2025--2026学年河南省实验中学高二下学期期末考试数学试题-含解析

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件
2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 12D. 21
4. 甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（若随机变量，则，，）

A. 甲地数学的平均成绩比乙地的高B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C. D. 若，则
5. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定
8. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为
D. 若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个
二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为，则变量x与y正相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本中心点
C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
10. 已知函数（），则下列说法错误的是（ ）
A. ，使得
B. ，都有
C. 是偶函数
D. 有最小值
11. 设函数，且记，则（ ）
A. 数列的首项为B. 数列的前10项和为512
C. 数列的前10项和为D. 数列的前10项和为0
三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设集合，，则___________．
13. 已知函数在上最大值为，且最小值为，则_____．
14. 平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为_____．
四．解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.
（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据：，其中.
16. 已知数列的首项，的前项和为，且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
18. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.
（1）求6次姿态修正后达到个单位的概率；
（2）以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求．
19. 设，，函数，对于集合，记．
（1）若，求和；
（2）已知，设，若，求的最小值；
（3）若，都有，求．
数学
满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件
答案：B
解析：
思路：分别求解不等式，，再根据充分、必要条件的定义判定即可.
解答过程：由，得，解得；
由，得.
因为，推不出，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由题设，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 12D. 21
答案：A
解析：
思路：根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值.
解答过程：由得，，
因，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，则，
故.
故选：A
4. 甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（若随机变量，则，，）

A. 甲地数学的平均成绩比乙地的高B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C. D. 若，则
答案：D
解析：
思路：根据正态曲线比较两地平均值可判断A；根据曲线的特征比较成绩的离散程度判断B；根据正态曲线的对称性可判断C，根据特殊区间的概率值可判断D.
解答过程：对于A，由正态曲线可知甲地数学平均分为90分，乙地数学平均分为100分，
故甲地数学的平均成绩比乙地的低，A错误；
对于B，由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中，
故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大，B错误；
对于C，由于，根据正态分布曲线的对称性可知，C错误；
对于D，，，
，D正确，
故选：D
5. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：D
解析：
解答过程：已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法：
①：；
②：；
不同的分配方案共有种．
6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式.
解答过程：设，因为，所以，在上单调递减，
，的解为，
即的解为，即的解为，
解为.
故选：D
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定
答案：B
解析：
思路：利用指数函数的单调性证出且，得出结论即可.
解答过程：由于，所以，因此，
又因为，因此，即，
所以.
故选：B.
8. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为
D. 若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个
答案：D
解析：
思路：根据概率的性质判断A，求出条件概率判断B，分别讨论奖品在1，2，3，4号箱子时，根据全概率公式计算出，再由条件概率公式求出
解答过程：对选项A，因为四个箱子中奖品是等可能放置的，因此每个箱子有奖品的概率都相等，即，A错；
对选项B，表示2号箱子中有奖品，因此主持人不能打开2号箱，所以主持人只能从3号和4号箱子中选择一个打开，所以，B错；
对选项C，D，，说明主持人打开了3号箱，
奖品在1号箱子里，主持人可打开2，3，4号箱子，故，
奖品在2号箱子里，主持人只能打开3，4号箱子，故，
奖品在3号箱子里，主持人不可打开3号箱子，故，
奖品在4号箱子里，主持人可打开2，3号箱子，故，
由全概率公式得，
，
，
，
因此C错D正确.
二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为，则变量x与y正相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本中心点
C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
答案：BD
解析：
思路：根据线性回归方程的相关性判断、经验回归直线的性质、相关系数的定义、决定系数的意义逐项分析判断即可.
解答过程：选项A：回归方程的斜率为，所以变量与负相关，A错误.
选项B：根据经验回归直线的性质，回归直线一定经过样本点中心，B正确.
选项C：若散点图中所有点都在斜率为正的直线上，则两个变量完全正相关，相关系数，C错误.
选项D：决定系数的取值越接近1，则残差平方和越小，回归模型对样本数据的拟合效果越好，D正确.
10. 已知函数（），则下列说法错误的是（ ）
A. ，使得
B. ，都有
C. 是偶函数
D. 有最小值
答案：AD
解析：
思路：利用奇偶性定义判断出的奇偶性可判断AB；令，判断出的奇偶性可判断C；根据的单调性可判断D.
解答过程：对于A，，定义域关于原点对称，，
所以是奇函数，又函数单调递增，所以不存在，使得，故A错误；
对于B，，定义域关于原点对称，，所以是奇函数，故B正确；
对于C，令，因为，定义域关于原点对称，
，所以是偶函数，故C正确；
对于D，因为，都是单调递增函数，
所以是单调递增函数，所以无最小值，故D错误.
故选：AD.
11. 设函数，且记，则（ ）
A. 数列的首项为B. 数列的前10项和为512
C. 数列的前10项和为D. 数列的前10项和为0
答案：ABD
解析：
思路：利用赋值法，即可结合选项逐一求解.
解答过程：由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当 时，数列的第项是展开式中的系数.
令，则，故A对；
数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和，
令，则，故B正确；
数列的前10项和等于，
令，则，而，
则数列的前10项和为，故C错误；
数列的前10项和等于，
令，则，
因为，故D正确.
三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设集合，，则___________．
答案：
解析：
思路：求出两条直线的交点即可.
解答过程：由题意知，，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数在上最大值为，且最小值为，则_____．
答案：
解析：
思路：结合函数是奇函数，得到满足关系式，可知图象关于点中心对称，由对称性知，故只需求的值即可.
解答过程：由题意，函数的图象在连续不断，
由区间关于原点对称，且对任意，
都有
，
故，
所以函数的图象关于点中心对称，
由对称性可知，函数的图象在内的最大值点与最小值点关于中心对称，
故，所以
故答案为：.
14. 平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为_____．
答案：
解析：
思路：设蚂蚁右移a次、左移b次，上移c次、下移d次，则蚂蚁终点的坐标满足，，，根据题意有，由于都是非负整数，可推，，再设左右移动总次数，上下移动总次数，则根据，需为整数可推m、n为奇数，据此根据m、n可分为三种情况：、、，此时在每种情况中，依据分步乘法计数原理，算出每种情况下的总路径数，最后相加即可得到最终的概率．
解答过程：蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为，
若蚂蚁到原点O的距离为，原点到该点的距离满足，
设蚂蚁右移a次、左移b次，则，上移c次、下移d次，则，总步数，
要满足，即，由于都是非负整数，可能的组合必须满足，，此时，，，且，
设左右移动总次数为，上下移动总次数为，则，
由于，需为整数，则m与同奇偶，所以m为奇数，同理，n也为奇数，
又，可能的组合有、、，
当，时，左右移动1次，满足的方式有2种，即左或右，
上下移动5次，满足的方式有，或，，共种，即选3次上移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移，
其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，种，因此，此情况的路径数为；
当，时，左右移动3次，满足的方式有，或，，共种，上下移动3次，满足的方式同理，共种，
此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共种，
因此，此情况的路径数为；
当，时，与，对称，路径数为240；
满足条件的总路径数有，概率为．
故答案为：．
四．解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.
（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据：，其中.
答案：（1），补全表中所缺数据如下：
（2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.解析：
思路：（1）由题意可得从而可求出的值，进而可填出列联表；
（2）直接利用公式求解，然后根据临界值表得结论
解答过程：解：（1）由已知得解得
补全表中所缺数据如下：
（2）根据题意计算观测值为，
所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
16. 已知数列的首项，的前项和为，且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数.
答案：（1）
因为，所以，
所以，
又，即，
所以数列是公比和首项均为2的等比数列.
（2）解析：
思路：（1）利用等比数列的定义即可证明；
（2）对进行求导，再利用错位相减法即可求出.
（1）略
（2）由（1），所以，
所以，
所以，
设
所以，
所以，
所以，
又，所以.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
答案：（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解析：
思路：（1）对函数求导，结合已知讨论、研究的符号确定的单调性；
（2）问题化为恒成立，构造函数并应用导数研究其最小值，只需保证其最小值大于0，即可得.
（1）函数的定义域为，
求导，
因为，所以，故的符号只取决于的符号，
当时，则恒成立，即，在上单调递增，
当时：
若，则，在上单调递减，
若，则，在上单调递增，
综上：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；​
（2）已知，不等式，对任意恒成立，
所以，即，
令，只需恒成立，
求导，令，得（舍去负根），
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的最小值，
要使恒成立，则，即
令（），则，
当时，，在上单调递减，此时，不合题意；
当时，，在上单调递增，
注意到，且在上严格递增，
因此不等式的解为，所以的取值范围为.
18. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.
（1）求6次姿态修正后达到个单位的概率；
（2）以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求．
答案：（1）
（2）（ⅰ），（ⅱ）
解析：
思路：（1）根据二项分布的概率公式即可求解，
（2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解.
（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，
且每次正方向和负方向修正的概率均为，
故6次姿态修正后达到个单位的概率为.
（2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为，
“能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种，
则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择，
故“完成6次修正”总的路线共有种，
“校准到位”的路线有共有4种，
故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为.
（ⅱ）随机变量的取值为2,4,6，
表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故,
表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向，
故,
,
的分布列如下：
故
19. 设，，函数，对于集合，记．
（1）若，求和；
（2）已知，设，若，求的最小值；
（3）若，都有，求．
答案：（1）
（2）的最小值为
（3）解析：
思路：（1）利用分段函数的解析式，分别考察定义域内各段的单调性与极值，从而确定对应区间的值域；结合对称轴和端点值，判断函数在各段上的变化趋势，得出两个集合的值域；
（2）分析函数在正参数下的单调区间和零点分布，利用像集相等的条件，推导出区间起点需满足的范围；依据单调性分段与端点值的关系，确定该起点可能的最小取值；
（3）将集合补集与函数像的补集相等这一条件转化为对函数单调性的全局要求；通过分类讨论参数的正负，检验函数是否在整个实数域上严格单调，从而筛选出满足条件的参数值.
（1）当时，，
的图象对称轴为直线，开口向上，
的图象对称轴为直线，开口向下，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，
所以函数在的值域为，在上的值域为，
所以；
（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，而，因此，所以的最小值为；
（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，因此；
当时，函数在上单调递增，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，因此，
所以，都有时，．不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
12
学习成绩不优秀人数
26
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
12
学习成绩不优秀人数
26
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
28
12
40
学习成绩不优秀人数
14
26
40
合计
42
38
80
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
28
12
40
学习成绩不优秀人数
14
26
40
合计
42
38
80
2
4
6