酒泉市2026-2027学年高考冲刺模拟数学试题（含答案解析）

这是一份酒泉市2026-2027学年高考冲刺模拟数学试题（含答案解析）试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，函数的定义域为，已知等差数列中，则，设，，是非零向量.若，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )
A．B．C．D．
6．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）
A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点
C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点
7．已知等差数列中，则（ ）
A．10B．16C．20D．24
8．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
9．设，，是非零向量.若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是( )
A．任意，使方程无实根
B．任意，使方程有实根
C．存在，使方程无实根
D．存在，使方程有实根
12．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________．
14．设，满足条件，则的最大值为__________.
15．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．
16．给出下列等式：，，，…请从中归纳出第个等式：______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；
（2）当时，，求实数的取值范围.
18．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；
（2）将表示为的函数；
（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.
19．（12分）在中，内角的对边分别是，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积．
20．（12分）如图, 在四棱锥中, 底面是矩形, 四条侧棱长均相等.
（1）求证：平面;
（2）求证：平面平面.
21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值.
22．（10分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由，则输出为300，即可得出判断框的答案
【详解】
由，则输出的值为300，，故判断框中应填？
故选：．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
2、D
【解析】
通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.
【详解】
如图所示，函数与的图象，
因为时，恒成立，
于是两函数必须有相同的零点，
所以
，
解得．
故选：D
本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3、D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
4、C
【解析】
函数的定义域应满足
故选C.
5、B
【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．
6、A
【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.
【详解】
,，
,
又，,
平面,又平面
，
故在以为直径的圆上，
又是内异于的动点，
所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B
故选：A
本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.
7、C
【解析】
根据等差数列性质得到，再计算得到答案.
【详解】
已知等差数列中，
故答案选C
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.
8、A
【解析】
易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.
【详解】
由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，
又所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.
9、D
【解析】
试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.
考点：平面向量数量积.
【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
10、C
【解析】
由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．
【详解】
①当时，，满足题意，
②当时，，，，，故不恒成立，
③当时，设，，
令，得，，得，
下面考查方程的解的个数，
设（a），则（a）
由导数的应用可得：
（a）在为减函数，在，为增函数，
则（a），
即有一解，
又，均为增函数，
所以存在1个使得成立，
综合①②③得：满足条件的的个数是2个，
故选：．
本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.
11、A
【解析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】
由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是
“任意，使方程无实根”.
故选：A
本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.
12、A
【解析】
由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解.
【详解】
当时，，
∵在上有且仅有5个零点，
∴，∴.
故选:A.
本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.
【详解】
解：因为，为正三角形，
所以，
因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，
因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，
所以球的体积为
故答案为：
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.
14、
【解析】
作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值.
【详解】
作出可行域如图所示
由得，则是直线在轴上的截距.
平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大.
解方程组，得，.
.
故答案为：.
本题考查简单的线性规划，属于基础题.
15、
【解析】
由组合数结合古典概型求解即可
【详解】
从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共三种，所以，所求概率为.
故答案为
本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.
16、
【解析】
通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第个等式即可．
【详解】
解：因为：，，，
等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为，则角满足：第个等式中的角，
所以；
故答案为：．
本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
(1)对函数求导，运用可求得的值，再由在直线上，可求得的值；
(2)由已知可得恒成立，构造函数，对函数求导，讨论和0的大小关系，结合单调性求出最大值即可求得的范围.
【详解】
（1）由题得，
因为在点与相切
所以，∴
（2）由得，令，只需
，设（），
当时，，在时为增函数，所以，舍；
当时，开口向上，对称轴为，，所以在时为增函数，
所以，舍；
当时，二次函数开口向下，且，
所以在时有一个零点，在时，在时，
①当即时，在小于零，
所以在时为减函数，所以，符合题意；
②当即时，在大于零，
所以在时为增函数，所以，舍.
综上所述：实数的取值范围为
本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．
18、（1），众数为150；（2） ；（3）
【解析】
（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，，当时，，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．
【详解】
（1）由直方图可估计需求量的众数为150 ，
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
由直方图可知的频率为：
∴估计需求量的平均数为：
（2）当时，
当时，
∴
（3）由（2）知 当时，
当时，得
∴开学季利润不少于4800元的需求量为
由频率分布直方图可所求概率
本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得，，代入得，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】
（1）由及正弦定理得，即
由余弦定理得，，.
（2）设外接圆的半径为，则由正弦定理得，
，，
.
本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
证明：（1）在矩形中，，
又平面，
平面，
所以平面．
（2）连结，交于点，连结，
在矩形中，点为的中点，
又，
故，，
又，
平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
21、（1）12（2）
【解析】
（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义；
（2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值.
【详解】
（1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故，
因此，的周长；
（2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则，
，，，，
当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为.
此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.
22、 (1) .(2)
【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；
（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.
【详解】
（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，
又由，可得，即，
所以曲线的普通方程为.
由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即
直线的方程为，即.
（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.
化简得：，则.
所以.
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.