定西市2027年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含答案解析）

这是一份定西市2027年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含答案解析）试卷主要包含了已知集合，集合，那么等于，定义，圆心为且和轴相切的圆的方程是，若复数满足,则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．13D．
2．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：

记为每个序列中最后一列数之和，则为（ ）
A．147B．294C．882D．1764
3．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（ ）
A．sina＞sinbB．ca＞cbC．ac＜bcD．
5．已知集合，集合，那么等于（ ）
A．B．C．D．
6．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )
A．B．C．D．
7．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．若复数满足,则( )
A．B．C．D．
11．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
12．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设O为坐标原点, ,若点B(x,y)满足，则的最大值是__________．
14．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.
15．曲线f(x)=(x2 +x)lnx在点(1，f(1))处的切线方程为____.
16．集合，，则_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 .
（1）求点的坐标；
（2）求的取值范围.
18．（12分）已知函数.
（1）若，求证：.
（2）讨论函数的极值；
（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知
（1）当时，判断函数的极值点的个数；
（2）记，若存在实数，使直线与函数的图象交于不同的两点，求证：．
20．（12分）设函数.
（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，，，求证：当时，．
21．（12分）设不等式的解集为M，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
22．（10分）设为等差数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即
点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
2、A
【解析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.
【详解】
依题意列表如下：
所以.
故选：A
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
3、C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
4、B
【解析】
根据函数单调性逐项判断即可
【详解】
对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；
对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确
对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误；
对D, 因为在为减函数，故 ，错误
故选B．
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．
5、A
【解析】
求出集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选：A.
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
6、A
【解析】
求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正如下图所示：
其中正的面积为，
满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，
阴影部分区域的面积为.
则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.
故选：A.
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
7、D
【解析】
由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.
当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.
当时，作出函数和的图象，如图所示.
若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
8、A
【解析】
求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.
故选：A.
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
9、A
【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选：A.
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
10、C
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由，得，
∴．
故选C．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
11、D
【解析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果.
【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，
使得成立的的范围为，区间长度为2，
故使得成立的概率为，
又，，，
令，则有，故的最小值为11，
故选：D.
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.
12、B
【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若，则可得，必要性成立.
故选：B
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】

,可行域如图，直线 与圆 相切时取最大值，由
14、5
【解析】
执行循环结构流程图，即得结果.
【详解】
执行循环结构流程图得,结束循环，输出.
本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.
15、
【解析】
求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程.
【详解】
解：∵，
∴，
则，
又，即切点坐标为（1，0），
则函数在点(1，f(1))处的切线方程为，
即，
故答案为：.
本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.
16、
【解析】
分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集.
【详解】
因为表示为奇数，故.
故答案为：
此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）设出的坐标，代入，结合在抛物线上，求得两点的横坐标，进而求得点的坐标.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】
（1）可知，
设
则，
又，
所以
解得
所以.
（2）据题意，直线的斜率必不为
所以设将直线方程代入椭圆的方程中，
整理得，
设
则①
②
因为
所以且
将①式平方除以②式得
所以
又解得
又，
所以
令，
则
所以
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
18、（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.
【解析】
（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；
（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；
（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.
【详解】
（1），，
，当时，，
当时，，∴，故.
（2）由题知，，，
①当时，，
所以在上单调递减，没有极值；
②当时，，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故在处取得极小值，无极大值.
（3）不妨令，
设在恒成立，
在单调递增，，
在恒成立，
所以，当时，，
由（2）知，当时，在上单调递减，
恒成立；
所以不等式在上恒成立，只能.
当时，，由（1）知在上单调递减，
所以，不满足题意.
当时，设，
因为，所以，
，
即，
所以在上单调递增，
又，所以时，恒成立，
即恒成立，
故存在，使得不等式在上恒成立，
此时的最小值是1.
本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
19、（1）没有极值点；（2）证明见解析
【解析】
（1）求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断；
（2）转化问题为存在且,使,可得,由（1）可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.
【详解】
（1）当时,,,
所以在递增,所以,
所以在递增,所以函数没有极值点.
（2）由题,,
若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.
由可得,,
由（1）可知,可得．,
所以,即,
下面证明,只需证明：,
令,则证,即．
设,那么,
所以,所以,即
本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力.
20、（1）（2）见解析
【解析】
(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），时，，
，
∵在上单调递减．
∴，．
令，
，
时，；时，，
∴在上为减函数，在上为增函数．
∴，∴．
∴的取值范围为．
（2）若，，时，，
，
令，显然在上为增函数．
又，，∴有唯一零点．
且，时，，；
时，，，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴．
又，∴，，．
∴
．
，．
∴当时，．
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
21、 (1)证明见解析；(2).
【解析】
试题分析：
(1)首先求得集合M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|.
试题解析：
（Ⅰ）证明：记f (x) =|x-1|-|x+2|，
则f(x)= ，所以解得-＜x＜，故M=(-,).
所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.
|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.
所以，|1-4ab|＞2|a-b|.
22、（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，整理得，
解得，，因此，；
（2），
满足不等式的正整数恰有个，得，
由于，若为奇数，则不等式不可能成立.
只考虑为偶数的情况，令，
则，．
.
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以，，
又，，，，.
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
上列乘
上列乘
上列乘
6
30
60
3
15
30
2
10
20
15
6
12
1
5
10