北京市第四中学2025-2026学年第二学期期末高二数学试卷（含答案）

这是一份北京市第四中学2025-2026学年第二学期期末高二数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，存在极值点的函数是( )
A. fx=ex−xB. fx=x3−x2+x
C. fx=1xD. fx=lnx+x
2.两个实习生每人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别是23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率是( )
A. 16B. 14C. 512D. 12
3.甲、乙两人投篮的命中率分别为p01，则下列不等式中正确的是( )
A. a−bb2C. −1aa+4b
10.已知a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式中正确的是( )
A. a2+b2≥3B. a2+b2≤2 2C. 1a+2b≥3D. 1a+2b≥32+ 2
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知函数fx=xx−1，fx的导函数为f′x，则f′2= ．
12.已知等差数列an的公差不为零，且a2+a3=a6，则a1+a2a3+a4+a5= ．
13.某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为m，n，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
则a+b= ；m+n= ．
14.中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”(乘23)和“益一”(乘43)操作，依次生得十二律管.记a1=1(黄钟)，第n次损益后所得律管的长度为an+1，已知损益规则为an+1=23an,n为奇数,43an,n为偶数n∈N，设bn=an+an+1，则数列bn的前11项中，最大值是 ．
15.已知无穷数列an满足a1=m，an=an−13−3an−1+kn≥2,n∈N∗，给出下列四个结论：
①对任意实数m，存在实数k，使得数列an为等差数列；
②对任意实数k，存在实数m，使得数列an为单调递增数列；
③对任意实数k，存在实数m，使得数列an的每项都小于0且互不相等；
④不存在实数m和k，使得数列an为等比数列(公比q≠1)，
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知在等比数列an中，a1=1，公比为qq>0，且a2是q和a3−2的等差中项．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足__________，求数列an+bn的前2n项的和．
从①b1=1，bn+1⋅bn=2n∈N∗；②bn+bn+1=3n∈N∗这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.智能手机的普及推动了人们对电池续航与寿命的更高要求.电池健康度作为衡量电池实际性能与剩余寿命的核心指标，通常以百分比呈现．
为评估市场上甲、乙、丙三种型号手机的电池耐用性，某评测机构对这三种型号手机各随机选取8台设备，每台均执行完全相同的1000次充放电循环测试.随后，使用专业设备检测并记录每台手机的当前电池健康度．
下表为三种型号手机在完成1000次充放电循环后的具体电池健康度数据：
假设忽略其余因素对电池健康度的影响，用频率估计概率．
(1)根据上述数据，若随机选择一台全新的甲型号手机，试估计其在完成1000次充放电循环后，电池健康度低于80%的概率；
(2)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各一台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这3台手机中，电池健康度低于80%的手机数目为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各100台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这三种型号手机电池健康度低于80%的手机数目分别为X1，X2，X3，试比较DX1，DX2，DX3的大小.(结论不要求证明)
18.盒子里有大小相同的12个球，其中有m个红球m≥2，其余为白球，从中任取3个球，记fm为恰好取到2个红球的概率．
(1)求f3的值；
(2)当m为何值时，fm取得最大值．
19.已知函数fx=ln2x−1−a2x2+1，a∈R．
(1)若x=1为函数y=fx的极值点，求a的值；
(2)当a≥0时，求函数y=fx的单调区间；
(3)若函数y=fx的图象恒在x轴的下方，求a的取值范围．
20.给定正奇数mm≥5，设an为首项为a1，公差为d(d≠0)，项数为m+1m的等差数列，将an中各项按如下规则排成一个有m行，m+1列的数阵a1a2ma2m+1⋯a(m−1)m+1a(m+1)ma2a2m−1a2m+2⋯a(m−1)m+2a(m+1)m−1⋮⋮⋮ ⋮⋮am−1am+2a3m−1⋯am2−1am2+2amam+1a3m⋯am2am2+1．
(1)若an=n，m=5，写出数阵，并计算a2+a8+a14+a16+a21+a29；
(2)求证：数阵中每一行所有数的和为同一定值；
(3)设k∈1,2,⋯,m，从数阵的第1列开始，在每一列中，分别取出第k行，第k+1行，⋯，第m行，第1行，第2行，⋯，第k行的数，将取出的m+1个数相加，记得到的和为M.求证：对给定的数阵，M的取值有且只有两种可能．
21.已知函数fx=ex2x2−9x+6．
(1)求fx在x=1处的切线；
(2)求fx在−1,2上的最值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】−1
12.【答案】13
13.【答案】79 ； ； ； ； ；；1
14.【答案】53 /123
15.【答案】①②③
16.【答案】解：(1)因为a2是q和a3−2的等差中项，
所以2a2=q+a3−2，即2q=q+q2−2，
所以q2−q−2=0，
解得q=2或q=−10，所以fx在12,+∞上单调递增；
当a>0时，gx是开口向下的二次函数，且其对称轴为x=140，则gx=0存在唯一正根x=x0=a+ a2+16a4a∈12,+∞，
则当x∈12,a+ a2+16a4a时，gx>0，即f′x>0，所以fx在12,a+ a2+16a4a上单调递增；
当x∈a+ a2+16a4a,+∞时，gx0时，fx在x=x0=a+ a2+16a4a处取得最大值，则只需fx00，
即ℎx在12,+∞上单调递增，且ℎ1=0−12+12=0，
所以ℎx