四川省宜宾市2026年中考数学真题附同步解析

这是一份四川省宜宾市2026年中考数学真题附同步解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共有12题，每小题4分，共48分．
1．的绝对值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】根据负数的绝对值是它的相反数可知：
|-2026|=2026.
故答案为：A.
【分析】 根据绝对值性质解答即可.
2．下列计算正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】 A、a+a=2a，不符合题意；
B、2a-a=a，符合题意；
C、a•a2=a1+2=a3，不符合题意；
D、.
故答案为：B.
【分析】 根据整式的运算法则进行计算即可.
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．等腰三角形B．梯形C．正方形D．正五边形
【答案】C
【解析】【解答】 A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、梯形不一定是轴对称图形，且所有的梯形不是中心对称图形，不符合题意；
C、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故选：C.
【分析】 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可.
4．某校位同学参加志愿服务，服务时长单位：小时如下：则这组数据的众数是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】 ∵在这组数据中，3出现2次，4出现3次，1出现2次，2出现1次，
∴4是这组数据中出现次数最多的数，
∴众数为4．
故选：D.
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案.
5．如图，的外接圆，连接若△AOC为等边三角形，则的度数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】 ∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
由圆周角定理，
=，故答案为：B.
【分析】 根据等边三角形的性质得到∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得到∠ABC的度数.
6．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】 ∵x2-9x+14=0，
∴（x-7）（x-2）=0，
∴x-2=0或x-7=0，
解得x=2或x=7，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7，
∴该菱形的面积为，故答案为：D.
【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可.
7．我国古代算书四书玉鉴中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：文钱买甜果和苦果共个，甜果文钱买个，苦果文钱买个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果个，买苦果下列所列方程组中正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】 设买甜果x个，买苦果y个，
∵甜果和苦果共1000个，
∴x+y=1000，
∵11文钱可以买9个甜果，4文钱可以买7个苦果，
∴单个的苦果价格为， 单个甜果的价格为，
∵总花费一共是999文，
∴，
故可列方程为， 故答案为：A.
【分析】 设买甜果x个，买苦果y个，根据甜果和苦果共1000个，可得方程x+y=1000，求出单个甜果的价格为，单个的苦果价格为，根据花费一共是999文，可得方程.
8．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交于点，又分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接于点已知，则的面积是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】 由作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°，即DC⊥AC，
∴DE=CD=2，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据作图痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD的长，再根据三角形面积公式求解即可.
9．如图，一条直线与反比例函数的图象交于两点，分别与轴、轴交于两点.若，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】分别过A点和B点作AE，BF垂直x轴交于点E和点F，
∴AE∥BF，
∴△BFD∽△AED，
∵2AB=3BD，
∴，
设BF=2a，则AE=5a，
∴
EF=
∵，
∴FD=
OD=OF+FD=
∵△BFD∽△COD，
∴，
∴OC=7a，
解得k=.
故答案为：B.
【分析】分别过A点和B点作AE，BF垂直x轴交于点E和点F，由平行得△BFD与△AED的相似比为2：5，从而设BF=2a，AE=5a，得到A和B的坐标根据横坐标表示得到EF长，根据相似比得到FD的长，所以OD=OF+FD=再由相似得到OC长为7a，代入△COD的面积，得到k的值.
10．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边现有的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有( )
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【解析】【解答】分三种情况讨论：
只使用一个砝码，共3种；
使用两个砝码，两砝码放在异侧：
3-1=2，9-1=8，9-3=6；
两砝码放在同侧：
1+3=4，1+9=10，3+9=12；
使用两个砝码共6种；
使用三个砝码，
放同侧：9+3+1=13，
放异侧：9+3-1=11，9+1-3=7，9-3-1=5，
共4种.
综上所述，能称出的整数克质量有：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，共13种．
故答案为：C.
【分析】 根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可.​​​​​​​
11．如图，，点分别是上的点，连接交于点G，若，则的长是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，分别以BC，BA为x轴，y轴建系，
∴A(0，4)，F(2，0)，E(4，0)，C(5，0)，D(5，6)，
求得AE直线表达式：y=-x+4，
DF：y=2x-4，
联立，
解得x=，y=，
∴BG=，
故答案为：D.
【分析】分别以BC，BA为x轴，y轴建系，写出各点坐标，计算得直线AE和DF的表达式，联立两直线方程，即可求得G点坐标，进而得到BG长.
12．点是抛物线的顶点，点在抛物线上其中下列结论：
当点轴上时，在直线上；当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是当点在原点时，过点的直线与抛物线交于两点，则．
其中正确的结论有( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【解析】【解答】 y=-x2+2（a-1）x-（a2-1）=-[x-（a-1）]2-2a+2，
∴P坐标为（a-1，-2a+2），
①若P在x轴上，则-2a+2=0，
∴ a=1，
故①正确；
②-2a+2=-2(a-1)，
∴P点在直线y=-2x上
故②错误；
③∵A（-1，m），B（t，m），
∴
解得t=2a-1，
将A（-1，m）代入抛物线
得m=2-2a-a2，
∴m+2t=2-2a-a2+2（2a-1）=-a2+2a=-（a-1）2+1≤1，
当a=1时，m+2t=1，
故③错误；
④∵P所在直线为y=-2x，
将y=m代入y=-2x得，m=-2x，
解得
∵当点P所在直线与线段AB没有交点时，
∴x＜-1或x＞2a-1，
∴
整理得，a（a+2）＜0或a（a-2）＞0，
∴a＞2，故④正确；
⑤∵点P在原点，
∴a-1=0，-2a+2=0，
∴a=1，
∴抛物线为y=-x2，
当过C 的直线是x=0时，不符合题意，
则可设过C 的直线为
与抛物线方程联立得，
整理得，4x2+4kx-1=0，
此时△＞0，则此方程有两个不同根，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2=-k，x1x2=
∴
∴
∴
∴
同理可得，CN=
∴
故⑤正确；
故答案为：B.
【分析】 先对抛物线配方得到顶点坐标，由此可判断①②，利用轴对称性，由A，B坐标可得将A点坐标代入抛物线，可用a的代数式表达m，从而得到m+2t的关于a的表达式，由此可判断③，将y=m代入P点所在直线方程，得到P点的横坐标表达式，由题意得到x＜-1或x＞2a-1，从而可判断④，设过C点的直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理可得x1+x2=-k，x1x2=进一步表示得到CM与CN的值，进而判断⑤即可.
二、填空题：本大题共6题，每小题4分,共24分．
13．分解因式： ＝ ．
【答案】a (a－4)
【解析】【解答】 ＝a (a－4).
故答案为：a (a－4).
【分析】通关观察发现各项都有公因式a，故可以逆用乘法分配律将多项式各项的公因式a提出来，从而达到因式分解的目的。
14．不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 3x-2＞5x-4
-2x＞-2，
∴x＜1．
故答案为： .
【分析】根据一元一次不等式的方法求解即可.
15．如图，在矩形中，对角线相交于点垂直且平分线段，垂足为点已知，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】 ∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB=AO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴AB=AO=10cm，
故答案为：10．
【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到AB=AO，再由矩形的性质得到AO=10，从而得到AB长.
16．如图，已知中，，点边上运动，连接的内切圆半径相等时，设，则 用含的代数式表示．
【答案】
【解析】【解答】 设左边圆的圆心为O，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D，E，F，
设AP=x，OD=OE=OF=r，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP+S△AOB，
∴
∵△ABP和△APC的内切圆半径相等，
同理可得，
∴
又∵
∴
解得x=
故答案为：
【分析】 设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D，E，F，则可设AP=x，OD=OE=OF=r，根据面积关系，得到同理可得则又有从而解得x的值.
17．某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌扑克牌只有正面向上或反面向上，开始向每个机器人发送的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是 ．
【答案】
【解析】【解答】 解：若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次，
一般情况下，正整数的正因数成对出现，即翻动偶数次，
只有完全平方数的正因数个数为奇数，即翻动奇数次，
在1到100中，完全平方数为12，22，32，…，102，共10个，
∴正面向上的张数是10．
故答案为：10.
【分析】 分析可得，只有完全平方数的正因数个数为奇数，扑克翻动奇数次，非完全平方数的正因数个数为偶数，翻动偶数次，故只需计算1到100中完全平方数的个数即可.
18．如图，，将绕点逆时针旋转得到连接，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】 过A作AE⊥AB，使AE=AB，连接CE、BE．
由旋转性质，
AD=AC，∠DAC=90°，
∵∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
又AE=AB，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
设AB=AE=x，
在Rt△BAE中，BE=x，∠ABE=45°，
∴∠EBC=135°-45°=90°，
在Rt△CBE 中，
CE2=BC2+BE2=，
∴当x=时，CE2取到最小值，
∴CE最小值为：.
即BD最小值为.
故答案为：.​​​​​​​
【分析】 过A作AE⊥AB，使AE=AB，连接CE、BE，可证△DAB≌△CAE，将BD转化为CE，利用代数表达式表示CE的长度，从而求得CE的最小值，即为BD的最小值.
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．
19．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解： 原式=2-1+1
=2
（2）解：原式=.
【解析】【分析】 （1）根据实数的运算法则和正切值的概念进行计算；
（2）根据分式的运算法则进行计算即可.
20．如图，▱中，分别垂直对角线于点求证：．
【答案】证明：由题可知，
AB平行且等于CD，∠AEB=∠CFD=90°
∴∠ABE=∠CDF，
在△AEB和△CFD中，
∠AEB=∠CFD，
∠ABE=∠CDF，
AB=CD，
∴△AEB≌△CFD(AAS)，
∴AE=CF.
【解析】【分析】 根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF（AAS），由此可得AE=CF.
21．某校组织全校名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛从中随机抽取了名学生，并按竞赛成绩分成四组，绘制出以下不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1） ▲ ，补全条形统计图；
（2）根据竞赛成绩，组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数；
（3）竞赛中有名女生和名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取名学生代表学校参加下一轮竞赛请用列表或画树状图的方法，求抽到名男生和名女生的概率．
【答案】（1）解：，
C组的人数有：50-6-10-16=18（人），
补全统计图如下：
（2）解：
∴全校优秀的人数约为人
（3）解：列树状图：
由树状图可知，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为.
【解析】【解答】 （1）m=10÷20%=50（人），
【分析】 （1）利用B组人数除以B组所占的百分比即可求出m的值，根据总人数可求得C组人数；
（2）根据样本中C、D组人数占比，进而求得全校优秀人数；
（3）画树状图展示所有等可能的结果数，利用概率公式求解即可．
22．宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站如图，高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为如图，组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得两点的仰角分别是不计测角仪的高度如图．
（1）求的长； （2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
结果保留整数参考数据：
【答案】（1）解： tan∠DFC=tan50.3°=，
∴DC≈20×1.20=24（米），
tan∠EFC=tan58°=
∴EC≈20×1.60=32（米），
∴DE=EC-DC=32-24=8（米），故的长为米.
（2）解： 如图，设弧MN的圆心为O，连接NO，CO，
由题意得，MN=（25-1）×4=96米，
∵点D是MN的中点，
∴DN=
由垂径定理得，OE⊥MN，
设⊙O的半径为r米，
则OD=OE-DE=（r-8）米，
由勾股定理得，
OD2+DN2=ON2，
∴（r-8）2+482=r2，
r=148，
故正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米.
【解析】【分析】 （1）根据解三角形，分别求出DC，EC，进而得到DE即可；
（2）设正大门穹顶圆弧所在圆的圆心为O，连接NO，CO，由垂径定理可得DN=48，OE⊥MN，设⊙O的半径为r米，在Rt△ODN中根据勾股定理建立方程即可求解.
23．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点轴于点已知．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点关于轴的对称点，分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值．
【答案】（1）解：将x=1代入y=x+b，
得y=1+b，
∴P（1，1+b）．
令y=0，得x+b=0，
∴B（-b，0），
∴AB=1-（-b）=1+b.
∵S△PAB=8，
∴，b>0，
∴b=3，
∴P（1，4），一次函数的解析式为y=x+3．
将点P坐标代入，
得m=1×4=4，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为.
（2）解： 当x=0时，
y=x+3=3，
∴C（0，3），
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠CBO=45°．
因由题意可知，Q（-1，0）．
过点Q作直线BC得对称点E，连接AE，
由对称可知，当A，M，N，E四点共线时，△QMN周长最小，
∠EBC=∠CBO=45°，BE=BQ=-1-（-3）=2，
∴∠EBO=90°，E（-3，2）．
∴AE=(-3-1)2+(2-0)2=25,
∴△MNQ周长的最小值为.
【解析】【分析】 （1）根据三角形面积为8先求出b的值，再利用待定系数法进行计算即可；
（2）先求出点Q的坐标，过点Q作直线BC得对称点E，再根据轴对称的性质求出△MNQ周长最小时，即为A，M，N，E共线，求出此时AE长即可.
24．如图，是等腰三角形，，点中点，平分于点．
（1）求的度数；
（2）求证：的外接圆相切；
（3）外接圆上任意一点，试探究的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴∠B=30°，
又∵D为AB中点，由三线合一，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠BCD=90°.
（2）证明：由知，
为直径，设圆心为点，连接，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=2∠B=60°，
又∵∠CAB=30°，
∴∠ACO=90°，
又∵OC为半径，
与的外接圆相切.
（3）解：
连接，设，
由（1）（2）得，
∠COD=∠DCB=60°，AD=DB，
设OP=OB=OC=r，
在Rt△DCO中，OD=，CD=，
在Rt△CDB中，
CB=，DB=AD=， ∴AO=AD+DO=2r，
，
又， ∽，
， .
【解析】【分析】 （1）利用等腰三角形的性质以及角平分线的定义求解即可；
（2）根据（1）可得EB为直径，设圆心为点O，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠B=∠CAB=30°，再由OC=OB，得到∠CO60度，则∠ACO=90°，即可证明；
（3）连接OP，设OP=OE=OC=r，分别表示DO，AO的长，从而有，结合∠DOP=∠POA，可证明△DOP∽△POA，即可求解．
25．抛物线轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接试判定的形状，并说明理由；
（3）如图，点是直线上两动点，且面积的最小值．
【答案】（1）解： 由题可设抛物线交点式为：y=a（x+1）（x-2），
代入C（0，-2），
∴-2a=-2，
a=1，
∴y=（x+1）（x-2），即y=x2-x-2.
（2）解：是等腰直角三角形，
由（1），抛物线对称轴为直线，
设直线：，代入点、，
，
解得，
直线：，
将代入，
得，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形.
（3）解： 如图，过点B作BK⊥AC于点K，
由题可得，OA=1，OC=2，
∴AC=
sin∠OAC=
∵BK⊥AC，
∴BK=AB×sin∠OAC=655，
∵OB=OC=2，∠BOC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=45°，
作△EBF 的外接圆，记作⊙T，
连接TE，TF，TB，过点T作TR⊥AC于点R，连接BR，
则∠ETF=90°，
∵TE=TF，
∴∠TEF=∠TFE=45°，
∵TR⊥AC，
∴RE=RF=RT，
设RE=RF=RT=x，
∴TB=TE=
∵TB+TR≥BR≥BK，
∴x+2x≥655，
解得
∵EF=ER+FR=2x，
∴此时EF取得最小值为
BK=为定值，
∴△EBF的面积最小值为
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出AD，DB和AB的长，再由勾股定理逆定理求解即可；
（3）过点B作BK⊥AC于点K，求出 sin∠OAC ，则BK=， 可得△BOC为等腰直角三角形，作△EBF的外接圆，则∠ETF=90°，可得△TEF，△TRE，△TRF为等腰直角三角形，则设RE=RF=RT=x，那么TB=TE= 由于TB+TR≥BR≥BK，则 故当点B，T，R三点共线，且点K，R重合时，x取得最小值， 则此时EF取得最小值为 由此可得面积