南京市2026-2027学年高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份南京市2026-2027学年高考数学四模试卷（含答案解析）试卷主要包含了设，其中a，b是实数，则，设复数满足，是虚数单位，则，若复数满足，已知复数z，则复数z的虚部为，若，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．2B．3C．D．
2．定义在上的函数满足，则（）
A．-1B．0C．1D．2
3．记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A．B．
C．D．
5．设，其中a，b是实数，则（ ）
A．1B．2C．D．
6．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．是虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．D．
8．若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
9．已知复数z，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．iD．i
10．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
12．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.
14．设为正实数，若则的取值范围是__________．
15．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值__________．
16．若，，则___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求几何体的体积.
18．（12分）的内角，，的对边分别是，，，已知.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
19．（12分）已知函数，.
（1）若不等式对恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.
20．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
21．（12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

22．（10分）如图所示，已知平面，，为等边三角形，为边上的中点，且.
(Ⅰ)求证：面；
(Ⅱ)求证：平面平面；
(Ⅲ)求该几何体的体积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有，，
第一次循环后，，
第二次循环后，，
第三次循环后，，
第四次循环后，，
所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出，
故选：B
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.
2、C
【解析】
推导出，由此能求出的值．
【详解】
∵定义在上的函数满足，
∴，故选C．
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.
3、C
【解析】
由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.
【详解】
因为，，
所以解得，
所以，
所以，，，
故选：C.
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.
4、B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
5、D
【解析】
根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
即，所以
则
故选：D
本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.
6、A
【解析】
由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.
【详解】
由得：，
对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：.
本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
7、C
【解析】
由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.
【详解】
由.
故选:C.
本题考查复数的除法和模，属于基础题.
8、B
【解析】
利用复数乘法运算化简，由此求得.
【详解】
依题意，所以.
故选：B
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.
9、B
【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出
【详解】
，
则复数z的虚部为.
故选：B.
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有
.
故选：C
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力
11、D
【解析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
12、B
【解析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），
所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.
故选：B
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.
【详解】
双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.
由题意得，解得.
故答案为：.
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
14、
【解析】
根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，，
所以，
当时，，当时，
所以当时，取得最大值，
又，
所以取值范围是，
故答案为：
本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题，
15、3
【解析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为和，高为，
如图所示，平面，
所以底面积为，
几何体的高为，所以其体积为．

点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
16、
【解析】
因为，所以，又，所以，则，所以．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出，根据矩形的性质得出，所以，再利用线面平行的判定定理即可证出平面；
（2）由于平面平面，根据面面垂直的性质，得出平面，从而得出到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求得结果.
【详解】
解：（1）∵，分别为，的中点，
∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）取，的中点，，连接，，，，则，
由于为三棱柱，为四棱锥，
∵平面平面，∴平面，
由已知可求得，
∴到平面的距离为，
因为四边形是矩形，，，
，
设几何体的体积为，
则，
∴，
即：.
本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.
18、（1）
（2）
【解析】
（1）利用余弦定理可求，从而得到的值.
（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求.
【详解】
（1）由，得.
所以由余弦定理，得.
又因为，所以.
（2）由，得.
由正弦定理，得，因为，所以.
又因，所以.
所以的面积.
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
19、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）由题意可得，，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为，令，，利用导数得单调性即可得到答案；
（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.
【详解】
（1），即，化简可得.
令，，因为，所以，.
所以，在上单调递减，.
所以的最小值为.
（2）要证，即.
两边同除以可得.
设，则.
在上，，所以在上单调递减.
在上，，所以在上单调递增，所以.
设，因为在上是减函数，所以.
所以，即.
（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证
，由可知，即要证.
当时，，，因而在上单调递增.
当时，，，因而在上单调递减.
因为，所以，要证.
即要证.
记，.
因为，所以，则.
.
设，，当时，.
时，，故.
且，故，因为，所以.
因此，即在上单调递增.
所以，即.
故得证.
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
20、（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
所以.
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
21、（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
22、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.
【解析】
（I）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（II）利用，证得平面，从而得到平面，由此证得平面平面.（III）作交于点，易得面，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.
【详解】
(Ⅰ)取的中点，连接，则，，
故四边形为平行四边形.
故.
又面，平面，所以面.
(Ⅱ)为等边三角形，为中点，所以.又，
所以面.
又，故面，所以面平面.
(Ⅲ)几何体是四棱锥，作交于点，即面，
.
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2