惠州市2027年高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份惠州市2027年高考数学二模试卷（含答案解析）试卷主要包含了若复数满足，则，已知集合，，，则的子集共有，若复数满足，则的虚部为等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若数列满足且，则使的的值为( )
A．B．C．D．
2．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（ ）
A．36B．21C．12D．6
3．已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．
C．D．
5．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若复数满足，则( )
A．B．C．D．
7．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．5B．C．D．-5
9．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
10．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．设全集U=R，集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知复数，则的虚部为（ ）
A．－1B．C．1D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.
14．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
15．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.
16．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________ cm．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；
（2）当时，，求实数的取值范围.
19．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；
②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．
附表及公式：
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点．求证：直线过定点并求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
21．（12分）某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？
参考公式：
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．
2、B
【解析】
先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.
【详解】
考虑与平面平行的平面，平面，平面，
共有，
故选：B.
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.
3、B
【解析】
设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．
【详解】
将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，
设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则，得．因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有，∴ ．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD的棱长为，因此，这个正四面体的表面积为．
故选：B．
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．
4、A
【解析】
画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积；
【详解】
如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.
法一：四边形的外接圆直径，，
；
法二：，，；
法三：作出的外接圆直径，则，，，
，，，
，，，.
故选：A
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.
5、D
【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】
解：因为，，则，且，
所以，，
又,
即,则，
即，
故选：D.
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
6、C
【解析】
化简得到，，再计算复数模得到答案.
【详解】
，故，
故，.
故选：.
本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.
7、B
【解析】
根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以集合
则
所以的子集共有
故选：B
本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.
8、C
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由（1+i）z＝|3+4i|，
得z，
∴z的虚部为．
故选C．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
9、A
【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可．
【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A．
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
10、D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
11、A
【解析】
求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．
【详解】
，
，
则，
故选：A．
本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．
12、A
【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.
【详解】
，故的虚部为.
故选：A.
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、10
【解析】
根据已知数据直接计算即得.
【详解】
由题得，.
故答案为：10
本题考查求平均数，是基础题.
14、
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：
因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
15、8
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.
【详解】
根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.
又目标函数表示直线在轴上的截距，
由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8.
故答案为：.
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
16、
【解析】
依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的的范围，再取交集，得到答案.
【详解】
解：（1）当时，等价于
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为：.
（2）依题意即在时恒成立，
当时，，即，
所以对恒成立
∴，得；
当时，，
即，
所以对任意恒成立，
∴，得∴，
综上，.
本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.
18、（1）；（2）
【解析】
(1)对函数求导，运用可求得的值，再由在直线上，可求得的值；
(2)由已知可得恒成立，构造函数，对函数求导，讨论和0的大小关系，结合单调性求出最大值即可求得的范围.
【详解】
（1）由题得，
因为在点与相切
所以，∴
（2）由得，令，只需
，设（），
当时，，在时为增函数，所以，舍；
当时，开口向上，对称轴为，，所以在时为增函数，
所以，舍；
当时，二次函数开口向下，且，
所以在时有一个零点，在时，在时，
①当即时，在小于零，
所以在时为减函数，所以，符合题意；
②当即时，在大于零，
所以在时为增函数，所以，舍.
综上所述：实数的取值范围为
本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．
19、 (1)不能；(2) ①；②分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及数学期望E（X）即可；
【详解】
(1)由图中表格可得列联表如下:
将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.
(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为，
①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
；
②的取值为10，20，30，40.
,
,
,
,
所以的分布列为
.
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．
20、（1）；（2）证明详见解析，；（3）.
【解析】
(1)根据题意列出关于的等式求解即可.
(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程, 进而求得的方程,并代入,化简分析即可.
(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.
【详解】
解：设椭圆的标准方程焦距为,
由题意得,
由,可得
则,
所以椭圆的标准方程为；
证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,
由题意可知直线的斜率存在,
设直线的方程为,
联立,消去得到,
设点,
则．
所以,
所以的方程为,
令得,
将,代入上式并整理,
,
整理得,
所以,直线与轴相交于定点．
当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时,
当过点的直线斜率存在时,
设直线的方程为,且在椭圆上,
联立方程组,
消去,整理得,
则．
所以
所以,
所以,
由得,
综上可得,的取值范围是．
本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.
21、（1）（2）当时，年利润最大．
【解析】
（1）方法一：令，先求得关于的回归直线方程，由此求得关于的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.
（2）求得w的表达式，根据二次函数的性质作出预测.
【详解】
（1）方法一：取，则得与的数据关系如下
，
，
，
.
，
，
关于的线性回归方程是即，
故关于的线性回归方程是.
方法二：因为，
，
，
，
，
所以，
故关于的线性回归方程是，
（2）年利润，根据二次函数的性质可知:当时，年利润最大．
本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
组别
男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
红包金额（单位：元）
10
20
概率
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
5
y
17.0
16.5
15.5
13.8
12.2
非“环保关注者”
是“环保关注者”
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
10
20
30
40

1
2
3
4
5
7.0
6.5
5.5
3.8
2.2