2026年湖北省中考数学真题试卷（真题+答案）

这是一份2026年湖北省中考数学真题试卷（真题+答案），共6页。试卷主要包含了 已知点， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
2026 年湖北省初中学业水平考试数学试题
本试题卷共 6 页，满分 120 分，考试用时 120 分钟．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B 铅笔或黑色签字笔．
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回．
选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸图案是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
湖北省土地总面积为 18.59 万平方千米．将数 185900 用科学记数法表示为（）
B. C. D.
下列计算正确的是（）
B.
C. D.
将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知 ，则的度数是（）
B. C. D.
下列调查中，适宜用全面调查的是（）
了解某城市的空气质量状况B. 了解某班学生的视力状况
C. 了解某种水果的甜度情况D. 了解某批次汽车的抗撞击能力情况
如图、在中，，，分别以点 和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于， 两点，作直线 与边 交于点，连接 ，则的周长是（）
B. C. D.
2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有 支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场），共需进行 136 场比赛，则可列方程（）
B.
，
，
C.D.
如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形，若
的坐标是（）
，则点
A.B.C.D.
如图，与 相切于点 ，连接并延长交 于点 ，连接．若 ，则 的度数 是（）
的图象上，，，均大于 0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当 时，下列大小关系不．可．能．的是（）
B. C. D.
填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分）
数轴上表示数 ， 的点如图所示，则 0．（填“ ”“ ”或“ ”）
反比例函数 的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是．
小明计划从湖北黄鹤楼、湖南岳阳楼、江西滕王阁和山西鹳雀楼四个景点中随机选取一个游览，选中“湖北黄鹤楼”的概率是．
计算 的结果是．
如图，在平行四边形 中， ，， ，点 是边上一动点，将 沿 翻折，得到 ．
当时， 的度数是；
A.
B.
C.
D.
10. 已知点
在函数
的图象上，点
在函数
的图象上，点
在函数
过点 作直线的垂线，垂足为 ，则 的最小值是．
解答题（共 9 题，共 75 分）
计算： ．
如图，在矩形 中， ， ， 分别是边 ， ， 的中点．求证：．
近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过 的斜坡．如图，坡角为 的斜坡 长 ，铅直高度长，．该 机器人一定能爬上斜坡 吗？请判断并说明理由．
（参考数据：，）
在《全民阅读促进条例》实施后，某校为了解学生的阅读情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行问卷调查，并对每名学生的问卷情况进行了评估（满分 100 分）．将评估得分 （单位：分）分为 ， ， ，四组进行统计，相关统计信息如下：
八年级学生得分统计表
统计量
七年级
八年级
平均数
根据以上信息，解答下列问题：
七年级学生得分条形图中， 组人数是人，并补．全．条形图；
八年级有 500 名学生，估计该年级学生得分不低于 80 分的人数；
根据“七、八年级学生得分统计表”可知，两个年级的样本平均数相同，请结合其他统计量，对两个年级的学生得分情况进行分析．（写出一条，有理即可）
探究无舵手单桨赛艇中的数学问题
单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？
【模型假设】
假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关．
【模型建立】
如图 1，将四人单桨赛艇抽象为线段，艇尾记为点 ，艇首记为点 ．
运动员的位置依次用点 ， ， ， 表示， ， ．
运动员手持的桨依次记为桨 1，桨 2，桨 3，桨 4，位于上方与下方的桨的数量相等．
规定：当桨的位置位于上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于下方时，对应的点所表示的数记为负数．
例：在图 1 中，桨 1 的位置位于上方，，所以点 表示的数是；桨 2 的位置位于下方，
，点 表示的数是．
中位数
81
82
众数
79
82
方差
在图 1 中， ，点 表示的数是，点表示的数是．
【模型分析】
通过研究，记点 ， ， ， 所表示的数的和为 ，当 时，赛艇保持“稳定”；当 时， 赛艇失去“稳定”．
在四人单桨比赛中，按照图 1 的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由．
【模型应用】
类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图 2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置．
如图，在中， ，以为直径的 交 于点，弦，垂足为．
求证： ；
若 ， ，求 的半径．
“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织 2 个大号中国结和
3 个小号中国结需用绳米；编织 4 个大号中国结和 1 个小号中国结需用绳 米．
求编织 1 个大号中国结和 1 个小号中国结各需用绳多少米；
某饰品店计划编织大、小号中国结共 个进行销售，所用编织绳不超过 米．设编织个大号中国结．
①求 的取值范围；
②已知每个大号中国结售价为元，每个小号中国结售价为 元，每米编织绳的成本为元，其他成本总计 元．求该饰品店获得的最大利润．
在 中， ，将 绕点 顺时针旋转（）得到 ，使得 ．
如图 1，若 ， 与 交于点 ，作，垂足为 ．
①证明：；
②求的值；
③若 ，直接写出 的值．
如图 2，若，直接写出的值．
抛物线 与轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．点在直线上，设点的 横坐标为．
求的值；
如图 1，点 是抛物线上位于第四象限的点， 平行于轴．当时，求点 的坐标；
点在直线上且位于点的右上方，．过点， 分别作轴和轴的垂线，四条
垂线围成四边形 ．若四边形 的边与抛物线有两个交点 ， ，记 ， 的纵坐标之和 为 ．
①当点在线段上时，求 关于的函数解析式；
②当时，直接写出的值．
机密★启用前
注意事项：
2026 年湖北省初中学业水平考试数学试题
本试题卷共 6 页，满分 120 分，考试用时 120 分钟．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B 铅笔或黑色签字笔．
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回．
选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸图案是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
湖北省土地总面积为 18.59 万平方千米．将数 185900 用科学记数法表示为（）
B. C. D.
【答案】D
【详解】解：A、根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得， 故A 选项计算正确；
和 不是同类项，不能合并， 故B 选项计算错误；
根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得 ， 故C 选项计算错误；
和不是同类项，不能合并，故D 选项计算错误．
4. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知 ，则的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，先由纸条的两边平行，得到 ，再根据计算即可．
【详解】解：如图，
【解析】
【详解】解： 科学记数法要求满足
，将
改写为符合要求的形式时，将小数点向左移
动 5 位，可得 ， ．
．
3. 下列计算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
∵纸条的两边平行， ，
∴ ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据调查对象的范围，调查是否具有破坏性，判断是否符合全面调查的要求，全面调查适合调查范围小，无破坏性，易操作的调查．
【详解】A、调查某城市空气质量范围较大，适合抽样调查，不符合要求；
B、一个班级的学生数量少，便于对每位学生的视力情况进行调查，适宜用全面调查，符合要求； C、检测水果甜度具有破坏性，且调查对象数量多，适合抽样调查，不符合要求；
D、检测汽车抗撞击能力具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求．
如图、在中，，，分别以点 和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于， 两点，作直线 与边 交于点，连接 ，则的周长是（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用垂直平分线的性质把 的长替换成的长求解即可．
【详解】解：由题意得 垂直平分，
∴
．
5. 下列调查中，适宜用全面调查的是（
）
A. 了解某城市的空气质量状况
B. 了解某班学生的视力状况
C. 了解某种水果的甜度情况
D. 了解某批次汽车的抗撞击能力情况
，
， ，
的周长为．
2026 年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有 支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场），共需进行 136 场比赛，则可列方程（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程．
【详解】解：∵共有 支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场，
∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场，
又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数，
∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场，
，
，
∴可列方程．
如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形，若
的坐标是（）
，则点
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形得出 ， ，利用平移方式相同可得到点的坐标．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，，
，，
点先向左移一个单位长度，再向上移两个单位长度得到点 ，
点 先向左移一个单位长度，再向上移两个单位长度得到点 ，
，
，即．
如图，与 相切于点 ，连接并延长交 于点 ，连接．若 ，则 的度数 是（）
中利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：连接 ，
是 的切线，
，
，
，
，
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接
，根据切线的性质可得
，根据圆周角定理求出
的度数，最后在
．
已知点 在函数 的图象上，点 在函数 的图象上，点 在函数 的图象上，，，均大于 0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当 时，下列大小关系不．可．能．的是（ ）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可；
【详解】解：联立 与 得 ，整理得 ，解得： ，联立 与 得 ，解得： 或 ，
联立 与 得，整理得 ，解得： 或 ，
∴函数 、函数 、函数 的图象在第一象限交于点 ，故三个函数的图象位于第一象限的部分，
当时， ，B 选项可能；
当时，根据图象可得， ，A 选项可能；
当 时，根据图象可得， ，C 选项可能；综上，D 选项不可能．
填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分）
数轴上表示数 ， 的点如图所示，则 0．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【详解】解：由数轴可得，
∴ ．
反比例函数 的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是．
式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可．
【详解】解： 反比例函数 的图象位于第一、第三象限， ，
解得 ，
∴只要取大于 的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）．
小明计划从湖北黄鹤楼、湖南岳阳楼、江西滕王阁和山西鹳雀楼四个景点中随机选取一个游览，选中“湖北黄鹤楼”的概率是．
【答案】
【解析】
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定符合题意的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，随机选取一个景点，所有等可能的结果共 种，其中选中“湖北黄鹤楼”的结果有种，
根据概率公式可得，选中“湖北黄鹤楼”的概率为 ．
计算 的结果是．
【答案】
【解析】
【分析】先按照同分母分式加减运算法则计算，然后对分子因式分解，最后约分即可．
【详解】解：．
【答案】1（答案不唯一，
即可）
【解析】
【分析】对于反比例函数
，当比例系数
时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等
如图，在平行四边形 中， ，， ，点 是边上一动点，将 沿 翻折，得到 ．
【分析】（1）利用平行四边形邻角互补求出 ，结合折叠性质与，用四边形内角和算出 ，两角相减即可得到；
（2）由折叠得 长度固定，确定点在以 为圆心， 为半径的定圆上；在中，斜边
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
由翻折得，
，
，
在四边形 中，，
；
（2）解： ，，
在中， ，
由翻折得，
∴点在以 为圆心，为半径的定圆上，
（1）当
时，
的度数是；
（2）过点
作直线
的垂线，垂足为 ，则 的最小值是．
【答案】
①.
②.
【解析】
不变，
越大，
越小；根据一点到直线的线段中垂线段最短得
最大等于
；代入勾股定理计算
出
的最小值．
∵ ，
，
最大为 ，
的最小值是．
解答题（共 9 题，共 75 分）
计算： ．
【答案】4
【解析】
【详解】解：原式
．
如图，在矩形 中， ， ， 分别是边 ， ， 的中点．求证：．
【答案】证明： 点 是的中点，
，
点， 分别是边 ， 的中点，
，，
四边形 是矩形，
， ，
，
在和 中，
，
．
【解析】
【分析】利用矩形的性质和中点的性质推出， ， ，再利用 证明三角形全等即可．
【详解】略．
近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过 的斜坡．如图，坡角为 的斜坡 长 ，铅直高度长，．该 机器人一定能爬上斜坡 吗？请判断并说明理由．
（参考数据：，）
【答案】一定能，理由如下：
在 中， ，， ，
，
，
该机器人一定能爬上斜坡 ．
【解析】
【分析】根据正弦函数的定义计算 ，求出 ，与比较，结合题意即可得出结论．
【详解】略
在《全民阅读促进条例》实施后，某校为了解学生的阅读情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行问卷调查，并对每名学生的问卷情况进行了评估（满分 100 分）．将评估得分 （单位：分）分为 ，
，，四组进行统计，相关统计信息如下：
八年级学生得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
七年级学生得分条形图中， 组人数是人，并补．全．条形图；
八年级有 500 名学生，估计该年级学生得分不低于 80 分的人数；
根据“七、八年级学生得分统计表”可知，两个年级的样本平均数相同，请结合其他统计量，对两个年级的学生得分情况进行分析．（写出一条，有理即可）
【答案】（1）25；补全条形图如图：
（2）300 人（3）
七、八年级样本平均数相同，从中位数、众数看，八年级学生得分的中位数、众数高于七年级，说明八年级的得分更好．（或七、八年级样本平均数相同，从方差看，七年级得分的方差比八年级的方差小，说明七年级的得分数据更整齐，写出一条合理即可）
【解析】
统计量
七年级
八年级
平均数
中位数
81
82
众数
79
82
方差
【分析】（1）先求出 组人数，再补全条形统计图即可；
根据样本估计总体的方法解答即可；
从中位数、众数、方差等方面分析即可；
【小问 1 详解】
解：七年级学生得分条形图中， 组人数为 人；补全条形统计图见答案
【小问 2 详解】
解：由题意得，随机抽样的 50 名八年级学生中得分不低于 80 分的人数占比是，所以估计八年级学生得分不低于 80 分的人数为（人）．
【小问 3 详解】略
探究无舵手单桨赛艇中的数学问题
单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？
【模型假设】
假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关．
【模型建立】
如图 1，将四人单桨赛艇抽象为线段，艇尾记为点 ，艇首记为点 ．
运动员的位置依次用点 ， ， ， 表示， ， ．
运动员手持的桨依次记为桨 1，桨 2，桨 3，桨 4，位于上方与下方的桨的数量相等．
规定：当桨的位置位于上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于下方时，对应的点所表示的数记为负数．
例：在图 1 中，桨 1 的位置位于上方，，所以点 表示的数是；桨 2 的位置位于下方，
，点 表示的数是．
在图 1 中， ，点 表示的数是，点表示的数是．
【模型分析】
通过研究，记点 ， ， ， 所表示的数的和为 ，当 时，赛艇保持“稳定”；当 时， 赛艇失去“稳定”．
在四人单桨比赛中，按照图 1 的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由．
【模型应用】
类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图 2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置．
【答案】（1） ， ，
能，理由如下：由题意可知，
；
所以赛艇能保持“稳定”；
或
【解析】
【分析】（1）根据题意列式即可；
将点 ， ， ， 所表示的数相加即可解答；
根据题意可得剩余四支桨的位置一定为两上两下，结合点，，，所表示的数的和为 0，画
【小问 2 详解】略
【小问 3 详解】
解：要使八人赛艇稳定，需要满足所有数的和为 ，
根据图 2 可知，现有四支桨的位置是两上两下，则剩余四支桨的位置一定为两上两下，
∵点 表示的数是，点 表示的数是 ，点 表示的数是，点 表示的数是，
，
∴点 ， ， ， 所表示的数的和为 0，
∴，
求证： ；
若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接 ，
图即可．
【小问 1 详解】
解：根据题意，
， 由图 1 可知，桨 3 在下方，
因此点 表示的数为
；
，桨 4 在
上方，因此点
表示的数为 ；
或
．
21.
如图，在
中，
，以
为直径的
交
于点
，弦
，垂足为
．
为 的直径，
，
又 ，
；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出 的长，在 中利用勾股定理求出的长，设 的半径为 ，则 ， ，在中利用勾股定理即可求出 ．
【小问 1 详解】略；
【小问 2 详解】
解：如图，连接 ，
弦， 为直径， ， ，
， ，
，
在 中， ，
设 的半径为 ，则 ， ，在中，，
，化简得 ，解得 ，
的半径为．
“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织 2 个大号中国结和
3 个小号中国结需用绳米；编织 4 个大号中国结和 1 个小号中国结需用绳 米．
求编织 1 个大号中国结和 1 个小号中国结各需用绳多少米；
某饰品店计划编织大、小号中国结共 个进行销售，所用编织绳不超过 米．设编织个大号中国结．
①求 的取值范围；
②已知每个大号中国结售价为元，每个小号中国结售价为 元，每米编织绳的成本为元，其他成本总计 元．求该饰品店获得的最大利润．
【答案】（1）编织 1 个大号中国结需用绳 米，编织 1 个小号中国结需用绳米
（2）① 且 为整数；②该饰品店获得的最大利润为 元
【解析】
【分析】（1）设编织 1 个大号中国结需用绳米，编织 1 个小号中国结需用绳米，利用题目给的条件列出方程组，求解即可；
（2）①由题得编织 个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合 是计划编织的大号中国结个数即可求出 的取值范围；②利用每米编织绳的成本为元可得出编织 1 个大号中国结和 1 个小号中国结各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利用 的取值范围可得出最大利润．
【小问 1 详解】
解：设编织 1 个大号中国结需用绳米，编织 1 个小号中国结需用绳 米，由题意得，
得，
得 ，解得 ，把 代入②得，
故原方程组的解为．
答：编织 1 个大号中国结需用绳 米，编织 1 个小号中国结需用绳 米．
【小问 2 详解】
解：①依题意得，
化简得 ，解得 ，
因为 是计划编织的大号中国结个数，所以 ，为整数，
所以 的取值范围为 ，且 为整数．
②由题意得每个大号中国结用绳成本为 5 元，每个小号中国结用绳成本为 3 元，设获得的利润为 元，
由题意得，
因为 ，所以 随 的增大而增大，由①知 ，且 为整数，
所以当 时， 最大，最大值为，答：该饰品店获得的最大利润为 元．
在 中， ，将 绕点 顺时针旋转（）得到 ，使得 ．
如图 1，若 ， 与 交于点 ，作，垂足为 ．
①证明：；
②求的值；
③若 ，直接写出 的值．
如图 2，若，直接写出的值．
【答案】（1）①证明：， ， ，
，
由旋转得，，
， ；
②2；③
（2）
【解析】
【 分 析 】（ 1 ） ① 由 平 行 得 ， 由 旋 转 得 ， ， 进 而 得
，即可证明；
②由等腰三角形三线合一的性质得，由得，再证明
，则，即可得解；
③由旋转得，，，由②可得，进而可得到 ，设 ，
，
，在
则
和 中，由勾股定理分别表示出 ，即可得关于 x 的方程，
即可求解；
（2）过 作交直线 于 ，由 ，，得到 ，则， ，设，，则 ，再在 和 中根据 列方程整理得到 ，则，代入 计算即可．
【小问 1 详解】
①略；
∴
，
由①得
，
∴
，
∵
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
解：②∵ ，，
③由旋转得， ， ，由②可得，
∴ ，
∵ ，
∴，
设 ，则，，在 中， ，
在 中，，
∴ ，
解得 （负值已舍去），
∴ ；
【小问 2 详解】
解：过 作交直线 于 ，
∵
，
，
∴
∴
∴
∴设
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
由旋转得，
，
，
∴
，
∴
，
展开整理得
，
求的值；
如图 1，点 是抛物线上位于第四象限的点， 平行于轴．当时，求点 的坐标；
点在直线上且位于点的右上方，．过点， 分别作轴和轴的垂线，四条
垂线围成四边形 ．若四边形 的边与抛物线有两个交点 ， ，记 ， 的纵坐标之和 为 ．
①当点在线段上时，求 关于的函数解析式；
②当 时，直接写出的值．
【答案】（1）
①；② ， ，
【解析】
【分析】（1）把点 代入抛物线表达式中可解出的值；
由（1）求出点 和点 的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点 的坐标；
∴
，
∴
．
24. 抛物线横坐标为．
与轴交于点
和点 ，与 轴交于点 ．点在直线上，设点的
利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为 的正方形，接着可表示出点和点 的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物 线有两个交点 ， 时， 的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时， 的不同取值范围分别对 应的点 和点 纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到 关于的函数解析式；②在①的基础上分情
设直线的表达式为 ，
把， 代入得，解得 ，
直线的表达式为 ，当 时， ，
当时， ，
平行于轴，
的纵坐标为 ，
点 是抛物线上位于第四象限的点，
况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点
和点
纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到 关于 的
函数解析式．
【小问 1 详解】
解：把点 代入抛物线
得
，
解得， ；
【小问 2 详解】
解：由（1）得
，
令 得
，
因式分解得
，
解得 或
令 得
，
，
，
，
又 ，化简得 ， ，
解得 ，
；
【小问 3 详解】
解：由（2）知直线的表达式为 ， ，
设点的坐标为 ，
，
，
化简得，
解得 ，
点在直线上且位于点的右上方，
，
，即 ，
，
四边形是边长为 的正方形，
如图，当沿移动时，点沿移动，点 沿 移动，
上图中点和点 重合，
，
，
，，，，
当 时， ，
点 在抛物线上，
设直线的表达式为 ，
把 ， 代入得，解得，
直线的表达式为 ，
设直线 的表达式为 ，
把 ， ，代入得，解得，
直线 的表达式为 ，
点在直线 上运动，点 在直线 上运动，如图，
令，化简得， ，解得 ，令 ，化简得，因式分解得，解得或，
点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，
当四边形的边与抛物线有两个交点 ， 时，，
①当点在线段上时， ，
点从点 往点 运动的过程中，当 时，即点在线段上时，如图，此时点 的纵坐标为 点的纵坐标，点 的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，
，
点从点 往点 运动的过程中，当 时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐 标为点的纵坐标，点 的纵坐标为点纵坐标，
，
综上所述，当点在线段上时，；
②当时，如图，点 的纵坐标为点的纵坐标，点 的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，
，
当时，如图，点 的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标，
，
当时，如图，点 的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点 的纵坐标为点
的纵坐标，
，
当时，如图，点 的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点
的纵坐标，
，
综上所述，，
当 时，分情况讨论：
当时， ，化简得 ， ，解得 不符合，舍去；
当时， ，解得 符合；
当时， ，化简得 ，，解得
， 符合，不符合，舍去；
当 时， ，化简得 ， ，解得 ， 符合 ， 不符合 ，舍去； 当 时， ，解得 不符合 ，舍去；
当时， ，化简得， ，无解；综上所述，当时， 的值为或或．