2025--2026学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期期中练习数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期期中练习数学试题-含解析试卷主要包含了 已知复数，则， 已知，，，则， 已知向量，，若与垂直，则， 已知中，，，，则， 若，其中，则＝， 是斜边上一点，若，则的值， 下列等式成立的是， 下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 5
2. 已知，，，则（ ）
A. 、、三点共线B. 、、三点共线
C. 、、三点共线D. 、、三点共线
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，若与垂直，则（ ）
A. 13B. C. 11D.
5. 已知中，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 若，其中，则＝（ ）
A. B. C. D.
7. 是斜边上一点，若，则的值（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，且，则
B. 对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11. 设中角，，所对的边长度分别为，，，满足，则以下选项中正确的有（ ）
A. 为锐角三角形
B. 若确定，则的面积确定
C.
D.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________．
13. 化简_______________.
14. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是______．
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中，为虚数单位.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围.
16. 如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，.

（1）在图中，以为起点作向量，并求；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若与垂直，求实数的值.
17. 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若，求的值．
18. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
（1）若，求；
（2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
数学
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 5
答案：C
解析：
解答过程：
2. 已知，，，则（ ）
A. 、、三点共线B. 、、三点共线
C. 、、三点共线D. 、、三点共线
答案：A
解析：
思路：利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可.
解答过程：对于A选项，，
故、、三点共线，A对；
对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错；
对于C选项，因为，，
所以、不一定共线，C错；
对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错.
故选：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：逆用两角和的正弦公式求解即可
解答过程：，
故选：D
4. 已知向量，，若与垂直，则（ ）
A. 13B. C. 11D.
答案：A
解析：
解答过程：，若与垂直，则，
即：，解得：.
5. 已知中，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：D
解析：
思路：直接利用正弦定理求解即可．
解答过程：在中，由正弦定理，得，
所以，又，所以或.
故选：D
6. 若，其中，则＝（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将和平方后相加，结合的值，建立方程求解.
解答过程：∵，则令①，
∵②，
由①2＋②2得，
又，∴．
∴．
故选：A.
7. 是斜边上一点，若，则的值（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据给定条件，结合几何图形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.
解答过程：在中，令，由，则，
，，
在中，，由正弦定理，，
即，整理得，
即，因，则有，即的值是.
故选：D
8. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.
解答过程：由，解得.
设，
则.
故选：C
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得.
解答过程：对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，取，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，且，则
B. 对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
答案：BC
解析：
思路：A.利用数量积的运算规律即可；B为共线定理；C通过共线定理构造，再通过面积之间的转化即可；D.向量夹角为锐角则两向量数量积为0且不共线.
解答过程：A.若 ，则，则或，故A错误；
B.此为共线定理，故B正确；
C.令 因，
则，则为的重心，故，
因，
同理可得，
则，故C正确；
D. ，当与共线时，有，得，
因与的夹角为锐角，则且与不共线，则且，故D错误；
故选：BC.
11. 设中角，，所对的边长度分别为，，，满足，则以下选项中正确的有（ ）
A. 为锐角三角形
B. 若确定，则的面积确定
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：对于A，令，分和讨论即可；对于B，由题意及和差化积角公式得出，，由平方关系求出，同理求出，若确定，则唯一确定，可判断；对于C，结合二倍角公式即可求；对于D，借助B的结论计算即可.
解答过程：对于A，在中，因为，
令，
显然，若，则，
因为，所以，则，
所以，同理，，，与矛盾，
若，此时，
因为，所以，则，
所以，同理，，，
即，，为锐角，故为锐角三角形，A正确；
对于B，因为，
所以，①，②
①+②得，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，③
①-②得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，④
由③④可得，
解得，同理，
若确定，则唯一确定，则它的面积确定，B正确；
对于C，由B可知，，
所以，C错误；
对于D，由B可知，，
所以，D正确.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________．
答案：
解析：
解答过程：因为，所以，
解得：，所以，
所以在上的投影向量为.
13. 化简_______________.
答案：##0.5
解析：
思路：利用三角恒等变换，先化切为弦，把转化为，利用差角公式化简可得答案.
解答过程：
.
故答案为: .
14. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是______．
答案：
解析：
思路：由勾股定理得到，设，，由正弦定理得到，，故，其中，故，则.
解答过程：因为，，，所以，
设，，
则，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，所以
（其中），
所以，则，
即三角形的面积的最大值是．
故答案为：
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中，为虚数单位.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围.
答案：（1）2；（2）.
解析：
思路：（1）由纯虚数的概念，列方程组求参数m；
（2）根据在复平面内对应的点在第一象限，有，即可求的范围.
解答过程：（1）∵为纯虚数，
∴，解得
（2）由在复平面内对应的点在第一象限，
∴，解得或
∴实数的取值范围为
16. 如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，.

（1）在图中，以为起点作向量，并求；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若与垂直，求实数的值.
答案：（1）作图见解析，；
（2）；
（3）解析：
思路：（1）利用平行四边形法则作出作向量，再由求解；
（2）根据与共线，利用共线向量定理求解；
（3）根据与垂直，由求解.
（1）如图所示：

；
（2）因为，，且与共线，
所以 ，解得；
（3）因为，，且与垂直，
所以，
，
，
解得.
17. 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用切化弦与二倍角公式，以及辅助角公式，化为正弦型函数，根据x的取值范围求的范围即得；
（2）根据三角恒等变换和二倍角公式，利用同角的三角函数关系，求解即可．
（1）＝
＝＝＝，
因为，所以，所以，
即函数的值域为.
（2）由，，
得，
所以
＝.
18. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
（1）若，求；
（2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
答案：（1）答案见解析
（2）验证见解析，1 （3）14
解析：
思路：（1）在中，由余弦定理求得,结合，得是等边三角形，即可求出；
（2）在与中，分别用余弦定理表示，即可证明；
（3）分别表示出，则，由（2）知：，代入消去角，利用三角函数求最值即可．
（1）由，．，
在中，由余弦定理得,
所以.
又，所以是等边三角形，
所以；
（2）在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得，
∴
所以为定值；
（3），
则，
由（2）知：，∴
代入上式得：，
配方得：，
∵
又,
所以当时，取到最大值14．
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
答案：（1）；（2）；（3）存在，点.
解析：
思路：（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.
解答过程：解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.
方法提示：关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.