＝49，
所以AM＝7.
17. 已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围；
答案：（1）当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值．
（2）解析：
思路：（1）对函数求导，再分类讨论求解即可；
（2）将问题转化为当时，恒成立，进而构造函数恒成立，分与讨论求解即可；
（1），定义域为R，，
当时，恒成立，故函数在R单调递增，无极值；
当时，令得，
故当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，无极小值．
综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值．
（2），
因为，当时，恒成立，
所以，当时，恒成立，
令，，，
，，
令，，
则在恒成立，即在单调递增，
故当，即时，，在单调递增，
在恒成立；
当，即时，当时，，
所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增，
故由可知，时，，与满足在恒成立矛盾；
综上，当时，在恒成立，即恒成立．
18. 抛物线（）上有一系列点，，…，…，对于所有正整数n，以点为圆心的与y轴相切，且与又彼此外切．若，点到C的焦点的距离为，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）设的面积为，，求证：．
答案：（1）
（2）依题意的半径为，的半径为，又和两圆相外切，
则，即，
两边平方整理得，
所以，
又，所以，即，
因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（3）由（2）得，即，
又，所以，
所以①当时，成立；
②当时，因为，
所以
，
综上，得证．
解析：
思路：（1）通过抛物线的定义求解抛物线方程；
（2）寻找 的关系，从而判断数列是等差数列；
（3）进行不等式放缩，再通过裂项相消求和求解.
（1）由题意，设抛物线C的焦点为F，有，
解得或2，又，所以取，故抛物线C的方程为．
（2）略
（3）略
19. 某棋类游戏有不同规格的地图，规格为（，）的地图共有个格子，编号为0，1，2，…，，如下图所示.
游戏规则如下：
①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）；
②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败；
③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励10n元.
（1）若选定规格为的地图，求游戏成功的概率；
（2）若选定规格为的地图，求棋子落到2n号格子且游戏成功的概率；
（3）为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）列出失败的路径，求出失败的概率再计算即可；
（2）列出棋子路径，再计算概率即可；
（3）先列出成功的情况，分别计算其概率再相加，再列出收益分布列和期望表达式，计算最大值即可.
（1）由题意得，向前跳1格概率为，向前跳2格为，
时，游戏失败只有2和4两格均落到和不落到2号格且从4号格直接落到6号格，
落到2号格概率为，从2号格到4号格概率为，
不落到2号格且落到4号格概率为，从4号格直接落到6号格概率为，
故失败的概率为，
所以成功的概率为；
（2）因为2n号格为非零偶数格，所以棋子在落到2n号格子前不能落到非零偶数格上，
所以路线为共 次跳 2 格，3 次跳 1 格，
所以棋子落到号格子且游戏成功的概率为；
（3）设“游戏结束时，余下的金币数量”，则，
；
时，棋子路径有3种情况：
，其概率为；
，其概率为；
棋子落到第号格处且成功，共有种路径，
，
每条路径概率相等且每条路径概率为，
，
总成功概率，
设收益为，则的分布列为
，
令，即，解得，
，所以故 时期望最大，期望最大的地图规格为.
0
1
2
…
2n
0
1
2
…
2n