2026年江苏省连云港市中考数学真题试卷（真题+答案）

这是一份2026年江苏省连云港市中考数学真题试卷（真题+答案），共6页。试卷主要包含了08  105，5 分，方，6 ，S 2  2等内容，欢迎下载使用。
6 的相反数是（）
1
6
 1
6
6D. 6
下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
2026 年“五一”假期期间，我市接待游客突破 608 万人次，同比增长20.51% ．数据“608 万”用科学记数法可表示为（）
608104
6.08  105
6.08106
0.608107
如图，数轴上的点 A，B，C 分别对应实数 a，b，c．下列结论正确的是（）
a  c
b  c
a  b
c  a  b
9
已知 p 
5 ，以下对 p 的值估算正确的是（）
3  p  4
4  p  5
5  p  6
6  p  7
如图，扇形OAB ，点 C 在 AB 上．若AOB  60，则∠??? 的度数是（）
A. 150°B. 140C. 130°D. 120
下列命题为真命题的是（）
①若?2 = ?2，则? = ? ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是 5 的整数，能被 5 整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等．
A. ①②⑤B. ③④C. ④⑤D. ①③
如图，四边形 ABCD 中， AB CD ，?? = 10 ， DC  4 ， AD  BC  5 ．点 P 从点 A 出发，以每秒
1个单位长度的速度沿 A  D  C  B 的路径向终点 B 运动，同时点Q 从点 A 出发，以同样速度沿边 AB
向终点 B 运动．设 APQ 的面积为 S ，运动时间为t （ s ），则 S 关于t 的函数图象大致为（）
A.B.C.D.
填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上）
不等式 x 1 0 的解集是．
分解因式： a2  4  ．
要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过 10 次测试，他们的平均成绩都是 89.5 分，方
差分别是 S 2  1.6 ，S 2  2.5 ，S 2  3.58 ，你认为派（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适．
甲乙丙
如图，在 ABCD 中， AB  3 ， AD  2 ，∠??? 的平分线交CD 于点 E，则CE  ．
取一张矩形纸片 ABCD （图 1），按如图 2 所示方式折叠，使点 A 落在CD 上，折痕为 DE ，再按如图
3 所示方式折叠，点C 与点 E 恰好重合，则 AB ．
BC
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，两个反比例函数 y  6 和 y   2 在第二象限内的图象依次为C ，
xx1
C2 ．已知点 P 在C1 上，点 A，B 在C2 上，且 PA  x 轴， PB  y 轴，则四边形???? 的面积为．
若 a、b、c 是三个不为零的实数，且?2 = ?? ，则?2−?2的最小值为 ．
?2
如图，菱形 ABCD 中，∠??? = 60° ，?? = 6 ，点 P 在边CD 上，且?? = 2 ，Q 为边 BC 上的动点，点 C 关于 PQ 的对称点为C ．若△ ?′?? 、△ ?′?? 的面积分别记为?△????、?△????，则?△???? − ?△????的最大值为 ．
解答题（本大题共 11 小题，共 102 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
 
 3 
1
计算 3 2 3  2026  π0   1  ．
解方程 x  x 1  8x  8 ．
先化简
a  2 a
 a2  4a  4
a2  a
，再从3 ，−1 ， 2 中选取一个合适的数代入求值．
如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD ， BC 上，且 BE  DF ．求证：四边形 BFDE 是平行四边形．
6 月 5 日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市
的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内 30 天的空气质量，并对空气质量指数
W  进行了统计分析．
【收集数据】
43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92
60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60
【整理数据】
空气质量
频数（天数）
频率
优
12
0.4
良
a
0.5
轻微污染
3
b
合计
30
1.0
规定：W  50 时，空气质量为优；50  W 100 时，空气质量为良；100  W 150 时，空气质量为轻微污染．
【分析数据】
此组数据的平均数是62.5，众数是 c ，中位数是 60．
【解决问题】
填空： a  ， b  ，? =；
请估计该城市这一年（365 天）中有多少天空气质量达到优；
根据上述统计分析情况，写一条你的想法．
我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅 IP 形象．小明将关于地域特产的 4个 IP 形象（A 云雾茶、B 豆丹、C 沙光鱼、D 东海水晶），制作成 4 个玩具盲盒，每个盲盒中只有 1 个 IP 形象玩具．
若从这 4 个盲盒中随机抽取 1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是（填序号）；
①必然事件②随机事件③不可能事件
若从这 4 个盲盒中随机抽取 2 个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的概率．
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的顶点分别为 A6, 0 ， B 10, 0 ， C 4,10 ，
D 0, 8 ．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
在CD 边上作一点 P，使 PA  PB ，此时点 P 的坐标为；
在 BC 边上作一点 Q，使△QAD 和 QOB 的面积相等．
某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买
100 亩，价一万．其大意为：今有好田 1 亩价值 300 钱；坏田 7 亩价值 500 钱．今买好田、坏田共 100 亩，价值 10000 钱．
求好田、坏田各买了多少亩？
现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少 50 亩，好田的总产量为3000 kg ，坏田的总产量为 6000 kg ，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的 3 倍，求好田的平均亩产量？
【生活观察】
小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图 1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图 2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的
圆心的距离）?? = 1.5m ，前轮转向角 即∠??? = 30° ，则旋转半径OB  m ．
【类比探究】
小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图 3，某款家用汽车宽 AB 约为2m ，轴心距 BC 约为3m ．转弯时，若右前轮的转向角 即∠??? = 20.6° ，
求此时左前轮的转向角∠??? 的度数．
（参考数据：tan20.6° ≈ 3，tan26.6° ≈ 1，sin20.6° ≈ 9 ，tan33.6° ≈ 2，tan18.5° ≈ 1）
822533
【综合实践】
如图 4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C ， D 与直角拐
点Q 共线位置时，其俯视图如图 5 所示．若路宽均为5m ，车辆左侧与实线 PQ 的距离为1m．现右前轮欲以固定转向角 转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin? 的范围．
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y   x  m2  m （m 为常数）与 x 轴交于点 A，B，点 A 位于点 B
的左侧，与 y 轴交于点 C．若将抛物线向右平移 1 个单位，或向左平移 3 个单位，都经过点3, 0 ．
直接写出抛物线和直线 BC 对应的函数表达式；
若平行于 x 轴的直线 l 与抛物线交于点 M  x1 , y1  ， N  x2 , y2  ，与直线 BC 交于点Q  x3 , y3  ，且
x  x  x ，求 x2  x2  x2 的取值范围；
132
123
设抛物线的顶点为 D，连接 AC ，在 x 轴上找一点 P，使以点 P，B，D 为顶点的△ ??? 与 ABC 相似，求点 P 的坐标．
【问题情境】
在锐角 ABC 中，求作一点 P，使?? + ?? + ?? 的值最小．下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理．
如图 1，以 AC 为边向外作等边三角形 ACD ，再作△ ??? 的外接圆 O ，连接 BD ，
与 O 交于点 P．则点 P 即为求作的点．
在 PD 上取一点 P，使??′ = ?? ，连接??′，在 O 中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠???′ = ① = 60° ，故△ ???′是等边三角形．所以?? = ??′．
进而可证得△ ???′ ≌△ ??? ．所以?? = ??′．所以?? + ?? + ?? = ?? + ??′ + ?′? = ?? ．
由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，
BD 的长即为?? + ?? + ?? 的最小值．
【方法迁移】
如图 2，已知点 A，B 到直线 l 的距离?? = ?? = 4 ，?? = 6 ．在图中找一点 P，使点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值．
【拓展应用】
如图 3，若村庄 A，B，C，D 的连线构成一个矩形，且 AB  a ，?? = ? （? < ? < √3? ）．
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含 a，b 的代数式表示）．
数学试题
选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上）
6 的相反数是（）
1
6
【答案】D
 1
6
6D. 6
【解析】
【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，数a 的相反数是a ，
∴ 6 的相反数为6 ．
下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B、C、D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
2026 年“五一”假期期间，我市接待游客突破 608 万人次，同比增长20.51% ．数据“608 万”用科学记数法可表示为（）
608104
6.08  105
6.08106
0.608107
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的形式为? × 10?，其中1  a  10 ， n 为整数，解题时先将单位“万”转换为普通数字再进行表示即可．
【详解】解：∵ 608万 6080000 ，
将6080000 写成? × 10?（1  a  10 ， n 为整数）的形式，可得a  6.08 ，小数点向左移动了6 位，
∴ n  6 ，即6080000  6.08106 ．
如图，数轴上的点 A，B，C 分别对应实数 a，b，c．下列结论正确的是（）
a  c
b  c
a  b
c  a  b
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴可知： a  b  0  c ， a  b  c ，即可判断选项A，B，C，根据 a  b  a  b  c
即可判断选项D．
【详解】解：根据数轴可知： a  b  0  c ， a  b  c ，
故A 选项错误，B 选项正确，C 选项错误，
∵ a  b  a  b  c ，
∴D 选项错误．
9
已知 p  5 ，以下对 p 的值估算正确的是（）
3  p  4
4  p  5
5  p  6
6  p  7
【答案】C
【解析】
【分析】先化简 p ，再估算无理数√5的取值范围，即可推得 p 的范围，得到正确结果．
9
【详解】解： p 9  5 ，且 3
5
 p  3 ，
，即2 < √5 < 3 ，
4 5
9
5
不等式三边同时加3 ，得2  3  3  3  3，即5  p  6 ．
如图，扇形OAB ，点 C 在 AB 上．若AOB  60，则ACB 的度数是（）
A. 150°B. 140C. 130°D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】连接OC ，则OA  OC  OB ，根据等边对等角与三角形内角和定理得到
ACO  90  1 AOC ， BCO  90  1 BOC ，根据ACB  ACO BCO 即可求出ACB
22
的度数．
【详解】解：连接OC ，则OA  OC  OB ，
∴ ACO  OAC  1 180 AOC   90 1 AOC ，
22
BCO  OBC  1 180 BOC   90 1 BOC ，
22
∴ ACB  ACO  BCO  90 1 AOC  90 1 BOC  180 1 AOC  BOC
222
 180 1 AOB  180 1  60  150 ．
22
下列命题为真命题的是（）
①若?2 = ?2，则? = ? ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是 5 的整数，能被 5 整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等．
A. ①②⑤B. ③④C. ④⑤D. ①③
【答案】B
【解析】
【详解】解：逐个判断命题：
①若?2 = ?2，则a  b ，例如? = 2 ， b  2 满足?2 = ?2但a  b ，①是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题；
③末尾数字是 5 的整数可表示为10k  5  52k 1
，其中k 为整数，该数是 5 的倍数，能被 5 整除，③
是真命题；
④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题；
综上真命题为③④．
如图，四边形 ABCD 中， AB CD ，?? = 10 ， DC  4 ， AD  BC  5 ．点 P 从点 A 出发，以每秒
1个单位长度的速度沿 A  D  C  B 的路径向终点 B 运动，同时点Q 从点 A 出发，以同样速度沿边 AB
向终点 B 运动．设 APQ 的面积为 S ，运动时间为t （ s ），则 S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点C, D 分别作 AB 的垂线，垂足分别为 F , E ，先求得 DE  4 ，sinA  sinB  4 ，根据三角形
5
的面积公式，分成当 P 在 AD 上时，即0  t  5 时，当 P 在CD 上时，即5  t  9 时，当 P 在?? 上且Q未到达 B 时，即9  t  10时，当 P 在?? 上且Q 到达 B 后，即10  t 14 时，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解．
【详解】解：如图，过点C, D 分别作 AB 的垂线，垂足分别为 F , E ，
∴∠??? = ∠??? = 90° ，
∵ AB CD ，即 EFCD ，
∴∠??? = 90° ，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90° ，
∴四边形CDEF 是矩形，
∴ EF  CD  4 ， AED  BFC  90，?? = ?? ，
∵ AD  BC  5 ，
∴ ADE≌ BCF  HL ，
∴ AE  BF  1  AB EF   3 ，
2
∵ AD  5，
AD2  AE2
在 Rt ADE 中， DE 
∴ sinA  sinB  4 ，
5
过点 P 作 PM  AB 于点 M ，
 4 ，
当 P 在 AD 上时，即0  t  5 时，如图所示，
∴ PM  APsinA  4 t ，
5
∴ S  1 AQ  PM  1 t  4 t  2 t2 ，函数图象为开口向上的抛物线，C，D 不符合题意；
2255
当 P 在CD 上时，即5  t  9 时，
∴ PM  DE  4，
∴ S  1 AQ  PM  1 t  4  2t ，函数图象为直线的一部分，
22
当 P 在?? 上且Q 未到达 B 时，即9  t  10时，
∴ BP  AD  DC  CB t 14 t ，
∴ PM  PBsinB  4 14 t  ，
5
∴ S  1 AQ PM  1 t  4 14 t    2 t2  28 t ，函数图象为开口向下的抛物线，故B 不符合题意；
22555
当 P 在?? 上且Q 到达 B 后，即10  t 14时，
∴ S  1 AB  PM  1 10 4 14 t   4t  56 ，函数图象为直线的一部分，故A 符合题意．
225
填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上）
不等式 x 1 0 的解集是．
【答案】 x  1
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，本题是一元一次不等式基础型，只需要进行移项，注意移项时该项的符号要改变．
【详解】解： x 1 0 ，
移项，得： x  1．故答案是： x  1．
分解因式： a2  4  ．
【答案】a  2a  2
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解： a2  4  a  2a  2 ，
故答案为： a  2a  2 ．
要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过 10 次测试，他们的平均成绩都是 89.5 分，方
差分别是 S 2  1.6 ，S 2  2.5 ，S 2  3.58 ，你认为派（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适．
甲乙丙
【答案】甲
【解析】
【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，比较三人方差的大小即可得出
结论．
甲
乙
丙
【详解】解：∵三人的平均成绩都是89.5 分，方差分别是 S 2  1.6 ， S 2  2.5 ， S 2  3.58 ，
1.6  2.5  3.58 ，
甲的方差最小，甲的成绩最稳定，故派甲去参赛更合适．
如图，在▱???? 中， AB  3 ， AD  2 ，∠??? 的平分线交CD 于点 E，则CE  ．
【答案】1
【解析】
【分析】利用平行四边形对边平行且相等结合角平分线定义即可求解．
【详解】四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ?? ∥ ?? ，?? = ?? = 3 ，
EAB  DEA ，
EA平分DAB ，
DAE  EAB ，
DAE  DEA，
AD  DE  2 ，
EC  CD  DE 1．
取一张矩形纸片 ABCD （图 1），按如图 2 所示方式折叠，使点 A 落在CD 上，折痕为 DE ，再按如图
3 所示方式折叠，点? 与点 E 恰好重合，则 AB ．
BC
2
【答案】
【解析】
【分析】设?? = ?? = ? ，根据折叠的性质、矩形的性质可判断 ADE 是等腰直角三角形，则可得
DE 2AD 2a ，根据折叠的性质得出CD  DE 2a ，即可求解．
【详解】解：设?? = ?? = ? ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ A  ADC  90，
根据图 2 可得ADE  FDE  1 ADF  45，
2
∴ ADE 是等腰直角三角形，
∴ DE 2AD 2a ，
根据图 3 可得CD  DE 
2a ，
2a
2
∴ AB  CD .
BCBCa
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，两个反比例函数 y  6 和 y   2 在第二象限内的图象依次为C ，
xx1
C2 ．已知点 P 在C1 上，点 A，B 在C2 上，且 PA  x 轴， PB  y 轴，则四边形???? 的面积为．
【答案】4
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到 S AEO  S OBF
 1, S四边形PEOF
 6, 即可求出答案．
【详解】解：如图，
由反比例函数比例系数的几何意义可得， S
AEO  S OBF
 1  2  1, S 2
四边形PEOF
 6  6,
∴四边形???? 的面积为 S四边形PEOF  S AEO  S OBF
 6 11  4 ．
若 a、b、c 是三个不为零的实数，且?2 = ?? ，则?2−?2的最小值为．
?2
【答案】− 1##−0.25
4
【解析】
【分析】利用已知条件?2 = ?? 对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可．
【详解】解：∵ ?2 = ?? ，且 a, b, c 都不为0 ，
∴ ?? ≠ 0 ，
c2  a2
c2  bcc2
bc c 2c

b2b2

b2b2
    ，
b
b
设? = ?则t  0 ，原式= ?2 − ? = (? − 1
2 − 1，
?
)
24
1 2
2
 t  

 0 ，
1
1
 1 211
2
 t  

   ，当? = 时，原式取得最小值− ，
4424
即?2−?2的最小值为− 1．
?24
如图，菱形 ABCD 中，∠??? = 60° ，?? = 6 ，点 P 在边CD 上，且?? = 2 ，Q 为边 BC 上的动点，点 C 关于 PQ 的对称点为?′．若△ ?′?? 、△ ?′?? 的面积分别记为?△????、?△????，则?△???? − ?△????的最大值为 ．
【答案】6
【解析】
【分析】根据?△???? − ?△???? = ?△??? − ?△????得出当?△????最小时，即?′? 最小时，?△???? − ?△????最大，再根据??′ + ?′? ≥ ?? 得出?′?最小 = ?? − ??′ = 3√3 − 2 ，由此即可求解．
【详解】解：过点 D 作?? ⊥ ?? ，垂足为 F ，过点 P 作?? ⊥ ?? ，垂足为 H ，过点?′作?′? ⊥ ?? ，垂足为G ，
∵?△???? + ?△???? − ?△??? = ?△????，
∴?△???? − ?△???? = ?△??? − ?△????，
∵菱形 ABCD 中，∠??? = 60° ，?? = 6 ，
∴?? = ?? = ?? = 6 ，∠??? = ∠??? = 60° ，
∴?? = ??sin∠??? = 6sin60° = 3√3，
?1
∴ △??? = 2 × 6 × 3√3 = 9√3．
∴?△???? − ?△???? = 9√3 − ?△????，
1′1′′
又∵?△???? = 2 ?? ⋅ ? ? = 2 × 6? ? = 3? ? ，
∴当?△????最小时，即?′? 最小时，?△???? − ?△????最大，由对称可知：??′ = ?? = 2 ，
∴ C 在以 P 为圆心2 为半径的圆弧上运动，
∵?? ⊥ ?? ，
∴??′ + ?′? ≥ ?? ，
∴当?′在线段 PH 上时，?′? 取最小值，最小值?′? = ?? − ??′，又∵?? ∥ ?? ，
∴?? = ?? = 3√3，
∴?′?最小 = ?? − ??′ = 3√3 − 2 ，
∴?△????的最小值= 3?′? = 3 × (3√3 − 2) = 9√3 − 6 ，
∴?△???? − ?△????的最大值为= 9√3 − (9√3 − 6) = 6 ．
【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出?△???? − ?△???? = ?△??? − ?△????，将面积差最大问题转化为?△????最小，即?′? 最小．
解答题（本大题共 11 小题，共 102 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
 
 3 
1
计算 3 2 3  2026  π0   1  ．
【答案】0
【解析】
【分析】根据( 3 2)3  2,(2026   )0 
【详解】解：原式 2 1 3  0 ．
解方程 x  x 1  8x  8 ．
【答案】 x1  8 ，?2 = 1
【解析】
1, () 3 ，再计算即可．
1 1
3
【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可．
【详解】解： x  x 1  8x  8 ，
x  x 1  8 x 1  0 ，
 x  8 x 1  0 ，
x  8  0或 x 1  0 ，
 x1  8 ，?2 = 1 ．
先化简
a  2 a
 a2  4a  4
a2  a
，再从3 ，−1 ， 2 中选取一个合适的数代入求值．
a  1
【答案】 a  2 ，当a  3时，原式 4
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a 的值代入进行计算即可．
【详解】解：
a  2
 a2  4a  4
aa2  a
 a 2  a a 1
aa 22
 a  1 ．
a  2
要使原式有意义，需满足得 a  0 ， a2  a  0 且
a2  4a  4  0 ，
a  0 ， a  1 且
选取a  3．
a  2 ，
当 a  3时，原式 3 1  4 ．
3  2
如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD ， BC 上，且 BE  DF ．求证：四边形 BFDE 是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
 AB  CD, AD  BC ， A  C  90 ．又 BE  DF ，
∴ Rt △ ??? ≌ Rt △ ???(HL)．
∴ ?? = ?? ，
∵ ?? = ?? ，
∴ ?? − ?? = ?? − ?? ．即?? = ?? ．
∴四边形 BFDE 是平行四边形．
【解析】
【分析】根据矩形性质结合 BE  DF 证明 RtABE≌RtCDF HL ，继而可得?? = ?? ，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】略
6 月 5 日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市
的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内 30 天的空气质量，并对空气质量指数
W  进行了统计分析．
【收集数据】
43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92
60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60
【整理数据】
空气质量
频数（天数）
频率
优
12
0.4
良
a
0.5
轻微污染
3
b
合计
30
1.0
规定：W  50 时，空气质量为优；50  W 100 时，空气质量为良；100  W 150 时，空气质量为轻微污染．
【分析数据】
此组数据的平均数是62.5，众数是 c ，中位数是 60．
【解决问题】
填空： a  ， b  ，? =；
请估计该城市这一年（365 天）中有多少天空气质量达到优；
根据上述统计分析情况，写一条你的想法．
【答案】（1）15， 0.1 ，60
146 天
该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据频数总和等于总样本数、频率总和为1、众数的定义逐个求解即可；
利用一年总天数乘以样本中空气质量为优的频率即可；
根据统计结果提出合理结论即可．
【小问 1 详解】
解：由题意得： a  30 12  3 15 ，
b 1 0.4  0.5  0.1，
在这组数据中，60 出现的次数最多，
∴其众数c  60 ．
【小问 2 详解】
解： 3650.4 146 （天），
答：估计该城市这一年（365 天）中有 146 天空气质量达到优．
【小问 3 详解】
解：该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）．
我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅 IP 形象．小明将关于地域特产的 4个 IP 形象（A 云雾茶、B 豆丹、C 沙光鱼、D 东海水晶），制作成 4 个玩具盲盒，每个盲盒中只有 1 个 IP 形象玩具．
若从这 4 个盲盒中随机抽取 1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是（填序号）；
①必然事件②随机事件③不可能事件
若从这 4 个盲盒中随机抽取 2 个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东
海水晶”的概率．
【答案】（1）②（2） 1
6
【解析】
【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案；
（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问 1 详解】
解：从这 4 个盲盒中随机抽取 1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是：随机事件；
【小问 2 详解】
解：树状图如图所示：
由图可以看出一共有 12 种等可能结果，
其中抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的结果有 2 种．
P
（抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”）= 2
12
= 1． 6
答：抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的概率是 1 ．
6
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的顶点分别为 A6, 0 ， B 10, 0 ， C 4,10 ，
D 0, 8 ．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
在CD 边上作一点 P，使 PA  PB ，此时点 P 的坐标为；
在 BC 边上作一点 Q，使△QAD 和 QOB 的面积相等．
【答案】（1）如图所示，点 P 的坐标为
2, 9
（2）如图 2 所示．
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得 P 在直线 x  2 上，进而待定系数法求得直线CD 的解析式，令 x  2 ，即可求解；
（2）根据题意得出Q 为DAB 的角平分线与 BC 的交点，即可求解．
【小问 1 详解】
解：∵ A6, 0 ， B 10, 0
∴ P 在直线 x  6 10  2 上，
2
设直线CD 的解析式为 y  kx  b ，代入C 4,10 ， D 0, 8
4k  b  10
k  1

∴
b  8

，解得； 2
b  8
∴直线CD 的解析式为 y  1 x  8
2
当 x  2 时， y  1  2  8  9
2
∴ P 2, 9 ；
【小问 2 详解】
解：如图，
∵ A6, 0 ， B 10, 0 ， D 0, 8
∴ OA  6, OD  8, OB  10
AO2  OD2
∴ AD 
∴ AD  OB
 10
设Q 到 AD 的距离为h1 ， Q 到 AB 的距离为 h2
∵△QAD 和 QOB 的面积相等
∴ 1 10 h  1 10 h
2122
∴ h1  h2
∴ Q 在DAB 的角平分线上，作DAB 的角平分线交 BC 于点Q ，即为所求．
某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买
100 亩，价一万．其大意为：今有好田 1 亩价值 300 钱；坏田 7 亩价值 500 钱．今买好田、坏田共 100 亩，价值 10000 钱．
求好田、坏田各买了多少亩？
现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少 50 亩，好田的总产量为3000 kg ，坏田的总产量为 6000 kg ，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的 3 倍，求好田的平均亩产量？
【答案】（1）好田买了25亩，坏田买了175 亩
22
（2）好田的平均亩产量是300 kg
【解析】
【分析】（1）设好田有 x 亩，则坏田有(100 − ?)亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设坏田平均亩产量为 y kg ，则好田平均亩产量是3 y kg ，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
【小问 1 详解】
解：设好田有 x 亩，则坏田有(100 − ?)亩．
根据题意，得300x  500 100  x  10000 ． 7
解这个方程，得 x  25 ．100  x  175 ．
22
25175
答：好田买了
2
亩，坏田买了亩．
2
【小问 2 详解】
设坏田平均亩产量为 y kg ，则好田平均亩产量是3 y kg ．
根据题意，得 3000  50  6000 ．
3yy
解方程，得 y  100 ．
经检验， y  100 是所列方程的解．所以有3 y  300 ．答：好田的平均亩产量是300 kg ．
【生活观察】
小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图 1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图 2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的
圆心的距离）?? = 1.5m ，前轮转向角 即∠??? = 30° ，则旋转半径OB  m ．
【类比探究】
小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图 3，某款家用汽车宽 AB 约为2m ，轴心距 BC 约为3m ．转弯时，若右前轮的转向角 即∠??? = 20.6° ，
求此时左前轮的转向角∠??? 的度数．
（参考数据：tan20.6° ≈ 3，tan26.6° ≈ 1，sin20.6° ≈ 9 ，tan33.6° ≈ 2，tan18.5° ≈ 1）
822533
【综合实践】
如图 4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心? ， D 与直角拐
点Q 共线位置时，其俯视图如图 5 所示．若路宽均为5m ，车辆左侧与实线 PQ 的距离为1m．现右前轮欲以固定转向角 转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin? 的范围．
【答案】（1）3（2）此时左前轮的转向角∠??? 的度数约为26.6°
（3）3 < sin? < 3√58
858
【解析】
【分析】（1）根据题求得∠??? = 30° ，根据含 30 度角的直角三角形的性质，即可求解；
先求得OB  8m ，进而解Rt △ ??? 得出AOD  26.6，根据等角的余角相等得出
GDH  AOD  26.6，即可求解；
分两种情况讨论，分别求得 的最小值和最大值，再求正弦，即可求解．
【小问 1 详解】
解：依题意， OB  BD ，∠??? = 30°
∴∠??? = 90° − ∠??? = 90° − 30° = 60°
∵?? ⊥ ??
∴∠??? = 90° − ∠??? = 90° − 60° = 30°
∵?? = 1.5m
∴?? = 3m
【小问 2 详解】
解：由题意得?? ⊥ ?? ，?? ⊥ ?? ，?? ⊥ ?? ，?? ⊥ ??
ECF  OCB  90, COB  OCB  90 ，
COB  ECF  20.6.
在Rt △ ??? 中， tanCOB  CB
OB
tan20.6  3
OB
 3  3
8OB
解得： OB  8m
OA  OB  AB  8  2  6m
在Rt △ ??? 中, tanAOD  AD
OA
tanAOD  3  1
62
AOD  26.6
AOD  ADO  90， GDH ADO  90，
GDH  AOD  26.6.
答：此时左前轮的转向角∠??? 的度数约为26.6.
【小问 3 详解】
解：如图，连接?? ，设OA ， PQ 交于点 M ，
当 最大时， A 点经过Q 点，此时?? = ?? = 1
依题意，∠??? = ∠??? = ? ，
设?? = ? ，则?? = ? − 1 ，?? = ?? = 3
在Rt △ ??? 中，??2 = ??2 + ??2
∴?2 = (? − 1)2 + 32
解得： r  5
∴?? = ?? + ?? = 5 + 2 = 7 ， BC  3,
在Rt △ ??? 中，?? = √??2 + ??2 = √32 + 72 = √58
∴ sin  sinECF  sinCOB  CB  3 58
OC58
当 最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点O 作ON 垂直于道路右侧
设道路宽为l ，依题意，? = 5
∴?? = ?? = ? + ?? = 5 + 3 = 8
∴sin? = sin∠??? = sin∠??? = ?? = 3
??8
综上所述，3 < sin? < 3√58
858
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y   x  m2  m （m 为常数）与 x 轴交于点 A，B，点 A 位于点 B
的左侧，与 y 轴交于点 C．若将抛物线向右平移 1 个单位，或向左平移 3 个单位，都经过点3, 0 ．
直接写出抛物线和直线 BC 对应的函数表达式；
若平行于 x 轴的直线 l 与抛物线交于点 M  x1 , y1  ， N  x2 , y2  ，与直线 BC 交于点Q  x3 , y3  ，且
x  x  x ，求 x2  x2  x2 的取值范围；
132
123
设抛物线的顶点为 D，连接 AC ，在 x 轴上找一点 P，使以点 P，B，D 为顶点的△ ??? 与 ABC 相似，求点 P 的坐标．
【答案】（1） y   x  42  4  x2  8x 12 ； y  2x 12
123
60  x2  x2  x2  76
点 P 的坐标为 14 , 0 或9, 0
 3

【解析】
【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点3, 0 分别代入两次平移后的解析式，解出 m 的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出 BC 解析式即可．
设直线 l：? = ? ，根据已知条件得出 a 的取值范围，再联立直线 l 与抛物线和直线 BC ，得出
x2  x2  2a 24  8 x  x ，根据抛物线可知? + ? = 8 代入x2  x2  2a 24  8 x  x ，最后得
1212121212
出 x2  x2  x2  1 a 82  60 ，最后由二次函数的图象和性质求解即可．
1234
连接 BD ，过点 D 作 DE  x 轴，垂足为 E．根据正切的定义得出∠??? = ∠??? ，进而可得出点 P在点 B 的左侧．则存在△ABC ∽ △PBD 或△ABC∽△DBP ．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案．
【小问 1 详解】
解：将抛物线向右平移 1 个单位后的解析式变成： y   x 1 m2  m ，将点3, 0 代入 y   x 1 m2  m 得： 0  3 1 m2  m ，
解得m  1或 m  4 ，
将抛物线向左平移 3 个单位后的解析式变成： y   x  3 m2  m ，将点3, 0 代入 y   x  3 m2  m 得： 0  3  3 m2  m ，
解得m  4 或? = 9 ，
∴公共解为m  4 ，
把 m  4 代入 y   x  m2  m ，
得出抛物线对应的函数表达式为 y   x  42  4  x2  8x 12 ；令 y  0 ，
则0  x2  8x 12 ， 解得?1 = 2 ， x2  6 ，
∴?(2,0)，?(6,0)， 令 x  0 ，则 y  12 ，
∴?(0,12)，
设 BC 的解析式为 y  kx  b ，

6k  b  0
则，
b  12

k  2
解得
b  12
∴直线 BC 对应的函数表达式为 y  2x 12 ．
【小问 2 详解】
解：如图 1，设直线 l：? = ? ，
x1  x3  x2 ，?(0,12)，
0  a 12 ．
∵直线 l 与抛物线和直线 BC 都相交，
x2  8x 12  a,
 11
22
∴可列方程x2  8x 12  a,
2x 12  a.
3
得 x2  x2  8 x  x   24  2a ．
1212
 x2  x2  2a 24  8 x  x  ，
1212
∵抛物线的对称轴是 x  4 ，
 x1  x2  8 ，
12
 x2  x2  2a  40 ．又 x  6  a ，
32
a 212
123
 x2  x2  x2  2a  40   6   
2
a 8
4
 60 ．

∵ 1  0 ， 4
∴抛物线开口向上，
又 0  a 12 ，
∴当 a  8 时，y 取得最小值为 60，当a  0 时，y 取得最大值为 1 0  82  60  76 ，
4
60  1 a 82  60  76 ． 4
123
即60  x2  x2  x2  76 ．
【小问 3 详解】
解：如图 2，连接 BD ，过点 D 作 DE  x 轴，垂足为 E．
∵抛物线 y   x  42  4 ，
∴顶点 D 4, 4 ．
4  62  4  02
∴ BD 
5
 2，
0  62  12  02
由（1）可知， OC 12 ，?? = 6 ， DE  4 ， BE  2， AB  4 ， BC 
5
∵ tan ABC  12  2 ， tan DBE  4  2
 6，
62
tanABC  tanDBE  2，
ABC  DBE ．
PBD 与 ABC 相似，
∴点 P 在点 B 的左侧．
∴存在△ABC ∽ △PBD 或△ABC∽△DBP ．当△ABC ∽ △PBD 时，
则 AB  PB ，
BCBD
4
6 5
得
 PB
2 5
PB  4 ．
3
∴点 P  14 , 0  ．
 3

当△ABC∽△DBP 时，有 AB  DB ，
BCBP
6 5
2 5
得 4
PB
PB 15，
∴点 P 9, 0 ．
综上，使△ ??? 与 ABC 相似的点 P 的坐标为 14 , 0  或9, 0 ．
 3

【问题情境】
在锐角 ABC 中，求作一点 P，使?? + ?? + ?? 的值最小．下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理．
如图 1，以 AC 为边向外作等边三角形 ACD ，再作△ ??? 的外接圆 O ，连接 BD ，
与 O 交于点 P．则点 P 即为求作的点．
在 PD 上取一点 P，使??′ = ?? ，连接??′，在 O 中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠???′ = ① = 60° ，故△ ???′是等边三角形．所以?? = ??′．
进而可证得△ ???′ ≌△ ??? ．所以?? = ??′．所以?? + ?? + ?? = ?? + ??′ + ?′? = ?? ．
由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，
BD 的长即为?? + ?? + ?? 的最小值．
【方法迁移】
如图 2，已知点 A，B 到直线 l 的距离?? = ?? = 4 ，?? = 6 ．在图中找一点 P，使点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值．
【拓展应用】
如图 3，若村庄 A，B，C，D 的连线构成一个矩形，且 AB  a ，?? = ? （? < ? < √3? ）．
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含 a，b 的代数式表示）．
【答案】（1）①∠??? ；②两点之间线段最短
（2）作法：如图，连接 AB ，在 AB 上方作等边三角形 ABD，再作 ABD 的外接圆，过点 D 作?? ⊥ ? ，垂足为 M， DM 交 AB 于 N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点．
点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和最小值为3√3 + 4 ；
（3）管道路线总长度最短为? + √3? ．
ABM
设计方案：如图所示，分别以边 AB 和边CD 向矩形外侧作等边三角形??? 和等边三角形??? ，再作和△ ??? 的外接圆．连接 M，N，分别交两圆于点 P1 和点 P2 ，其中铺设路线为??1，??1，??2，
??2，?1?2．
【解析】
【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解；
连接 AB ，在 AB 上方作等边三角形 ABD，再作 ABD 的外接圆，过点 D 作?? ⊥ ? ，垂足为 M，
DM 交 AB 于 N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点．证明四边形???? 是平行四边形，利用平行，可证
?? ⊥ ?? ，根据等边三角形的性质，可求得∠??? = 30° ，证明出?? 是外接圆的直径，接着证明此时
?? + ?? + ?? = ?? 达到最小，再解Rt △ ??? ，求得?? 、?? ，得出答案；
ABM
分别以边 AB 和边CD 向矩形外侧作等边三角形??? 和等边三角形??? ，再作
和△ ??? 的
外接圆，连接 M，N，分别交两圆于点 P1 和点 P2 ，结合（2）可得出?? 的长即为管道路线总长度的最小值，
即可求解．
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】
作法：如图 1，连接 AB ，在 AB 上方作等边三角形 ABD，再作 ABD 的外接圆，过点 D 作?? ⊥ ? ，垂足为 M， DM 交 AB 于 N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点．
∵?? ⊥ ?, ?? ⊥ ? ，
∴?? ∥ ?? ，
∵ AE  BF ，
∴四边形???? 是平行四边形，
∴?? ∥ ?? ，?? = ?? = 6 ，又?? ⊥ ? ，即∠??? = 90° ，
∴∠??? = ∠??? = 90° ，
∵?? ∥ ?? ，?? ⊥ ? ，?? = 4 ，?? ⊥ ? ，
∴?? = ?? = 4 ，
∵三角形??? 是等边三角形，?? = ?? ，∠??? = 90° ，
∴∠??? = ∠??? = 30° ，∠??? = 60° ，
∵∠??? = ∠??? = 30° ，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 90° ，
∴ PD 为 ABD 的外接圆的直径，
∵∠??? = 90° ，∠??? = 30° ，
∴?? =
1 ?? ，同理?? =
2
1 ?? ，
2
∴此时?? + ?? + ?? =
1 ?? +
2
1 ?? + ?? = ?? + ?? = ?? ，
2
∴此时点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和达到最小，最小值为 DM 的长．
∵△ ??? 是等边三角形，
2
∴ ∠??? = 60° ，?? = ?? = 6 ．
在Rt △ ??? 中，?? = ?? ⋅ sin∠??? = 6 × sin60° = 6 × √3 = 3√3，
∴ ?? = ?? + ?? = 3√3 + 4 ．
∴点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和最小值为3√3 + 4 ．
【小问 3 详解】
ABM
解：如图所示，分别以边 AB 和边CD 向矩形外侧作等边三角形??? 和等边三角形??? ，再作和
△ ??? 的外接圆．连接 M，N，分别交两圆于点 P1 和点 P2 ，连接??1，??1，??2，??2，设 MN 交 AB 于点 E ，交CD 于点 F ，其中铺设路线为??1，??1，??2，??2，?1?2．
211
由（ ）可知，?? ⊥ ??, ?? ⊥ ?? ，??1 = ??1 = 2 ??1，??2 = ??2 = 2 ?2? ，?? = ?? = ? ，
∴铺设的管道长度为：??1 + ??1 + ?1?2 + ??2 + ??2 = ??1 + ?1?2 + ?2? = ?? ，
∴此时管道长度达到最小，最小值为 MN ，
∵三角形??? 为等边三角形， AB  a ，
∴∠??? = 60° ，?? = ? ，
∵?? ⊥ ?? ，
∴?? = ??sin60° = √3 ? ，同理可求得?? 为√3 ? ，
22
∴?? = ?? + ?? + ?? = 2 × √3 ? + ? = √3? + ? ，
2
∴管道路线总长度的最小值为? + √3? ．