2025-2026学年广西贵港市市辖区高中高二（下）期末数学试卷

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1.集合A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A. {1，2，3，4}B. {2，3，4}C. {2，4}D. {1}
2.若z（1+i）=1+3i,则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. （2，-1）B. （2，1）C. （1，-1）D. （1，1）
3.某质点的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为s（t）=t2+4lnt,则该质点在t=2时的瞬时速度为（ ）
A. 8m/sB. 6m/sC. 5m/sD. 4m/s
4.已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知某AI智能软件处理相关数据量x（单位：TB）与所需时间y（单位：min）之间的关系为y=λlg3x,当要处理的数据量从27TB增加到729TB时，处理的时间增加了9min,则要处理的数据量为81TB时，所需的处理时间为（ ）
A. 12minB. 15minC. 16minD. 18min
6.在△ABC中，若sin2A+sin2C=sin2B-sinA•sinC，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A. B. 2C. D. 1
7.在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科.现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科方向为“化学、生物”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，过F2的直线与Γ交于A，B两点.若|AF2|=3|F2B|，|AB|=2|AF1|，则Γ的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知某AI软件公司为迎合市场需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据得到经验回归方程，则（ ）
A.
B. 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元
C. 可以估计10月份的利润为25万元
D. 5月份利润的残差为0.4万元
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f（x）的最小正周期为π
B. 函数f（x）在区间上单调递增
C. 函数f（x）的图象关于直线对称
D. 函数f（x）的图象可由y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得到
11.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在乙手中的概率为Pn，下列说法中正确的是（ ）
A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法
C. 数列{Pn+}为等比数列D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，x3的系数是 .
13.在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布N（100，100）.已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有 人.
（参考数据：P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）
14.过直线x+y-6=0上的动点P作圆C：x2+y2-4x-1=0的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，四边形APBC的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1，AC⊥AB，AC=3，AB=4.
（1）证明：平面AB1C⊥平面ABB1A1；
（2）若点B到平面AB1C的距离为，求二面角A-B1C-B的正弦值.
16.(本小题15分)
我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位.如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AITken完成对外输出.我国自主生成的AITken综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超65%，行业优势十分突出.为研究AI技术普及前后，电力企业依托Tken出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取100家电力企业开展统计，得到如下2×2列联表：
（1）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联；
（2）利用分层抽样从全部100家企业中抽取10家企业，再从抽取到的企业里随机选取5家，设这5家企业中收益显著提升的企业数量为X，求X的分布列与数学期望.
附，其中n=a+b+c+d,
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=a（2x-lnx），g（x）=x-x2.
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值；
（2）若函数m（x）=f（x）-g（x）在[1，4]上单调递增，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn=2an-2，bn=anlg2an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，Tn≥Sn+4．
19.(本小题17分)
如图，设双曲线的左顶点为点P，直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A、B两点，且A、B两点均异于点P.
（1）求点P的坐标，及双曲线C的离心率；
（2）若线段AB的中点为M（2，1），求直线l的方程；
（3）若以线段AB为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】-24
13.【答案】840
14.【答案】
15.【答案】证明：因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，
故AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AC；
又因为AC⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，
所以AC⊥平面ABB1A1，
因为AC⊂平面AB1C，
故平面AB1C⊥平面ABB1A1
16.【答案】根据小概率值α=0.001的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联 X的分布列为：
E（X）=3
17.【答案】a=2，b=2
[-1，+∞）
18.【答案】（1）解：数列{an}的前n项和分别为Sn，Sn=2an-2，
可得a1=2a1-2，则a1=2，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，化简得an=2an-1，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，因此．
（2）证明：数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn=2an-2，bn=anlg2an．
由（1）可知：．
，，
则•••①，所以•••②，
②-①得，
即，
故，
所以当n≥2时，，
所以Tn≥Sn+4．
19.【答案】P（-1，0），；
4 x-y-7=0；
过定点，定点坐标为（3，0） 月份x
1
2
3
4
5
利润y
5
8
10
12
15
收益显著提升
收益未明显提升
合计
AI技术推出前
20
30
50
AI技术推出后
40
10
50
合计
60
40
100
P（χ2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
4
5
P