2026年贵州省中考数学真题试卷（真题+答案）

这是一份2026年贵州省中考数学真题试卷（真题+答案），共6页。试卷主要包含了 如图，在正方形等内容，欢迎下载使用。
全卷共 6 页，三个大题，共 25 题，满分 150 分．考试时长 120 分钟．考试形式为闭卷．
请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分．
不能使用计算器．
选择题（每小题 3 分，共 36 分．每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅笔在答题卡相应位置填涂）
以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（）
B. C. D.
如图是一个蒙古包抽象出的几何体，从正面看，得到的平面图形是（）
B.
C. D.
实数 ， 在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
B. C. D.
小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（）
A. 汽车B. 路程C. 速度D. 时间
如图，一只猴子从竹竿底端的 点顺着往上爬至 点，眼睛始终盯着挂在顶端的帽子，在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行，则视线与水平方向所成的夹角（）
A. 逐渐变小B. 始终不变C. 逐渐变大D. 无法确定
， 两数的平方差用代数式可表示为（）
B. C. D.
如图，能判断直线 的条件是（）
B. C. D.
某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（）
B. C. D.
如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边 于点，连接 ，若 ，则菱形 的边长为（）
B. C. D.
在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤 文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（ 贯 文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（ ）
B.
C. D.
如图，小红利用标杆 测量学校旗杆的高度，标杆 高 ，测得 ， ，
则旗杆的高度是（）
B. C. D.
如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为 ，宽为的矩形，且点 在轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形 射去，如 果某时刻射出的直线恰好将矩形 分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为
（）
B. C. D.
填空题（每小题 4 分，共 16 分）
分解因式： ．
如图，在 中， ，垂足为，且 ，，则与 之间的距离为
．
某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表：
则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向（填“上”或“下”）．
累计抛掷次数
“盖口向上”的频率
“盖口向下”的频率
一元二次方程 的两根分别是 ， ，一元二次方程 的两根分别是
， ，若，把 ， ， ， 这四个数按从小到大的顺序用“ ”连接起来：
．
解答题（本大题共 9 题，共 98 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
计算：
（1） ；
（2） ．
如图，在正方形 中，点是 边的中点，连接，．
求证：；
若正方形 的边长为 ，求 的周长．
如图，在平面直角坐标系中， 为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为 ，反比例函数 的图象经过点 ．
求的值及点 的坐标；
将线段 沿 轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点 的对应点恰好落
在反比例函数 的图象上，求平移的距离．
年“多彩贵州 书香高原”耕读行动掀起阅读热潮．某校为了解七年级学生某月参与阅读分享活动次数的情况，在甲、乙两班中各随机抽取名学生进行问卷调查，将数据进行整理并绘制成如下统计图表．
乙两班抽取的学生某月参与阅读分享活动次数统计表
根据以上信息，回答下列问题：
统计表中 次， 次；
计算统计表中的值；
小星在整理此次抽取的 名学生阅读分享活动次数的相关统计量时，他认为当两个班抽取的人数相同时，只需将统计表中对应的一组统计量相加除以 ，即得到被抽取总人数相应的统计量．你同意他的方法吗？若同意，判断这种方法能适用于其他统计量吗？请用上表中数据说明理由：若不同意，请举出一个反例进行说明．
亚洲体操锦标赛于 年 月 日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进， 两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知种物品的单价比 种物品的单价多 元，用元采购种物品的数量与用元采购 种物品的数量相 同．
求， 两种物品的单价各是多少元？
该公司计划购进这两种物品共 个，当购买种物品的费用不超过购买 种物品的费用的倍时， 种物品最多能购进多少个？
项目课题：设计无障碍坡道．
项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红
众数
中位数
平均数
方差
甲班
a
5.5
5
乙班
5
b
c
所在学校的无障碍坡道．
项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度 米，坡角 ．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．
任务：
如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由；
如图③，受地面条件限制，该坡道 方向能用的水平宽度只有 米．小红设计了一个“回转坡 道”的方案示意图：在 处安装支柱 米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点 ，且 米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据： ，， ）
如图，已知 是 的直径，点， 在 上， ．
线段 与线段的数量关系是，若连接 ，则直线与的位置关系是
；
求证： ；
过点作 的切线，过点 作 于点．根据题意补全图形，若，， 求 的半径．
小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下：
【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点 ， ，小红要在直线上确定一点，使 最短．
请帮小红确定点的位置，并画出图形；
解决该问题的依据是；
， ，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接， ．确定点的位置使 周长最小，并求出该周长的最小值．
某课外实践小组用 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度 与水平距离之间的关系如图 所示．飞机在距水面垂直高度为 的 处投放跳弹，跳 弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
，，，与水面分别接触于点
，点 ．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
已知点 与点所在直线 的表达式为 ，分别求出 ， 两点的坐标；
若水面上 处有一个高为 （宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在 时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁；
【问题探究】
（3）如图②，在四边形
，，
中，点
，当
是边
的中点，点 是对角线上一个动点，连接
的值最小时，求线段的长；
，
【拓展延伸】
（4）如图③，在四边形
中，
，
， ，垂足为，
，
在 的条件下，若跳弹从水面上点 弹起后，沿路径 撞击对方目标截面 处时，启动跳弹内部
回弹装置，避开暗礁沿直线 加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持 ．且目标露出水面的垂直高度 ，点 的坐标，打击点距水面的距离为 ，且，求抛物线中 的取值范围．
贵州省 2026 年初中学业水平考试（中考）试题卷数学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
全卷共 6 页，三个大题，共 25 题，满分 150 分．考试时长 120 分钟．考试形式为闭卷．
请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分．
不能使用计算器．
选择题（每小题 3 分，共 36 分．每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅笔在答题卡相应位置填涂）
以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数大小比较法则比较四个气温，即可得到最低气温．
【详解】解：对四个气温数值进行大小比较，
是四个气温中的最低的．
如图是一个蒙古包抽象出的几何体，从正面看，得到的平面图形是（）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先拆分蒙古包对应的圆柱、圆锥组合几何体，分别确定两种立体图形的主视图形状，拼接得到完整主视图，再逐一排除错误选项选出答案．
【详解】解：题干中蒙古包抽象出的几何体，下半部分是圆柱、上半部分是圆锥，
从正面看，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，组合后就是“下方矩形 上方三角形”的图形，符合的是选项 B；
只有三角形，缺少下方圆柱部分； C、只有矩形，缺少上方圆锥顶；
D、是带圆心的圆，不属于正面观察得到的图形．
实数 ， 在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴、实数大小比较、相反数、绝对值有关内容， 根据数轴得出 ，即可判断出答案．
【详解】解：根据数轴可得 ， ， ，
．
，正确
， ，错误；
， ，错误；
， ，错误．
小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（）
A. 汽车B. 路程C. 速度D. 时间
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的基本定义：在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断．
【详解】解：∵在这个变化过程中，速度保持不变，是常量，路程随着时间的变化而变化，时间主动发生变化，
∴自变量是时间．
如图，一只猴子从竹竿底端的 点顺着往上爬至 点，眼睛始终盯着挂在顶端的帽子，在爬行过程中猴
子的视线与竹竿平行，则视线与水平方向所成的夹角（）
A. 逐渐变小B. 始终不变C. 逐渐变大D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可知视线与水平方向所成的夹角不变．
【详解】解： 在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行，
在小猴爬行的过程中，视线与水平方向所成角等于，竹竿与地面的夹角，
小猴的视线与水平方向所成的夹角不变．
， 两数的平方差用代数式可表示为（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵题目要求表示 ， 两数的平方差，
∴运算顺序为：先分别求 ， 的平方，再求两个平方的差，
∵ 的平方为 ， 的平方为 ，
∴两数的平方差可表示为 ．
如图，能判断直线 的条件是（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，对顶角相等，不能得到 ；
，邻补角互补，不能得到 ；
，内错角相等，能判断 ；
，同位角互补，不能判断 ．
某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有 种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种，
两人恰好都选择“红色研学”的概率是 ．
如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边 于点，连接 ，若 ，则菱形 的边长为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，易得
为等边三角形，得到
，根据作图得到证明为
等边三角形，得到
，即可得出结果．
【详解】解：∵菱形 ，，
∴，，
∴ 为等边三角形，
∴，
由作图可知， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴，
∴ ，即菱形 的边长为 2．
在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤 文，购买相同斤
【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可．
【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为，
铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤 文，
购买铜的花费为 文，购买锡的花费为 文，
贯 文，总花费为贯，则总花费为 文，
根据“总花费 购买铜的花费 购买锡的花费”可列方程：．
如图，小红利用标杆 测量学校旗杆的高度，标杆 高，测得 ，，则旗杆的高度是（）
B. C. D.
数的铜和锡共花费
列方程正确的是（
贯（
）
贯
文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下
A.
C.
【答案】A
B.
D.
【解析】
【答案】B
【解析】
【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度．
【详解】解： ， ，
，
，
，
， ， ，
， ，
．
如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为 ，宽为的矩形，且点 在轴的负半轴上，点 在 轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形 射去，如 果某时刻射出的直线恰好将矩形 分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为
（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质，过矩形对称中心的直线将矩形面积平分，先求出矩形 的中心坐标，再结合点的坐标求出直线解析式，最后求该直线与边的交点坐标即可．
【详解】解： 矩形 的长为 ，宽为 ，且点 在轴的负半轴上，点在 轴的正半轴上，
点 ，点 ，点 ，点 ，
直线将矩形 分成面积相等的两部分，
该直线必经过矩形 的对称中心（即对角线 的中点），
设矩形中心为点 ，则点 的坐标为 ，即，设过点和点的直线解析式为，
∴ {? = −1，解得{? = −1，
−2? + ? = 1? = −1
直线解析式为 ，
点 ，点 ，
线段在直线上，
令 ，则 ，解得 ，
该直线与矩形边的交点坐标为 ．
填空题（每小题 4 分，共 16 分）
分解因式： ．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：
如图，在 中， ，垂足为，且 ，，则与 之间的距离为
．
【答案】
2
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得到 ，进而得到 即为 与 之间的距离，易得
为等腰直角三角形，得到 ，即可.
【详解】解：∵ 中，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 与 之间的距离为 2.
某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表：
则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向（填“上”或“下”）．
【答案】上
【解析】
【分析】根据用频率估计概率的知识点，当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在概率附近，比较稳定后的频率大小，即可判断概率较大的事件．
【详解】解：当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近. 由表格数据可得，
随着累计抛掷次数增加，“盖口向上”的频率稳定在 ，“盖口向下”的频率稳定在 ， ，
抛掷这一瓶盖，盖口向上发生的概率较大．
一元二次方程 的两根分别是 ， ，一元二次方程 的两根分别是
， ，若，把 ， ， ， 这四个数按从小到大的顺序用“ ”连接起来：
．
【答案】
累计抛掷次数
“盖口向上”的频率
“盖口向下”的频率
【解析】
【分析】设 ， ，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果．
【详解】解：设 ， ，
则两个函数都经过点 ，对称轴分别为和，
∵一元二次方程 的两根分别是 ， ，一元二次方程的两根分别是，
，
∴ ， 为抛物线 与轴的交点的横坐标， ， 为抛物线 与轴的交点的横坐标，
∵，
∴抛物线 与抛物线 的对称轴均在 轴的左侧，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴两条抛物线的开口向上，
∵，
∴抛物线 的开口大于抛物线 的开口，
∴ ，
∵两条抛物线与轴都有两个交点，
∴ ， ，
∴ ， ，
综上：．
三、解答题（本大题共 9 题，共 98 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
求证：；
若正方形 的边长为 ，求 的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴
∵点是 边的中点，
∴
∴ ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质结合 即可证明；
（2）先对 运用勾股定理求解 ，然后由全等三角形的性质即可得到 的长度，即可求解
的周长．
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】
解：∵四边形 是正方形
∴
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
解：原式
【小问 2 详解】
；
解：原式
.
18. 如图，在正方形
中，点是 边的中点，连接，．
∵点是 边的中点
∴
∴
∵
∴
∴ 的周长．
如图，在平面直角坐标系中， 为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为 ，反比例函数 的图象经过点 ．
求的值及点 的坐标；
将线段 沿 轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点 的对应点 恰好落
在反比例函数 的图象上，求平移的距离．
【答案】（1） ，
（2）2
【解析】
【分析】（1）将 代入 即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点
的坐标即可；
（2）由题意可设平移后的 ，将点 代入 即可求解 ，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离．
【小问 1 详解】
解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
由题意得， 轴，
【小问 2 详解】
解：由（1）可得，反比例函数解析式为 ，由题意可设平移后的 ，
将点 代入 ，则 ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴平移的距离为 ．
年“多彩贵州 书香高原”耕读行动掀起阅读热潮．某校为了解七年级学生某月参与阅读分享活动次数的情况，在甲、乙两班中各随机抽取名学生进行问卷调查，将数据进行整理并绘制成如下统计图表．
乙两班抽取的学生某月参与阅读分享活动次数统计表
∵
，
∴
，
∵
的中点 的坐标为，
∴
，
∴
，
∴
；
众数
中位数
平均数
方差
根据以上信息，回答下列问题：
统计表中 次， 次；
计算统计表中的值；
小星在整理此次抽取的 名学生阅读分享活动次数的相关统计量时，他认为当两个班抽取的人数相同时，只需将统计表中对应的一组统计量相加除以 ，即得到被抽取总人数相应的统计量．你同意他的方法吗？若同意，判断这种方法能适用于其他统计量吗？请用上表中数据说明理由：若不同意，请举出一个反例进行说明．
【答案】（1）3；5 （2）5
（3）不同意，举反例：甲班的数据中众数为 3，乙班的数据中众数为 5，按照小星的方法得到众数为 ，实际合并后 20 个数据中，5 出现了 7 次，次数最多，故合并后的众数是 5，并不是小星的方法算出来的 4（反例不唯一）．
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
根据平均数的定义求解即可；
从众数、中位数和方差的角度举反例分析即可．
【小问 1 详解】
解：由折线统计图可得，甲班数据中 3 出现的次数最多，故众数；
乙班数据排列为 4，4，5，5，5，5，5，5，6，6，则中位数为第 5、6 个数据的平均数，故；
【小问 2 详解】
解： ；
【小问 3 详解】略
亚洲体操锦标赛于 年 月 日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进， 两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知 种物
甲班
a
5.5
5
乙班
5
b
c
品的单价比 种物品的单价多 元，用元采购种物品的数量与用元采购 种物品的数量相同．
求， 两种物品的单价各是多少元？
该公司计划购进这两种物品共 个，当购买种物品的费用不超过购买 种物品的费用的倍时， 种物品最多能购进多少个？
【答案】（1）
种物品单价为 元， 种物品单价为 元
（2）
种物品最多能购进 个
【解析】
【分析】（1）设 种物品单价为元， 种物品单价为 元，列分式方程求解即可；
（2）设购买 种物品 个，则购买 种物品个，根据购买种物品的费用不超过购买 种物品 费用的 倍，列不等式求解．
【小问 1 详解】
解：设 种物品单价为元， 种物品单价为 元，根据题意可得：，
解得： ，
经检验， 是所列分式方程的解，
，
答： 种物品单价为 元， 种物品单价为 元；
【小问 2 详解】
解：设购买 种物品 个，则购买 种物品个，根据题意可得：，
解得： ，
答： 种物品最多能购进 个．
项目课题：设计无障碍坡道．
项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红
所在学校的无障碍坡道．
项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度 米，坡角 ．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．
任务：
如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由；
如图③，受地面条件限制，该坡道 方向能用的水平宽度只有 米．小红设计了一个“回转坡 道”的方案示意图：在 处安装支柱 米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点 ，且 米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据： ，， ）
【答案】（1）该坡道不符合标准要求，理由如下：在 中，，
∴,
解得，
而，
∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求；
（2）小红设计的方案图符合标准，理由如下：过点 作于点 ，
由题意得，在 中， ， ，
∴
，
∴坡道
∵
∴四边形
符合标准；
是矩形，
，
∴
，
∴
，
∴在
中，
，
∴坡道
符合标准，
，
又∵ ，满足地面要求，
∴小红设计的方案图符合标准．
【解析】
【分析】（1）根据坡度的定义解 求，然后比较 的坡度与国家标准即可；
（2）过点 作 于点 ，分别在 、中求出坡道、的坡度，再比较 的长度与 的大小即可．
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】略
如图，已知 是 的直径，点， 在 上， ．
线段 与线段的数量关系是，若连接 ，则直线与的位置关系是
；
求证： ；
过点作 的切线，过点 作 于点 ．根据题意补全图形，若，， 求 的半径．
【答案】（1）相等；互相垂直
证明：延长交 于点 ，
由（1）可得， 垂直平分 ，即 ，
∵ ，
∴ 是的中位线，
∴ ，即；
补全图形如图：
的半径为 3
【解析】
【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可；
延长交 于点 ，证明 是的中位线，再由中位线的性质求解即可；
先根据题意补全图形，然后连接 ，延长交 于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对 运用勾股定理求解．
【小问 1 详解】
解：∵在 中， ，
∴ ，
∴线段 与线段的数量关系是相等；连接 ，
∵，
∴ 垂直平分
∴直线与 的位置关系是互相垂直；
【小问 2 详解】略
【小问 3 详解】
解：如图，连接 ，延长交 于点 ，由（2）可知，
∵直线是 的切线， ，
∴，
∴，
∴四边形 是矩形，
∴，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴，
∴ ，
∴，
∴半径为．
小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下：
【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点 ， ，小红要在直线上确定一点，使 最短．
请帮小红确定点的位置，并画出图形；
解决该问题的依据是；
， ，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接， ．确定点的位置使 周长最小，并求出该周长的最小值．
【答案】（1）如图①，点即为所求；
（2）两点之间线段最短
1（4）
【解析】
【分析】（1）连接 与直线的交点即为点；
依据为两点之间线段最短；
过点 作的对称点， 交于点 ，连接 ，交于点 ，则
【问题探究】
（3）如图②，在四边形
，，
中，点
，当
是边
的中点，点 是对角线上一个动点，连接
的值最小时，求线段的长；
，
【拓展延伸】
（4）如图③，在四边形
中，
，
， ，垂足为，
，
，故当点 与点重合时，
取得最小值，如图，连接
，然后证
明
，再解
即可；
（4）过点
作
于点 ，过点 作
交
的延长线于点，先判断点
在直线
上，连接，确定 周长的最小值为 ， 先证明，再利用 求解即可．
【小问 1 详解】
略
【小问 2 详解】略
【小问 3 详解】
解：过点 作的对称点， 交于点 ，连接 ， 交于点，
∴ ， ，
∴，
∴当点 与点重合时， 取得最小值，如图，连接，
∵
，点为
中点，
，
∴
， ，
∴
∴
∴
为等边三角形，
，
，
∵ 关于对称，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴；
【小问 4 详解】
解：如图，过点 作于点 ，过点 作交 的延长线于点，
∵ ，
∴，
∴ 垂直平分，
∴点在直线上，
∴ 周长的最小值为 ，
∵，
连接
，
∴
∴
，
，
∴当点
在
上时，
取得最小值即为 ，
∵
，
不变，
∴四边形 是平行四边形，
∴，， ，
∵ ，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
解得 （舍负），
∴，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴ 周长的最小值．
某课外实践小组用 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度 与水平距离之间的关系如图 所示．飞机在距水面垂直高度为 的 处投放跳弹，跳 弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
，，，与水面分别接触于点
，点 ．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
已知点 与点所在直线 的表达式为 ，分别求出 ， 两点的坐标；
若水面上 处有一个高为 （宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线
在 时距水面最高，请判断跳弹沿路径 运动时能否避开障碍物和暗礁；
在 的条件下，若跳弹从水面上点 弹起后，沿路径 撞击对方目标截面 处时，启动跳弹内部
回弹装置，避开暗礁沿直线 加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持 ．且目标露出水面的垂直高度 ，点 的坐标，打击点距水面的距离为 ，且，求抛物线 中 的取值范围．
【答案】（1）， ；
（2）能避开障碍物和暗礁；
（3）．
【解析】
【分析】 将 ，代入 ，求得 的坐标，将 ，代入 ，即可 求得 的坐标；
先根据对称轴为 得出 ，代入求得 ，得出，
分别计算 和 的函数值，结合题意，即可求解；
设，根据已知得出 ，将 代入 ，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解．
【小问 1 详解】
解：∵飞机在距水面垂直高度为 的 处投放跳弹，直线 的表达式为 ，
∴当 时， ，
解得： ，
∴，
∵ ，
当 时，，
解得： ， ，
∴ ；
【小问 2 详解】
解：∵，抛物线 在 时距水面最高，
∴ ，
解得： ，
∴，
∵ 过点，
∴当 时， ，
解得： ，
∴，
当 时，，
解得： ， ，
∴ ，
∵水面上 处有一个高为 （宽忽略不计）的障碍物，
∴当 时， ，
∵ ，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽 ， ，
∴ ，
∴当 时，，
∵ ，
∴跳弹能避开暗礁，
综上所述，跳弹沿路径 运动时能避开障碍物和暗礁；
【小问 3 详解】
，
，
解：∵点 的坐标 ，设，
∵
∴，
∵，
∴，
∵要避开暗礁，
∴
，
∴
∵
过点
，即
，
，
当时，，即 ，
∴当 时，，
，
即，
∵ ，
∴，
解得：．