（2027届高考物理人教版（2019）二轮练习（含解析）复习之挑战压轴题：带电粒子在磁场中的运动（10题）

这是一份（2027届高考物理人教版（2019）二轮练习（含解析）复习之挑战压轴题：带电粒子在磁场中的运动（10题），共3页。试卷主要包含了解答题，离心运动和向心运动等内容，欢迎下载使用。
1．（江苏模拟）如图所示，在直角坐标系中，第一象限内有垂直于平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。是轴上高为的绝缘挡板的上端，坐标原点处在挡板的下端。一质量为、电荷量为的粒子自轴上处，垂直于轴沿轴正方向射入磁场，粒子恰好从挡板的点离开右边的磁场。为了使粒子能运动到坐标原点处，可以在第二象限内加合适的电场，不计粒子的重力。求：
（1）粒子做圆周运动的半径；
（2）粒子自点射出的速度；
（3）若加上与粒子速度方向垂直的匀强电场，求匀强电场的电场强度的大小。
2．（浙江）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示。左侧静电分析器中有方向指向圆心、与点等距离的各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零。离子源发出两种速度均为、电荷量均为、质量分别为和的正离子束，从点垂直该点电场方向进入静电分析器。在静电分析器中，质量为的离子沿半径为的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从点水平射出，而质量为的离子恰好从连线的中点与水平方向成角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为的离子打在点正下方的点。已知，，、两点间的电势差，，不计重力和离子间相互作用。
（1）求静电分析器中半径为处的电场强度和磁分析器中的磁感应强度的大小；
（2）求质量为的离子到达探测板上的位置与点的距离（用表示）；
（3）若磁感应强度在△到△之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为和的两束离子，求的最大值
3．（2015•重庆）图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场。其中和是间距为的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔和，，为靶点，为大于1的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为．质量为、带电量为的正离子从点由静止开始加速，经进入磁场区域。当离子打到极板上区域（含点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到点所需的磁感应强度大小；
（2）能使离子打到点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。
4．（无锡一模）如图所示，同轴圆形区域内、外半径分别为、，半径为的圆内分布着的匀强磁场，方向垂直于纸面向外；外面环形磁场区域分布着的匀强磁场，方向垂直于纸面向内。一对平行极板竖直放置，极板间距，右极板与环形磁场外边界相切，一带正电的粒子从平行极板左板点由静止释放，经加速后通过右板小孔，垂直进入环形磁场区域。已知点、、在同一水平线上，粒子比荷，不计粒子的重力，且不考虑粒子的相对论效应。求：
（1）要使粒子不能进入中间的圆形磁场区域，粒子在磁场中的轨道半径满足什么条件？
（2）若改变加速电压大小，可使粒子进入圆形磁场区域，且能竖直通过圆心，则加速电压为多大？
（3）从点出发开始计时，在满足第（2）问的条件下，粒子到达点的时刻。
5．（门头沟区一模）用洛伦兹力演示仪可以观察运动电子在磁场中的运动轨迹，如图甲和乙是洛伦兹力演示仪的实物图和结构示意图。两个平行的共轴串联的圆形线圈构成励磁线圈，通过电流表可测其电流的大小。当通过励磁线圈的电流为时，线圈之间产生沿线圈轴向的匀强磁场，磁感应强度的大小为．电子枪中的电子（初速度不计）的加速电压的大小通过电压表可以测量，电流和电压的大小都可以调节。电子垂直于磁场方向入射后的运动轨迹如图乙所示。不计电子所受重力以及电子运动对磁场的影响。
（1）如果已知电子电荷量为，质量为，且在某次实验中，匀强磁场的磁感应强度的大小为。
．求电子运动周期的大小；
．电子的运动等效为环形电流，求此电流值的大小。
（2）图甲中的标尺可测量电子束直径，且磁感应强度与励磁电流的关系为可以视为已知常数）。
．请通过计算说明利用此实验可以测量电子的比荷；
．某学习小组实验后做出的图象如图丙所示，并求出了此图象斜率为．请你推导电子比荷测量值的表达式，并指出他们实验过程中需要控制不变的物理量。
6．（江苏）如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为，宽为，中间两个磁场区域间隔为，中轴线与磁场区域两侧相交于、点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为、电荷量为，从沿轴线射入磁场。当入射速度为时，粒子从上方处射出磁场。取，。
（1）求磁感应强度大小；
（2）入射速度为时，求粒子从运动到的时间；
（3）入射速度仍为，通过沿轴线平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从运动到的时间增加△，求△的最大值。
7．（浙江二模）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为，圆筒的轴线在处，圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为．筒壁的处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为、电荷量为的带正电粒子以某初速度从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设筒壁是光滑的，与简壁发生弹性碰撞（切线方向速度不变，半径方向速度大小不变，方向反向），与筒壁碰撞时其电荷量不变，粒子重力不计
（1）如图甲所示，入射速度与的夹角为，粒子不与圆筒碰撞直接经过点，求出粒子的速度大小；
（2）在图甲所示的情况下，要使粒子回到小孔的时间最短，则粒子速度大小为多少？最短时间为多少？
（3）在图乙所示的情况下，入射速度与的夹角为，粒子在磁场内运动的总时间为且与圆环的碰撞不超过8次，到达处算最后一次“碰撞”，求满足上述条件的那些粒子在射入磁场时的速度大小。
8．（2020•芜湖一模）如图所示，在直角坐标系的第一象限中有两个全等的直角三角形区域Ⅰ和Ⅱ，充满了方向均垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅰ的磁感应强度大小为，区域Ⅱ的磁感应强度大小可调，点坐标为，点为的中点。质量为带电量为的粒子从点以平行于轴方向射入磁场Ⅱ中，速度大小为，不计粒子所受重力，粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场。
（1）若粒子无法进入区域Ⅰ中，求区域Ⅱ磁感应强度大小范围；
（2）若粒子恰好不能从边射出，求区域Ⅱ磁感应强度大小；
（3）若粒子能到达点，且粒子是由区域Ⅱ到达点的，求区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
9．（2015•浙江）某科研小组设计了一个粒子探测装置。如图甲所示，一个截面半径为的圆筒（筒长大于水平固定放置，筒内分布着垂直于轴线的水平方向匀强磁场，磁感应强度大小为．图乙为圆筒的入射截面，图丙为竖直方向过筒轴的切面。质量为，电荷量为的正离子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒内。圆筒内壁布满探测器，可记录粒子到达筒壁的位置。筒壁上的点和点与入射面的距离分别为和．（离子碰到探测器即被吸收，忽略离子间的相互作用）
（1）离子从点垂直射入，偏转后到达点，求该入射离子的速度；
（2）离子从线上垂直射入，求位于点处的探测器接收到的离子的入射速度范围；
（3）若离子以第（2）问求得范围内的速度垂直入射，从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为的筒壁位置，画出此入射区域的形状并求其面积。
10．（奉新县模拟）如图所示，在坐标系中的一个矩形区域里，存在着沿轴负方向的匀强电场，场强，该区域的水平宽度为，竖直宽度足够大。一带电粒子从轴上的点（纵坐标为以初动能沿轴正方向射出，粒子的带电量为，为使粒子通过轴上的点（横坐标为，则该电场区域应处于何位置，求出其左边界位置对应的横坐标？（不计粒子的重力作用）
2020年高考物理复习之挑战压轴题：带电粒子在磁场中的运动（10题）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题）
1．（江苏模拟）如图所示，在直角坐标系中，第一象限内有垂直于平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。是轴上高为的绝缘挡板的上端，坐标原点处在挡板的下端。一质量为、电荷量为的粒子自轴上处，垂直于轴沿轴正方向射入磁场，粒子恰好从挡板的点离开右边的磁场。为了使粒子能运动到坐标原点处，可以在第二象限内加合适的电场，不计粒子的重力。求：
（1）粒子做圆周运动的半径；
（2）粒子自点射出的速度；
（3）若加上与粒子速度方向垂直的匀强电场，求匀强电场的电场强度的大小。
【考点】：带电粒子在匀强磁场中的运动；：向心力；37：牛顿第二定律
【专题】43：推理法；536：带电粒子在磁场中的运动专题；32：定量思想
【分析】（1）作出粒子运动轨迹，由几何知识求出粒子轨道半径，
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子速度；
（3）粒子在电场中做类平抛运动，作出粒子运动轨迹，由类平抛运动知识求出电场强度。
【解答】解：（1）如图所示，过点作粒子速度的垂线交轴于，
连、两点，设，由几何关系知：
解得：
则，
设粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的半径为，在内：
由几何知识得：
解得：
（2）粒子受到的洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
求解得：
（3）粒子过后做类平抛运动，由图所示，
则：
联立解得：；
答：（1）粒子做圆周运动的半径为
（2）粒子从点射出的速度大小为；
（3）匀强电场的电场强度的大小为
【点评】本题考查了粒子在磁场与电场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹，由牛顿第二定律与类平抛运动规律即可正确解题，注意数学知识的应用。
2．（浙江）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示。左侧静电分析器中有方向指向圆心、与点等距离的各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零。离子源发出两种速度均为、电荷量均为、质量分别为和的正离子束，从点垂直该点电场方向进入静电分析器。在静电分析器中，质量为的离子沿半径为的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从点水平射出，而质量为的离子恰好从连线的中点与水平方向成角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为的离子打在点正下方的点。已知，，、两点间的电势差，，不计重力和离子间相互作用。
（1）求静电分析器中半径为处的电场强度和磁分析器中的磁感应强度的大小；
（2）求质量为的离子到达探测板上的位置与点的距离（用表示）；
（3）若磁感应强度在△到△之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为和的两束离子，求的最大值
【考点】37：牛顿第二定律；：带电粒子在匀强磁场中的运动；65：动能定理；：向心力
【专题】43：推理法；536：带电粒子在磁场中的运动专题；11：计算题；31：定性思想
【分析】（1）离子在静电分析器中做圆周运动，电场力提供向心力，离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出电场强度与磁感应强度。
（2）由动能定理求出离子的速度，应用牛顿第二定律求出离子做圆周运动的轨道半径，然后结合几何关系求出离子到达探测板上的位置与点的距离。
（3）磁感应强度变化时粒子做圆周运动的轨道半径发生变化，根据分辨条件求出的最大值。
【解答】解：（1）在静电分析器中，电场力提供向心力，
对质量为的离子由牛顿第二定律得：，
解得：；
质量为的离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：，
解得：；
（2）对质量为的离子，在电场中运动的过程中，由动能定理得：，
解得：，
质量为的离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设其运动半径为，
由牛顿第二定律得：，
解得：，
距离：，
解得：；
（3）恰好能分辨的条件：，
解得：；
答：（1）静电分析器中半径为处的电场强度为，磁分析器中的磁感应强度的大小为；
（2）质量为的离子到达探测板上的位置与点的距离为；
（3）若磁感应强度在△到△之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为和的两束离子，的最大值为：0.12。
【点评】本题考查了带电离子在磁场中的运动，根据题意分析清楚粒子运动过程、分析清楚向心力的来源是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律与动能定理可以解题。
3．（2015•重庆）图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场。其中和是间距为的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔和，，为靶点，为大于1的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为．质量为、带电量为的正离子从点由静止开始加速，经进入磁场区域。当离子打到极板上区域（含点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到点所需的磁感应强度大小；
（2）能使离子打到点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。
【考点】：质谱仪和回旋加速器的工作原理；：带电粒子在匀强磁场中的运动
【分析】（1）对直线加速过程，根据动能定理列式；对在磁场中圆周运动过程，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；最后联立求解即可；
（2）为了使离子打到点，粒子可以加速1次、2次、3次、，对加速过程根据动能定理列式，对在磁场中圆周运动过程根据牛顿第二定律列式；要考虑临界条件，一次加速后要达到虚线区域；
（3）打到点的能量最大的离子加速次数最大；在电场向上中是匀加速全程根据动量定理求解时间；在磁场中是匀速圆周运动，根据求解时间。
【解答】解：（1）在电场中的直线加速过程，设其加速后的速度为，根据动能定理，有：
①
在磁场中，根据牛顿第二定律，有：
②
联立解得磁感应强度大小：
③
（2）在电场中的第一次直线加速过程，根据动能定理，有：
④
在磁场第一次圆周运动过程中，设其运动半径为，根据牛顿第二定律，有：
⑤
其中：⑥
离子经过电场加速次后能打到点，则：
在电场中的前次直线加速过程，设加速后的速度为，根据动能定理，有：
⑦
在磁场中第次圆周运动过程，根据牛顿第二定律，有：
⑧
其中：⑨
联立解得：，2，3，4，，⑩
（3）在电场中次运动都是加速，可以当作一个匀加速直线运动进行考虑；
根据⑩式，最大速度为：
根据动量定理，有：
打到点的能量最大的离子加速次数最大，为：
联立解得：
在磁场中做圆周运动，为圈，即圈；
周期：
根据⑨式，
故在磁场中的运动时间为：
联立解得：
答：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到点所需的磁感应强度大小为；
（2）能使离子打到点的磁感应强度磁感应强度的可能值为，2，3，4，，；
（3）在磁场中运动的时间为；在电场中运动的时间为。
【点评】本题是回旋加速器的改进，电场方向不需要周期性改变，关键是明确粒子的运动规律，然后结合牛顿第二定律和运动学公式列式求解。
4．（无锡一模）如图所示，同轴圆形区域内、外半径分别为、，半径为的圆内分布着的匀强磁场，方向垂直于纸面向外；外面环形磁场区域分布着的匀强磁场，方向垂直于纸面向内。一对平行极板竖直放置，极板间距，右极板与环形磁场外边界相切，一带正电的粒子从平行极板左板点由静止释放，经加速后通过右板小孔，垂直进入环形磁场区域。已知点、、在同一水平线上，粒子比荷，不计粒子的重力，且不考虑粒子的相对论效应。求：
（1）要使粒子不能进入中间的圆形磁场区域，粒子在磁场中的轨道半径满足什么条件？
（2）若改变加速电压大小，可使粒子进入圆形磁场区域，且能竖直通过圆心，则加速电压为多大？
（3）从点出发开始计时，在满足第（2）问的条件下，粒子到达点的时刻。
【考点】：带电粒子在匀强磁场中的运动；：向心力；37：牛顿第二定律
【专题】43：推理法；31：定性思想；11：计算题；536：带电粒子在磁场中的运动专题；64：应用数学处理物理问题的能力；21：信息给予题
【分析】（1）画出粒子恰好不进入中间磁场区的临界轨迹，根据几何关系求出半径；
（2）画出使粒子进入圆形磁场区域，且能竖直通过圆心的轨迹，结合几何关系求解半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列方程，再根据动能定理对直线加速过程列方程，最后联立方程组求解加速电压；
（3）由几何关系，得到轨迹对应的圆心角，求解粒子从孔进入磁场到第一次到点所用的时间，然后考虑周期性求解粒子到达点的时刻。
【解答】解：（1）粒子刚好不进入中间磁场时轨迹如图1所示，设此时粒子在磁场中运动的半径为，在中有：
代入数据解得：
粒子不能进入中间磁场，所以轨道半径的范围为：。
（2）轨迹如图2所示，由于、、共线且水平，粒子在两磁场中的半径分别为、，洛伦兹力不做功，故粒子在内外磁场的速率不变，由得：
易知：
且满足
解得：，
又由动能定理有：
代入数据解得：。
（3）带电粒子从到的运动时间为，则满足：
得：
令，所以，（反三角函数表达亦可）
圆周运动的周期为：
故粒子从孔进入磁场到第一次到点所用的时间为：
考虑到周期性运动，有：，1，2，3，。
答：（1）要使粒子不能进入中间的圆形磁场区域，粒子在磁场中的轨道半径；
（2）加速电压为；
（3）从点出发开始计时，在满足第（2）问的条件下，粒子到达点的时刻为，1，2，3，。
【点评】本题关键分析清楚带电粒子的运动情况，明确粒子各个阶段的运动规律，然后结合动能定理、牛顿第二定律等规律列式求解
5．（门头沟区一模）用洛伦兹力演示仪可以观察运动电子在磁场中的运动轨迹，如图甲和乙是洛伦兹力演示仪的实物图和结构示意图。两个平行的共轴串联的圆形线圈构成励磁线圈，通过电流表可测其电流的大小。当通过励磁线圈的电流为时，线圈之间产生沿线圈轴向的匀强磁场，磁感应强度的大小为．电子枪中的电子（初速度不计）的加速电压的大小通过电压表可以测量，电流和电压的大小都可以调节。电子垂直于磁场方向入射后的运动轨迹如图乙所示。不计电子所受重力以及电子运动对磁场的影响。
（1）如果已知电子电荷量为，质量为，且在某次实验中，匀强磁场的磁感应强度的大小为。
．求电子运动周期的大小；
．电子的运动等效为环形电流，求此电流值的大小。
（2）图甲中的标尺可测量电子束直径，且磁感应强度与励磁电流的关系为可以视为已知常数）。
．请通过计算说明利用此实验可以测量电子的比荷；
．某学习小组实验后做出的图象如图丙所示，并求出了此图象斜率为．请你推导电子比荷测量值的表达式，并指出他们实验过程中需要控制不变的物理量。
【考点】：带电粒子在匀强磁场中的运动；：向心力；37：牛顿第二定律
【专题】63：分析综合能力；：方程法；536：带电粒子在磁场中的运动专题；32：定量思想
【分析】（1）、电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求解周期；
、根据电流强度的定义式求解电流强度；
（2）、电子在加速电场中加速，根据动能定理结合洛伦兹力提供向心力求解；
、求出的表达式，根据图象的斜率进行分析。
【解答】解：（1）、电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得：
而解得：；
、根据电流强度的定义式可得：；
（2）、电子在加速电场中加速，根据动能定理可得：
电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
其中，
联立解得：；
、根据上面的计算结果得：
由于图象的斜率为，所以有：
从而有：
由此可得实验中需要控制不变的物理量为电流。
答：（1）．电子运动周期的大小为；
．电子的运动等效为环形电流，此电流值的大小为；
（2）．请通过计算说明利用此实验可以测量电子的比荷为；
．电子比荷测量值的表达式为，他们实验过程中需要控制不变的物理量为。
【点评】对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间；对于带电粒子在电场中运动时，一般是按类平抛运动的知识进行解答。
6．（江苏）如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为，宽为，中间两个磁场区域间隔为，中轴线与磁场区域两侧相交于、点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为、电荷量为，从沿轴线射入磁场。当入射速度为时，粒子从上方处射出磁场。取，。
（1）求磁感应强度大小；
（2）入射速度为时，求粒子从运动到的时间；
（3）入射速度仍为，通过沿轴线平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从运动到的时间增加△，求△的最大值。
【考点】：带电粒子在匀强磁场中的运动
【专题】43：推理法；536：带电粒子在磁场中的运动专题；12：应用题；22：学科综合题；35：整体思想
【分析】（1）根据粒子运动的半径公式即可求出磁感应强度；
（2）求出粒子在磁场中的半径，然后由几何关系求出偏转角，然后依次画出运动的轨迹，最后即可求出；
（3）将中间的两个磁场向中间移动距离后，粒子在没有磁场的区域内仍然做直线运动，但直线运动分成三段，左右两端是斜线，中间的一段是水平线，由几何关系求出各段的长度，然后与开始时比较，即可求出。
【解答】解：（1）根据左手定则可知，粒子进入第一个磁场后受到的洛伦兹力的方向向上，粒子从上方处射出磁场，可知粒子的半径：
粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则：
所以：
（2）当入射速度为时，粒子的半径：
设粒子在矩形磁场中偏转的角度为，则：
所以：
则：
粒子从第一个矩形磁场区域出来进入第二个磁场区域后，受到的洛伦兹力的方向相反，由运动的对称性可知，粒子出第二个磁场时，运动的方向与初速度的方向相同；粒子在没有磁场的区域内做匀速直线运动，最后在后两个磁场区域的情况与前两个磁场区域的情况相同。
粒子在磁场中运动的周期：
粒子在一个矩形磁场中运动的时间：
粒子在没有磁场的区域内运动的时间：
所以粒子运动的总时间：
（3）将中间的两个磁场向中间移动距离后，粒子出第一个磁场区域后，速度的方向与之间的夹角为，由几何关系可知，粒子向上的偏移量：
由于：
联立解得：
即：时，粒子在没有磁场的区域内运动的时间最长，则粒子整个运动的过程中运动的时间最长。粒子直线运动路程的最大值：
则中间的路程的最大值：△
代入数据可得：△
所以增加的时间的最大值：
答：（1）磁感应强度大小为；
（2）入射速度为时，粒子从运动到的时间为；
（3）入射速度仍为，通过沿轴线平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从运动到的时间增加△，△的最大值为。
【点评】该题的关键点在于作做速度最大粒子的轨迹图，带点粒子在磁场中运动等问题，最重要的就是作运动轨迹图，作这种图首先要能确定半径，其次要确定初末速度的方向。
7．（浙江二模）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为，圆筒的轴线在处，圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为．筒壁的处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为、电荷量为的带正电粒子以某初速度从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设筒壁是光滑的，与简壁发生弹性碰撞（切线方向速度不变，半径方向速度大小不变，方向反向），与筒壁碰撞时其电荷量不变，粒子重力不计
（1）如图甲所示，入射速度与的夹角为，粒子不与圆筒碰撞直接经过点，求出粒子的速度大小；
（2）在图甲所示的情况下，要使粒子回到小孔的时间最短，则粒子速度大小为多少？最短时间为多少？
（3）在图乙所示的情况下，入射速度与的夹角为，粒子在磁场内运动的总时间为且与圆环的碰撞不超过8次，到达处算最后一次“碰撞”，求满足上述条件的那些粒子在射入磁场时的速度大小。
【考点】37：牛顿第二定律；：向心力；：带电粒子在匀强磁场中的运动
【专题】32：定量思想；：方程法；536：带电粒子在磁场中的运动专题；64：应用数学处理物理问题的能力
【分析】、根据运动情况结合几何关系求解半径，根据洛伦兹力提供向心力求解；
（3）设碰撞次数为，圆筒内绕的总圈数为，根据几何关系求解半径，确定和的关系，再根据洛伦兹力提供向心力进行解答。
【解答】（1）粒子不与圆筒碰撞直接经过点，经过点的速度如图所示。
根据几何关系可得：
根据洛伦兹力提供向心力可得：
解得：；
（2）若粒子最短时间回到小孔，则粒子轨迹经过直径的另一端，与筒壁碰撞前、后如图所示，
根据几何关系可得：，
根据洛伦兹力提供向心力可得：
解得：
最短时间为：
（3）设碰撞次数为，圆筒内绕的总圈数为，磁场中运动的时间为，
则
则
即
解得：
、2


根据正弦定理可得：
解得：。
答：（1）粒子的速度大小为；
（2）在图甲所示的情况下，要使粒子回到小孔的时间最短，则粒子速度大小为，最短时间为；
（3）满足上述条件的那些粒子在射入磁场时的速度大小。
【点评】对于带电粒子在磁场中的运动情况分析，一般是确定圆心位置，根据几何关系求半径，结合洛伦兹力提供向心力求解未知量；根据周期公式结合轨迹对应的圆心角求时间。
8．（2020•芜湖一模）如图所示，在直角坐标系的第一象限中有两个全等的直角三角形区域Ⅰ和Ⅱ，充满了方向均垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅰ的磁感应强度大小为，区域Ⅱ的磁感应强度大小可调，点坐标为，点为的中点。质量为带电量为的粒子从点以平行于轴方向射入磁场Ⅱ中，速度大小为，不计粒子所受重力，粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场。
（1）若粒子无法进入区域Ⅰ中，求区域Ⅱ磁感应强度大小范围；
（2）若粒子恰好不能从边射出，求区域Ⅱ磁感应强度大小；
（3）若粒子能到达点，且粒子是由区域Ⅱ到达点的，求区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
【考点】37：牛顿第二定律；：带电粒子在匀强磁场中的运动；：向心力
【专题】63：分析综合能力；：方程法；32：定量思想；536：带电粒子在磁场中的运动专题
【分析】（1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出粒子恰好不能进入区域Ⅰ中的临界轨道半径，
应用牛顿第二定律求出临界磁感应强度，然后确定磁感应强度的范围。
（2）求出粒子恰好不能从边射出的临界轨道半径，应用牛顿第二定律求出磁感应强度大小。
（3）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，粒子即可能在区域到达点，也可能从区域到达点，根据粒子运动过程分析答题。
【解答】解：（1）粒子速度一定的情况下，磁场强度越小，轨迹半径越大，当运动轨迹恰好与轴相切时，恰好能进入区域，粒子不能进入区时，粒子运动半径：，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
，
已知：，
解得：；
（2）粒子在区域中的运动半径为：，
若粒子在区域中的运动半径较小，则粒子会从边射出磁场，恰好不从边射出时满足，如图所示，，
又，
解得：，
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，
解得：；
（3）①若粒子由区域达到点，每次前进：，
由周期性：，即：，
解得：，
解得：，
时，，；
时，；
时，
②若粒子由区域达到点：由周期性：，
即：，
解得：，
解得：，
当时，，；
时：，。
答：（1）若粒子无法进入区域中，区域磁感应强度大小范围是；
（2）若粒子恰好不能从边射出，区域磁感应强度大小为；
（3）若粒子能到达点，区域磁场的磁感应强度大小的所有可能值为、、、、。
【点评】本题考查了带电粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、求出粒子临界轨道半径是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律即可解题。
9．（2015•浙江）某科研小组设计了一个粒子探测装置。如图甲所示，一个截面半径为的圆筒（筒长大于水平固定放置，筒内分布着垂直于轴线的水平方向匀强磁场，磁感应强度大小为．图乙为圆筒的入射截面，图丙为竖直方向过筒轴的切面。质量为，电荷量为的正离子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒内。圆筒内壁布满探测器，可记录粒子到达筒壁的位置。筒壁上的点和点与入射面的距离分别为和．（离子碰到探测器即被吸收，忽略离子间的相互作用）
（1）离子从点垂直射入，偏转后到达点，求该入射离子的速度；
（2）离子从线上垂直射入，求位于点处的探测器接收到的离子的入射速度范围；
（3）若离子以第（2）问求得范围内的速度垂直入射，从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为的筒壁位置，画出此入射区域的形状并求其面积。
【考点】：带电粒子在匀强磁场中的运动
【专题】32：定量思想；28：设计与制作题；47：极端假设法；16：压轴题；11：计算题；536：带电粒子在磁场中的运动专题
【分析】这是一道涉及立体几何的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动问题，难点在于第三问，从一个特定区域入射的离子仍能到达距入射面为的筒壁位置，这要从极端情况下做分析才能找到该区域的形状。
（1）由于，所以由洛仑兹力提供向心力就可以求得粒子入射的速度。
（2）因为入射的速度越大，半径越大，则打在筒壁上的距离越远，所以打在点的粒子的入射速度最大，打在点的粒子的入射速度最小，分别由洛仑兹力提供向心力即可求得最大和最小速度。
（3）从最大入射速度去考虑，当离子以（2）所求出的最大速度在偏离竖直线 入射时，入射点与正下方筒壁的距离仍然为．由于对称性，入射区域的面积是两个弓形面积组成，由几何关系就能求出该部分区域的面积。
【解答】解：（1）离子运动的半径为，有：
得：
（2）粒子以 从 点入射时，刚能到达 点，如图1所示，则偏转半径为：


粒子以速度从 点入射时，刚能到达，设半径为，根据题意得：

得：


速度范围为：
（3）当离子以的速度在偏离竖直线 入射时，入射点与正下方筒壁的
距离仍然为．所以特定入射区域为图中阴影部分，如图2所示
由几何关系得
扇形面积：
三角形面积：
阴影部分总面积：
答：（1）离子从点垂直射入，偏转后到达点，该入射离子的速度为。
（2）离子从线上垂直射入，求位于点处的探测器接收到的离子的入射速度范围是。
（3）若离子以第（2）问求得范围内的速度垂直入射，从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为的筒壁位置，画出此入射区域的形状如图所示，其面积为。
【点评】第三问是涉及立体几何，又考查空间想象能力的题目，要从极端情况出发，当粒子以最大速度入射时，入射点与正下方筒壁的距离仍然为．由（1）问的结论对比进行分析，才能知道入射面的形状两个对称的弓形组成，由几何关系求出此区域的面积。
10．（奉新县模拟）如图所示，在坐标系中的一个矩形区域里，存在着沿轴负方向的匀强电场，场强，该区域的水平宽度为，竖直宽度足够大。一带电粒子从轴上的点（纵坐标为以初动能沿轴正方向射出，粒子的带电量为，为使粒子通过轴上的点（横坐标为，则该电场区域应处于何位置，求出其左边界位置对应的横坐标？（不计粒子的重力作用）
【考点】：带电粒子在匀强磁场中的运动
【专题】536：带电粒子在磁场中的运动专题
【分析】粒子进入电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动。根据牛顿第二定律和运动学公式结合得到偏转距离与初动能的关系式。分三种情况进行分析讨论：
（1）若粒子从匀强电场内通过点，则；
（2）若粒子穿过完整的电场区，因为，，粒子不能通过点；
（3）若粒子开始时处于电场区内射出，从而根据几何关系得到左边界位置对应的横坐标。
【解答】解：设粒子的质量为，初速度为．则有：①
粒子在电场内的运动规律为：
②
③
④
由以上各式解得：⑤
讨论：
（1）若粒子从匀强电场内通过点，则有：⑥
代入数据解得：⑦
因为，且，所以粒子能从匀强电场内点，这种情况下电场区左边界位置对应的横坐标为：
⑧
（2）若粒子穿过完整的电场区，，由⑤得，粒子不能通过点；
（3）若粒子开始时处于电场区内射出，离开电场时有：⑨
⑩
由以上各式代入数据解得：
这种情况下电场区左边界位置对应的横坐标为：
答：其左边界位置对应的横坐标为或。
【点评】将类平抛运动可以分解成两个方向上的简单直线运动，再分情况讨论是解决本题的关键。
考点卡片
1．牛顿第二定律
【知识点的认识】
1．内容：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同．
2．表达式：F合＝ma．该表达式只能在国际单位制中成立．因为F合＝k•ma，只有在国际单位制中才有k＝1．力的单位的定义：使质量为1kg的物体，获得1m/s2的加速度的力，叫做1N，即1N＝1kg•m/s2．
3．适用范围：
（1）牛顿第二定律只适用于惯性参考系（相对地面静止或匀速直线运动的参考系）．
（2）牛顿第二定律只适用于宏观物体（相对于分子、原子）、低速运动（远小于光速）的情况．
4．对牛顿第二定律的进一步理解
牛顿第二定律是动力学的核心内容，我们要从不同的角度，多层次、系统化地理解其内涵：F量化了迫使物体运动状态发生变化的外部作用，m量化了物体“不愿改变运动状态”的基本特性（惯性），而a则描述了物体的运动状态（v）变化的快慢．明确了上述三个量的物理意义，就不难理解如下的关系了：a∝F，a∝．
另外，牛顿第二定律给出的F、m、a三者之间的瞬时关系，也是由力的作用效果的瞬时性特征所决定的．
（1）矢量性：加速度a与合外力F合都是矢量，且方向总是相同．
（2）瞬时性：加速度a与合外力F合同时产生、同时变化、同时消失，是瞬时对应的．
（3）同体性：加速度a与合外力F合是对同一物体而言的两个物理量．
（4）独立性：作用于物体上的每个力各自产生的加速度都遵循牛顿第二定律，而物体的合加速度则是每个力产生的加速度的矢量和，合加速度总是与合外力相对应．
（5）相对性：物体的加速度是对相对地面静止或相对地面做匀速运动的物体而言的．
【命题方向】
题型一：对牛顿第二定律的进一步理解的考查
例子：放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系如图甲所示，物块速度v与时间t的关系如图乙所示．取重力加速度g＝10m/s2．由此两图线可以得出（ ）
A．物块的质量为1.5kg
B．物块与地面之间的滑动摩擦力为2N
C．t＝3s时刻物块的速度为3m/s
D．t＝3s时刻物块的加速度为2m/s2
分析：根据v﹣t图和F﹣t图象可知，在4～6s，物块匀速运动，处于受力平衡状态，所以拉力和摩擦力相等，由此可以求得物体受到的摩擦力的大小，在根据在2～4s内物块做匀加速运动，由牛顿第二定律可以求得物体的质量的大小．根据速度时间图线求出3s时的速度和加速度．
解答：4～6s做匀速直线运动，则f＝F＝2N．2～4s内做匀加速直线运动，加速度a＝，根据牛顿第二定律得，F﹣f＝ma，即3﹣2＝2m，解得m＝0.5kg．由速度﹣时间图线可知，3s时刻的速度为2m/s．故B、D正确，A、C错误．
故选：BD．
点评：本题考查学生对于图象的解读能力，根据两个图象对比可以确定物体的运动的状态，再由牛顿第二定律来求解．
题型二：对牛顿第二定律瞬时性的理解
例子：如图所示，质量为m的球与弹簧Ⅰ和水平细线Ⅱ相连，Ⅰ、Ⅱ的另一端分别固定于P、Q．球静止时，Ⅰ中拉力大小为F1，Ⅱ中拉力大小为F2，当剪断Ⅱ瞬间时，球的加速度a应是（ ）
A．则a＝g，方向竖直向下 B．则a＝g，方向竖直向上
C．则a＝，方向沿Ⅰ的延长线 D．则a＝，方向水平向左
分析：先研究原来静止的状态，由平衡条件求出弹簧和细线的拉力．刚剪短细绳时，弹簧来不及形变，故弹簧弹力不能突变；细绳的形变是微小形变，在刚剪短弹簧的瞬间，细绳弹力可突变！根据牛顿第二定律求解瞬间的加速度．
解答：Ⅱ未断时，受力如图所示，由共点力平衡条件得，F2＝mgtanθ，F1＝．
刚剪断Ⅱ的瞬间，弹簧弹力和重力不变，受力如图：
由几何关系，F合＝F1sinθ＝F2＝ma，由牛顿第二定律得：
a＝＝，方向水平向左，故ABC错误，D正确；
故选：D．
点评：本题考查了求小球的加速度，正确受力分析、应用平衡条件与牛顿第二定律即可正确解题，知道弹簧的弹力不能突变是正确解题的关键．
题型三：动力学中的两类基本问题：①已知受力情况求物体的运动情况；②已知运动情况求物体的受力情况．
加速度是联系运动和受力的重要“桥梁”，将运动学规律和牛顿第二定律相结合是解决问题的基本思路．
例子：某同学为了测定木块与斜面间的动摩擦因数，他用测速仪研究木块在斜面上的运动情况，装置如图甲所示．他使木块以初速度v0＝4m/s的速度沿倾角θ＝30°的斜面上滑紧接着下滑至出发点，并同时开始记录数据，结果电脑只绘出了木块从开始上滑至最高点的v﹣t图线如图乙所示．g取10m/s2．求：
（1）上滑过程中的加速度的大小a1；
（2）木块与斜面间的动摩擦因数μ；
（3）木块回到出发点时的速度大小v．
分析：（1）由v﹣t图象可以求出上滑过程的加速度．
（2）由牛顿第二定律可以得到摩擦因数．
（3）由运动学可得上滑距离，上下距离相等，由牛顿第二定律可得下滑的加速度，再由运动学可得下滑至出发点的速度．
解答：（1）由题图乙可知，木块经0.5s滑至最高点，由加速度定义式有：
上滑过程中加速度的大小：
（2）上滑过程中沿斜面向下受重力的分力，摩擦力，由牛顿第二定律F＝ma得上滑过程中有：
mgsinθ+μmgcsθ＝ma1
代入数据得：μ＝0.35．
（3）下滑的距离等于上滑的距离：
x＝＝m＝1m
下滑摩擦力方向变为向上，由牛顿第二定律F＝ma得：
下滑过程中：mgsinθ﹣μmgcsθ＝ma2
解得：＝2m/s2
下滑至出发点的速度大小为：v＝
联立解得：v＝2m/s
答：（1）上滑过程中的加速度的大小；
（2）木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.35；
（3）木块回到出发点时的速度大小v＝2m/s．
点评：解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式联合求解．
【解题方法点拨】
1．根据牛顿第二定律知，加速度与合外力存在瞬时对应关系．对于分析瞬时对应关系时应注意两个基本模型特点的区别：
（1）轻绳、轻杆模型：①轻绳、轻杆产生弹力时的形变量很小，②轻绳、轻杆的拉力可突变；
（2）轻弹簧模型：①弹力的大小为F＝kx，其中k是弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，②弹力突变．
2．应用牛顿第二定律解答动力学问题时，首先要对物体的受力情况及运动情况进行分析，确定题目属于动力学中的哪类问题，不论是由受力情况求运动情况，还是由运动情况求受力情况，都需用牛顿第二定律列方程．
应用牛顿第二定律的解题步骤
（1）通过审题灵活地选取研究对象，明确物理过程．
（2）分析研究对象的受力情况和运动情况，必要时画好受力示意图和运动过程示意图，规定正方向．
（3）根据牛顿第二定律和运动公式列方程求解．（列牛顿第二定律方程时可把力进行分解或合成处理，再列方程）
（4）检查答案是否完整、合理，必要时需进行讨论．
2．向心力
【知识点的认识】
一：向心力
1．作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小：Fn＝man＝＝mω2r＝．
3．方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，甚至可以由一个力的分力提供，因此向心力的来源要根据物体受力的实际情况判定．
注意：向心力是一种效果力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力．
二、离心运动和向心运动
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．如图所示．
2．向心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近．如图所示．
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出．
【重要知识点分析】
1．圆周运动中的运动学分析
（1）对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比．
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
（2）对a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．
2．匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较
【命题方向】
（1）第一类常考题型是对圆周运动中的传动问题分析：
一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A的运动半径较大，则（ ）
A．球A的线速度等于球B的线速度
B．球A的角速度等于球B的角速度
C．球A的运动周期等于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力
分析：对AB受力分析，可以发现它们都是重力和斜面的支持力的合力作为向心力，并且它们的质量相等，所以向心力的大小也相等，再根据线速度、加速度和周期的公式可以做出判断．
解：
A、如右图所示，小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动．
由于A和B的质量相同，小球A和B在两处的合力相同，即它们做圆周运动时的向心力是相同的．
由向心力的计算公式F＝m，由于球A运动的半径大于B球的半径，F和m相同时，半径大的线速度大，所以A错误．
B、又由公式F＝mω2r，由于球A运动的半径大于B球的半径，F和m相同时，半径大的角速度小，所以B错误．
C、由周期公式T＝，所以球A的运动周期大于球B的运动周期，故C错误．
D、球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力，所以D正确．
故选D．
点评：对物体受力分析是解题的关键，通过对AB的受力分析可以找到AB的内在的关系，它们的质量相同，向心力的大小也相同，本题能很好的考查学生分析问题的能力，是道好题．
（2）第二类常考题型是对圆周运动中的动力学问题分析：
如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动．圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨．则其通过最高点时（ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于重力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
分析：小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，知轨道对小球的弹力为零，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球的速度．
解：A、因为小球刚好在最高点不脱离圆环，则轨道对球的弹力为零，所以小球对圆环的压力为零．故A错误．
B、根据牛顿第二定律得，mg＝m＝ma，知向心力不为零，线速度v＝，向心加速度a＝g．故B、C、D正确．
故选BCD．
点评：解决本题的关键知道在最高点的临界情况，运用牛顿第二定律进行求解．
（3）第二类常考题型是对圆周运动的绳模型与杆模型分析：
如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2．求：
（1）在最高点时，绳的拉力？
（2）在最高点时水对小杯底的压力？
（3）为使小杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率是多少？
分析：（1）受力分析，确定圆周运动所需要的向心力是由哪个力提供的；
（2）水对小杯底的压力与杯子对水的支持力是作用力与反作用力，只要求出杯子对水的支持力的大小就可以了，它们的大小相等，方向相反；
（3）物体恰好能过最高点，此时的受力的条件是只有物体的重力作为向心力．
解：（1）小杯质量m＝0.5kg，水的质量M＝1kg，在最高点时，
杯和水的受重力和拉力作用，如图所示，
合力F合＝（M+m）g+T﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
圆周半径为R，则F向＝（M+m）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
F合提供向心力，有 （M+m）g+T＝（M+m）
所以细绳拉力T＝（M+m）（﹣g）＝（1+0.5）（﹣10）＝9N；
（2）在最高点时，水受重力Mg和杯的压力F作用，如图所示，
合力F合＝Mg+F
圆周半径为R，则F向＝M
F合提供向心力，有 Mg+F＝M
所以杯对水的压力F＝M（﹣g）＝1×（﹣10）＝6N；
根据牛顿第三定律，水对小杯底的压力为6N，方向竖直向上．
（3）小杯经过最高点时水恰好不流出时，此时杯对水的压力为零，只有水的重力作为向心力，由（2）得：
Mg＝M
解得v＝＝m/s＝．
答：（1）在最高点时，绳的拉力为9 N；（2）在最高点时水对小杯底的压力为6N；（3）在最高点时最小速率为．
点评：水桶在竖直面内做圆周运动时向心力的来源是解决题目的重点，分析清楚哪一个力做为向心力，再利用向心力的公式可以求出来，必须要明确的是当水桶恰好能过最高点时，只有水的重力作为向心力，此时水恰好流不出来．
【解题方法点拨】
1．圆周运动中的运动学规律总结
在分析传动装置中的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，具体有：
（1）同一转轴的轮上各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比．
（2）当皮带（或链条、齿轮）不打滑时，传动皮带上各点以及用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，而角速度ω＝与半径r成反比．
（3）齿轮传动时，两轮的齿数与半径成正比，角速度与齿数成反比．
2．圆周运动中的动力学问题分析
（1）向心力的确定
①确定圆周运动的轨道所在的平面及圆心的位置．
②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力．
（2）向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力．
（3）解决圆周运动问题步骤
①审清题意，确定研究对象；
②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
3．竖直平面内圆周运动的绳模型与杆模型
（1）在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”．
（2）绳、杆模型涉及的临界问题．
3．动能定理
【知识点的认识】
1．内容：合外力在一个过程中对物体所做的功等于物体在这个过程中动能的变化。
2．表达式：W＝EK2﹣EK1。
3．物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即合力的功是物体动能变化的量度。
4．动能定理的适用条件
（1）动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
（2）既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
（3）力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
5．对动能定理的理解
（1）一个物体的动能变化△Ek与合外力对物体所做功W具有等量代换关系。
①若△Ek＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功。
②若△Ek＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值。
③若△Ek＝0，表示合外力对物体所做的功等于零。反之亦然。这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。
（2）动能定理公式中等号的意义：等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：
①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。
②单位相同：国际单位都是焦耳。
③因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。
（3）动能定理中涉及的物理量有F、x、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需要从力在整个位移内所做的功和这段位移始末两状态的动能变化去考虑，无需注意其中运动状态变化的细节，同时动能和功都是标量，无方向性，所以无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便。
（4）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系。
注意：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理，但牛顿第二定律是矢量方程，可以在互相垂直的方向上分别使用分量方程。
【命题方向】
题型一：对动能定理表达式的直接考核
如图所示，某人将质量为m的石块从距地面h高处斜向上方抛出，石块抛出时的速度大小为v0，不计空气阻力，石块落地时的动能为（ ）
A．mghB.mv02 C. D.
分析：根据动能定理求出石块落地时的动能大小。
解答：根据动能定理得，，解得石块落地时的动能．故D正确，A、B、C错误。
故选：D。
点评：运用动能定理解题首先要确定研究对象和研究过程，分析有哪些力做功，根据动能定理列出表达式进行求解。
【解题方法点拨】
1．应用动能定理的一般步骤
（1）选取研究对象，明确并分析运动过程。
（2）分析受力及各力做功的情况
①受哪些力？
②每个力是否做功？
③在哪段位移哪段过程中做功？
④做正功还是负功？
⑤做多少功？求出代数和。
（3）明确过程始末状态的动能Ek1及Ek2。
（4）列方程W总＝Ek2﹣Ek1，必要时注意分析题目潜在的条件，补充方程进行求解。
注意：
①在研究某一物体受到力的持续作用而发生状态改变时，如涉及位移和速度而不涉及时间时应首先考虑应用动能定理，而后考虑牛顿定律、运动学公式，如涉及加速度时，先考虑牛顿第二定律。
②用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，以便更准确地理解物理过程和各物理量的关系。有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意。
4．带电粒子在匀强磁场中的运动
【知识点的认识】
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：（v⊥B）
【命题方向】
常考题型：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
如图，半径为R的圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q（q＞0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为．已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（ ）
A. B. C. D.
【分析】由题意利用几何关系可得出粒子的转动半径，由洛仑兹力充当向心力可得出粒子速度的大小；
解：由题，射入点与ab的距离为．则射入点与圆心的连线和竖直方向之间的夹角是30°，
粒子的偏转角是60°，即它的轨迹圆弧对应的圆心角是60，所以入射点、出射点和圆心构成等边三角形，所以，它的轨迹的半径与圆形磁场的半径相等，即r＝R．轨迹如图：
洛伦兹力提供向心力：，变形得：．故正确的答案是B．
故选：B．
【点评】在磁场中做圆周运动，确定圆心和半径为解题的关键．
【解题方法点拨】
带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
一、轨道圆的“三个确定”
（1）如何确定“圆心”
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示．
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中
垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示．
③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将
其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线
交于一点O，该点就是圆心．
（2）如何确定“半径”
方法一：由物理方程求：半径R＝；
方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定．
（3）如何确定“圆心角与时间”
①速度的偏向角φ＝圆弧所对应的圆心角（回旋角）θ＝2倍的弦切角α，如图（d）所示．
②时间的计算方法．
方法一：由圆心角求，t＝•T；方法二：由弧长求，t＝．
二、解题思路分析
1．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法．
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形．
3．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系
（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点．
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍．
三、求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法
由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．
（1）两种思路
①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；
②直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值．
（2）两种方法
物理方法：
①利用临界条件求极值；
②利用问题的边界条件求极值；
③利用矢量图求极值．
数学方法：
①利用三角函数求极值；
②利用二次方程的判别式求极值；
③利用不等式的性质求极值；
④利用图象法等．
（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．
5．质谱仪和回旋加速器的工作原理
【知识点的认识】
1．质谱仪
（1）构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．
（2）原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU＝mv2．粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝．由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷．
r＝，m＝，＝．
2．回旋加速器
（1）构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．
（2）原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速．由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度和D形盒半径决定，与加速电压无关．
【命题方向】
（1）第一类常考题型：
（2）第二类常考题型：
【解题方法点拨】
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日期：2020/4/13 16:00:54；用户：ZY蔡老师；邮箱：[email protected]；学号：5146005项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
运动
性质
是速度大小不变，方向时刻变化的变速曲线运动，是加速度大小不变而方向时刻变化的变加速曲线运动
是速度大小和方向都变化的变速曲线运动，是加速度大小和方向都变化的变加速曲线运动
加速度
加速度方向与线速度方向垂直．即只存在向心加速度，没有切向加速度
由于速度的大小、方向均变，所以不仅存在
向心加速度且存在切向加速度，合加速度的方向不断改变
向心力

绳模型
杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球

均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论分析
（1）过最高点时，v≥，FN+mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN；
（2）不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道；
（1）当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；
（2）当0＜v＜时，﹣FN+mg＝m，FN背向圆心，随v的增大而减小；
（3）当v＝时，FN＝0；
（4）当v＞时，FN+mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大；
直线边界（粒子进出磁场具有对称性）
平行边界（粒子运动存在临界条件）
圆形边界（粒子沿径向射入，再沿径向射出）