2026年江苏省苏州市中考数学真题试卷（真题+答案）

这是一份2026年江苏省苏州市中考数学真题试卷（真题+答案），共6页。试卷主要包含了9% ，比上年提高0，305106，05106等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
2026 年苏州市初中学业水平考试试卷数学
本试卷共 27 小题，满分 130 分，考试时间 120 分钟；
答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；
考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．
选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答．题．卡．相．对．应．的．位．置．上．．
2 的相反数为（）
2B. 2
1
2
 1
2
根据苏州市统计局公报显示，截止 2025 年末，苏州市常住人口约 1305 万人，比上年末增长0.5% ，
常住人口城镇化率达82.9% ，比上年提高0.2 个百分点．数据“13050000 ”用科学记数法可表示为
（）
1.305106
13.05106
1.305107
13.05107
下列硬纸片可以沿．虚．线．折叠成长方体纸盒的是（）
A.B.
C.D.
一组数据2 ， m ， 3 ， 3 ， 5 的平均数为3 ，则m 的值为（）
A. 5B. 4C. 3D. 2
如图， ABC 中， A  55， ACB  65，延长 BC 至 D，过 C 作CEAB ，则DCE 的度数是
（）
A. 50B. 55C. 60D. 65
若(x  4)2 1   x  m x  n ，其中m  n ，则m n 的值为（）
B. 2C. 3D. 4
《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有 5 只雀，6 只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中 1 只雀和 1 只燕互换位置，则二者轻重相同．已知 5 只雀和 6 只燕总重 1 斤（注：中国古代 1 斤 16 两）．则 1 只雀和 1 只燕分别重多
少？若假设每只雀、燕的重量分别为 x，y 两，根据题意，可列出的方程组为（）
4x  y  5y  x
5x  y  6 y  x
4x  y  5y  x
5x  y  6 y  x
A. 

5x  6 y  16
B. 

5x  6 y  16
C. 

x  y  16
D. 

x  y  16
如图，在矩形 ABCD 中， AB  3 ， BC  2 ，E 是 AB 边上的动点（点 E 在 A，B 之间运动，不与 A， B 重合），过 E 作CE 的垂线交 AD 边于点 F，则 AE  AF 的最大值是（）
21B. 3C. 25
88
D. 27
8
填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．把答案直接填在答．题．卡．相．对．应．的．位．置．上．．
若 x 3 有意义，则 x 的取值范围是．
点 P 2, a  在一次函数 y  2x 1的图像上，则 a 的值为．
一只不透明的袋子中装有 4 个白球、3 个黄球和 n 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n 的值可以是．（填写一个符合要求的正整数即可）
若2x  y  2  0 ，则代数式 x  1 y  3 的值为．
2
如图， Rt ABC 中， ACB  90 ， BC  6 ，分别以点 A ， B 为圆心，大于 1 AB 的长为半径画
2
弧，两弧相交于点 D ， E ．过 D ， E 两点作直线，分别交 AB ， AC 于点 F ， G ，连接CF ．若
CF  5，则 AG  ．
苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由 ABC ，线段CD ，
DE ， EA 四部分构成， AE ， CD 分别垂直于地面l ．经测量，该月洞门的最高点 B 到地面的距离为21
分米， AE  CD  3 分米， DE 12分米，则 ABC 所在圆的半径为分米．
如图，关于 x 的二次函数 y  x2  2mx  m2 1的图像为抛物线C ，直线 y  a 与抛物线C 交于 A ， B 两点，过抛物线C 的顶点作 x 轴的平行线l ，过 A ， B 分别作l 的垂线，垂足为 M ， N ．若四边形
ABNM 为正方形，则a  ．
如图，在等边 ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 边上的点， AB  2 ．将 ADE 沿 DE 翻折得到 ADE ，若点 A恰好落在边 BC 上，则线段 AD 长度的最小值为．
解答题：本大题共11小题，共82 分．把解答过程写在答．题．卡．相．对．应．的．位．置．上．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．
9
计算： (π 1)0  5 ．
2x 1  3x 5

解不等式组：  x 1  x  1
236
x2  2x  1   1  1 

先化简，再求值：
x2 1
 xx  1  ，其中 x  3 ．
为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：
项目
主题
A
红色光影—革命事迹影展
B
红色工坊—袖章主题手作
C
红色出发—重走红色五卅
D
红色讲述—苏州解放故事
乙两位同学分别从A、B、C、D 四个项目中任意选择一个项目参加．
甲同学选择项目C 的概率为；
求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）
如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD ， BC 的中点．
求证：四边形 BFDE 是平行四边形；
若ABC  60 ， AB  4 ， BC  6 ，求 BFDE 的面积．
某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
课外阅读一周累计时长统计表
课外阅读一周累计时长扇形统计图
请根据以上信息，完成下列问题：
上述图表中， m  ， n  ；
组别
累计时长（单位：分）
人数
A
0  t  60
8
B
60  t  120
12
C
120  t  180
25
D
180  t  240
m
E
t  240
6
在扇形统计图中，“C 组”所对应的扇形的圆心角为°；
若该校八年级学生一共有 1020 人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过 120 分钟的学生人数．
如图，一次函数 y  ax  b 的图像经过点 A4, 0 ， B 0, 2 ，点 P 在一次函数的图像上，过点 P 分
别作 x 轴和 y 轴的平行线交反比例函数 y  k (k  0, x  0) 的图像于 M，N 两点，连接 MN ．
x
求 a，b 的值；
若 PMN 是腰长为 3 的等腰直角三角形，求点 P 的坐标和 k 的值．
如图①，点O 位于竖直墙面l 上，平面镜 AB 与墙面l 平行，从点O 射出一束激光，经过平面镜 AB 的反射，在墙面l 上形成一个光点C ， OC 所在直线垂直于水平面．入射光线OP 与平面镜 AB 的夹角
OPA  60 ．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
求证： OPC 是等边三角形；
如图②，将图①中的平面镜 AB 绕点 P 顺时针旋转7.5到 AB位置，入射光线OP 经过平面镜的反射后，在墙面l 上形成光点 E ，点 E 在直线OC 上．
① OPE  °；
②若OC  60 厘米，求光点向下移动的距离CE 的长．（结果保留根号）
如图， P 是以 AB 为直径的 O 外一点， C 为 O 上的一点， PA 是 O 的切线， BC OP ， D 为
OB 的中点，连接 DP 交OC 于 E ．
求证： PC 是 O 的切线；
若OA  2 ， PA  4 ．
①求 BC 的长；
②求tanPEC 的值．
如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口 A，C 的绿灯持续时间为 40
秒，红灯持续时间为 40 秒；路口B 的绿灯持续时间为 30 秒，红灯持续时间为 30 秒．各路口红绿灯随时
间t （秒）的变化情况如图②所示，例如当t  10 时，路口A 为绿灯，路口B 为红灯，路口C 为绿
灯．已知路口A 到路口B，C 的距离分别为 600 米和 1000 米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计）
请根据上述信息，解决下列问题：
甲驾驶汽车在道路上以 15 米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t  0
请判断其是否能不停车通过B 路口，并说明理由；
）通过A 路口，
乙驾驶汽车在道路上以速度v （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起 10 秒时（即t  10 ）通过A
路口，若其能在 100 秒前（含 100 秒，即t  100 ）不停车连续通过B，C 两个路口，求其行驶速度v 的
取值范围；
对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v （米/秒），使得该车在0  20 秒内（含 0 秒和 20 秒）任意
时刻通过A 路口后，都能在 180 秒前（含 180 秒，即t  180 ）不停车连续通过 B，C 两个路口．若存在，请直．接．写．出．v 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）
将一个二次函数 y  ax2  bx  c 与一个一次函数 y  mx  n 求和，可以得到一个新的二次函数 y  ax2  b  m x  c  n，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
若二次函数 y  x2 对一次函数 y  mx  n “吸收”，所得“吸收函数”的图像与 x 轴的交点坐标为
2, 0 ， 4, 0 ，求 m，n 的值；
已知二次函数 y  x2  2x 3 对一次函数 y  mx  n “吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与 y  x2  2x 3 的最小值相等，求 n 的取值范围；
ABM
②若所得“吸收函数”的图像顶点为 M，且与一次函数 y  mx  n 的图像交于 A，B 两点．当的面积为 4 时，求 m 的值．
注意事项：
2026 年苏州市初中学业水平考试试卷数学
本试卷共 27 小题，满分 130 分，考试时间 120 分钟；
答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；
考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．
选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答．题．卡．相．对．应．的．位．置．上．．
2 的相反数为（）
2B. 2
【答案】A
【解析】
1
2
 1
2
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果.
【详解】解： 2 的相反数是2 .
根据苏州市统计局公报显示，截止 2025 年末，苏州市常住人口约 1305 万人，比上年末增长0.5% ，
常住人口城镇化率达82.9% ，比上年提高0.2 个百分点．数据“13050000 ”用科学记数法可表示为
（）
1.305106
13.05106
1.305107
13.05107
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a 10n ，其中1 a 10 ，n 为整数，确定 a 和 n 的值即可求解．
【详解】解：数据“13050000”用科学记数法可表示为1.305107 ．
下列硬纸片可以沿．虚．线．折叠成长方体纸盒的是（）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：选项A，C，D 都不能折叠成长方体盒子，选项B 可以折叠成长方体盒子．
一组数据2 ， m ， 3 ， 3 ， 5 的平均数为3 ，则m 的值为（）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平均数的基础计算，根据平均数的定义列出关于m 的一元一次方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：∵ 这组数据共5 个，平均数为3 ，
∴ 这组数据的总和为 53  15 ，可得方程 2  m  3 3 5 15 ，
化简得 13 m  15 ，
解得 m  2 ．
如图， ABC 中， A  55， ACB  65，延长 BC 至 D，过 C 作CEAB ，则DCE 的度数是
（）
A. 50B. 55C. 60D. 65
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出ACE  55，然后根据DCE 180ACB ACE 求解即可.
【详解】解：∵ A  55， CEAB ，
∴ ACE  A  55 ，又ACB  65，
∴ DCE 180ACB ACE  60.
若(x  4)2 1   x  m x  n ，其中m  n ，则m n 的值为（）
B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合m  n 得到m 和n 的值，即可计算出m  n 的结果．
【详解】解： (x  4)2 12  [  x  4 1]  x  4 1   x  3 x  5
又∵ x  3 x  5   x  m x  n，且m  n ，
∴ m  5 ， n  3 ，
∴ m  n  5  3  2．
《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有 5 只雀，6 只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中 1 只雀和 1 只燕互换位置，则二者轻重相同．已知 5 只雀和 6 只燕总重 1 斤（注：中国古代 1 斤 16 两）．则 1 只雀和 1 只燕分别重多
少？若假设每只雀、燕的重量分别为 x，y 两，根据题意，可列出的方程组为（）
4x  y  5y  x
5x  y  6 y  x
4x  y  5y  x
5x  y  6 y  x
A. 

5x  6 y  16
B. 

5x  6 y  16
C. 

x  y  16
D. 

x  y  16
【答案】A
【解析】
【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案．
【详解】解：设每只雀重量为 x 两，每只燕重量为 y 两
∵5 只雀和 6 只燕总重 1 斤，且 1 斤=16 两，
∴可得方程5x  6 y  16
将 1 只雀和 1 只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为 4 只雀加 1 只燕，另一边为 5 只燕加 1 只雀，
∴可得方程 4x  y  5 y  x ,
4x  y  5y  x
因此可列方程组为

5x  6 y  16 ．
如图，在矩形 ABCD 中， AB  3 ， BC  2 ，E 是 AB 边上的动点（点 E 在 A，B 之间运动，不与 A， B 重合），过 E 作CE 的垂线交 AD 边于点 F，则 AE  AF 的最大值是（）
21
​
8
【答案】C
3C. 25
8
D. 27
8
【解析】
【 分 析 】 设 AE  x
x 3 x
， 则 BE  AB AE  3 x
1 25
， 然 后 证 明
AEF∽ BCE
， 表 示 出
AE  AF  x   x  x ，再由二次函数的性质求解即可．
222
【详解】解：设 AE  x ，则 BE  AB AE  3 x
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ A  B  90
∵ CE  EF
∴ AEF  BCE  90 BEC
AEF∽ BCE
∴
∴ AF  AE BEBC
AF
∴
3 x
 x
2
x 3 x
∴ AF 
2
x 3 x
1 25
∴ AE  AF  x   x  x ，
222
∵  1  0 ， 0  x  3 ，
2
5
∴当 x   2  5 时， AE  AF 取得最大值，
2   1 2
2 

将 x  5 代入 AE  AF   1 x2  5 x 得，  AE  AF 
  1  25  5  5  25 ．
222
max
24228
填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．把答案直接填在答．题．卡．相．对．应．的．位．置．上．．
若 x 3 有意义，则 x 的取值范围是．
【答案】 x  3
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于 x 的一元一次不等式，求解即可得到 x
的取值范围．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．
∴ x 3  0．解得 x  3 ．
x 3 有意义，
点 P 2, a  在一次函数 y  2x 1的图像上，则 a 的值为．
【答案】3
【解析】
【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点 P 的横坐标代入函数解析式即可求出a的值．
【详解】解：点 P 2, a  在一次函数 y  2x 1的图象上，
将 x  2 代入 y  2x 1，得a  2 2 1  4 1  3 ．
一只不透明的袋子中装有 4 个白球、3 个黄球和 n 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n 的值可以是．（填写一个符合要求的正整数即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出
红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合 n 为正整数即可求解．
【详解】解：白球数量为4 ，黄球数量为 3，红球数量为 n，
要使摸出红球的可能性最小，需满足n  3 ，又 n 是正整数，
n 的值为 1 或 2（答案填写一个即可）．
若2x  y  2  0 ，则代数式 x  1 y  3 的值为．
2
【答案】2
【解析】
【分析】本题先对已知等式变形，得到 x  1 y 的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值．
2
【详解】解： 2x  y  2  0
可得： 2x  y  2
等式两边同乘 1 得： x  1 y  1
22
将 x  1 y  1代入 x  1 y  3 得：
22
原式 1 3  2 ．
如图， Rt ABC 中， ACB  90 ， BC  6 ，分别以点 A ， B 为圆心，大于 1 AB 的长为半径画
2
弧，两弧相交于点 D ， E ．过 D ， E 两点作直线，分别交 AB ， AC 于点 F ， G ，连接CF ．若
CF  5，则 AG  ．
25
【答案】
4
【解析】
【分析】连接 BG ，由作图可得 DE 是 AB 的垂直平分线，则点 F 是 AB 的中点， AG  BG ．根据直角三角形斜边上中线的性质得到 AB  2CF 10 ，由勾股定理求出 AC ， AG  BG  x ，在 Rt BCG 中根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：连接 BG ，
由作图可得 DE 是 AB 的垂直平分线，
∴点 F 是 AB 的中点， AG  BG ，
∵ ACB  90 ， CF  5，
∴ AB  2CF 10 ，
AB2  BC 2
102  62
∴在 Rt ABC 中， AC 
设 AG  BG  x ，则CG  AC AG  8 x ，
∵在 Rt BCG 中， BC 2  CG2  BG2 ，
∴ 62  8 x2  x2 ，解得 x  25
4
∴ AG  25 ．
4
 8 ．
苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由 ABC ，线段CD ，
DE ， EA 四部分构成， AE ， CD 分别垂直于地面l ．经测量，该月洞门的最高点 B 到地面的距离为21
分米， AE  CD  3 分米， DE 12分米，则 ABC 所在圆的半径为分米．
【答案】10
【解析】
【分析】连接 AC ，过点 B 作 BH  DE 于点 H，交 AC 于点 F，设 ABC 所在圆的圆心为点 O，连接
CO ，则 BH  21， FH  CD  3 ， AC  DE 12 ， BF  AC ，设 O 的半径为 r，则
CO  BO  r ， OF 18 r ，根据垂径定理求出CF ，进而在 Rt COF 中根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：连接 AC ，过点 B 作 BH  DE 于点 H，交 AC 于点 F，设 ABC 所在圆的圆心为点 O，连接CO ，
由题意可得 BH  21，四边形 ACDE ，四边形 AFHE 都是矩形，
∴ FH  CD  3 ， AC  DE 12 ， BF  AC ，设 O 的半径为 r，则CO  BO  r ，
∴ OF  BH  BO FH  21 r 3 18 r ，
∵ BF 过圆心 O，且 BF  AC ，
∴ CF  1 AC  1 12  6，
22
∵在 Rt COF 中， CF 2  OF 2  CO2 ，
∴ 62  18 r 2  r2 ，解得r  10 ，
∴ ABC 所在 O 的半径为 10 分米．
如图，关于 x 的二次函数 y  x2  2mx  m2 1的图像为抛物线C ，直线 y  a 与抛物线C 交于 A ， B 两点，过抛物线C 的顶点作 x 轴的平行线l ，过 A ， B 分别作l 的垂线，垂足为 M ， N ．若四边形
ABNM 为正方形，则a  ．
【答案】5
【解析】
a 1
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出 B  m 2 , a ，然后代入抛物

线的表达式解方程即可．
【详解】解： y  x2  2mx  m2 1   x m2 1，
∴顶点为m,1 ，
∵四边形 ABNM 为正方形，过抛物线C 的顶点作 x 轴的平行线l ，过 A ， B 分别作l 的垂线，垂足为 M ， N ，
∴ AB  NB  a 1， A, B 关于抛物线的对称轴对称，

∴ B  m 
a 1
2
, a ，



将点 B  m 
a 1
2
, a 代入 y   x m2
1，则 m 
a 1
2

 m 
1  a ，


2
整理得， a2  6a  5  0 ，解得a1  5 ， a2  1（舍），
∴ a  5 ．
如图，在等边 ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 边上的点， AB  2 ．将 ADE 沿 DE 翻折得到 ADE ，若点 A恰好落在边 BC 上，则线段 AD 长度的最小值为．
3
【答案】4
 6 ## 6  4
3
【解析】
【分析】过点 D 作 DH  BC 于点 H，则BHD  90．设 AD  x ，则 BD  AB AD  2 x ，
3
DH  BD  sinB 
3 x ，根据 AD  DH 列出不等式，求解即可．
2
【详解】解：过点 D 作 DH  BC 于点 H，则BHD  90．
设 AD  x ，则 BD  AB AD  2 x ，由折叠可得 AD  AD  x ，
∵ ABC 是等边三角形，
∴ B  60 ，
∴在 Rt
∵在 Rt
中， DH  BD sinB  2 xsin60 
BDH
3
ADH
中， AD  DH ，
3 x ，
2
3
∴ x 
3 x ，解得 x  4
3
2
 6 ，
3
∴ AD  4 6 ，
3
∴ AD 的最小值为4
 6 ．
解答题：本大题共11小题，共82 分．把解答过程写在答．题．卡．相．对．应．的．位．置．上．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．
9
计算： (π 1)0  5 ．
【答案】9
【解析】
【详解】解：原式1 3 5
 9.
2x 1  3x 5

解不等式组：  x 1  x  1

【答案】2  x  4
236
【解析】
【详解】解：解不等式2x 1  3x  5 ，得 x  4 ．
解不等式 x 1  x  1 ，得 x  2 ．
236
∴不等式组的解集是2  x  4 ．
x2  2x  1   1  1 

先化简，再求值：
x2 1
 xx  1  ，其中 x  3 ．
【答案】 x2  x ；6
【解析】
【详解】解：原式
(x 1)2
 x 1 x 1 
1
x  x 1
(x 1)2
  x 1 x 1
 x  x 1
 x2  x
当 x  3 时，原式 32  3  6 ．
为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：
项目
主题
A
红色光影—革命事迹影展
B
红色工坊—袖章主题手作
C
红色出发—重走红色五卅
乙两位同学分别从A、B、C、D 四个项目中任意选择一个项目参加．
甲同学选择项目C 的概率为；
求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1） 1
4
（2） 1
4
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【小问 1 详解】
解： 甲同学选择项目C 的概率为 1 ；
4
甲
乙
A
B
C
D
A
 A, A
 A, B 
 A, C 
 A, D 
B
 B, A
 B, B 
 B, C 
 B, D 
C
C, A
C, B 
C, C 
C, D 
D
 D, A
 D, B 
 D, C 
 D, D 
【小问 2 详解】解：列表如下：
∴共有 16 种可能结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果有 4 种，
41
∴甲、乙两位同学选择相同项目的概率为 ．
164
如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD ， BC 的中点．
D
红色讲述—苏州解放故事
求证：四边形 BFDE 是平行四边形；
若ABC  60 ， AB  4 ， BC  6 ，求 BFDE 的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD  BC ， ADBC ．
∵点 E, F 分别是边 AD, BC 的中点，
DE  1 AD, BF  1 BC ．
22
DE  BF ．
∵ DEBF ，
∴四边形 BFDE 是平行四边形．
3
（2） 6
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得到 AD  BC ， ADBC ，再根据中点的定义得出 DE  BF ，即可证明四边形 BFDE 是平行四边形；
（2）过 A 作 AG  BC ，垂足为G ．通过解直角三角形求出 AG ，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】
解：过 A 作 AG  BC ，垂足为G ．
∵在 Rt ABG 中， ABC  60, AB  4 ，
∴ AG  AB sinABC  4sin60  2 3 ，
∵ BF  1 BC  1  6  3，
3
22
BFDE
∴ S
 BF  AG  3 2
 6 3 ．
某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
课外阅读一周累计时长统计表
课外阅读一周累计时长扇形统计图
请根据以上信息，完成下列问题：
上述图表中， m  ， n  ；
在扇形统计图中，“C 组”所对应的扇形的圆心角为°；
若该校八年级学生一共有 1020 人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过 120 分钟的学生人数．
【答案】（1）9，10
（2）150（3）680 人
【解析】
【分析】（1）将 B 组人数除以其百分比，得到本次调查的总人数，将总人数减去已知其他各组的人数，即
组别
累计时长（单位：分）
人数
A
0  t  60
8
B
60  t  120
12
C
120  t  180
25
D
180  t  240
m
E
t  240
6
可求出 m 的值，将E 组人数除以总人数，即可求出 n 的值；
将 C 组人数所占比例乘以360 ，即可解答；
将全校人数乘以调查的学生中一周累计时长超过 120 分钟的学生比例，即可解答．
【小问 1 详解】
解：本次调查的总人数为12  20%  60 （人），
D 组的人数m  60 8 12  25  6  9 ，
E 组所占百分比为6  60100% 10%，即n  10 ．
【小问 2 详解】
解：“C 组”所对应的扇形的圆心角为 25 360  150 ．
60
【小问 3 详解】
解：1020 25  9  6  1020 2  680 （人），
603
答：估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过 120 分钟的学生有 680 人．
如图，一次函数 y  ax  b 的图像经过点 A4, 0 ， B 0, 2 ，点 P 在一次函数的图像上，过点 P 分
别作 x 轴和 y 轴的平行线交反比例函数 y  k (k  0, x  0) 的图像于 M，N 两点，连接 MN ．
x
求 a，b 的值；
若 PMN 是腰长为 3 的等腰直角三角形，求点 P 的坐标和 k 的值．
【答案】（1） a  1 ， b  2
2
（2）点 P 的坐标为4, 4 ， k  4
【解析】
【分析】（1）将点 A 4, 0, B 0, 2 代入一次函数 y  ax  b ，即可求解；
1
2
（2）解：设点 P 的坐标为 t, t  2  ，根据 PMN 是腰长为 3 的等腰直角三角形得到点M 的坐标为

 t 1
1k
3, 2 t  2  ，点 N 的坐标为 t, 2 t  1 ，把它们代入反比例函数 y  x ，即可求出 t 的值，进而得到

点 P 的坐标与 k 的值．
【小问 1 详解】
解：一次函数 y  ax  b 的图像经过点 A 4, 0, B 0, 2 ，
4a  b  0
a  1

b  2．

，解得2 ．
b  2
【小问 2 详解】
解：由（1）有a  1 ， b  2 ，
2
∴一次函数为 y  1 x  2 ，
2
∵点 P 在一次函数 y  1 x  2 的图像上，
2
1
2
∴设点 P 的坐标为 t, t  2  ．

PMN 是腰长为 3 的等腰直角三角形，
PM  PN  3，
∴点 M 的坐标为 t  3, 1 t  2  ，点 N 的坐标为 t, 1 t  1 ．
22

∵点 M，N 在反比例函数 y  k k  0, x  0 的图像上，
x
 k  t  3 1 t  2   t  1 t  1 ．
 2 2

解得t  4．
∴点 P 的坐标为4, 4 ，点 M 的坐标为1，4 ．
k  4 ．
如图①，点O 位于竖直墙面l 上，平面镜 AB 与墙面l 平行，从点O 射出一束激光，经过平面镜 AB 的反射，在墙面l 上形成一个光点C ， OC 所在直线垂直于水平面．入射光线OP 与平面镜 AB 的夹角
OPA  60 ．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
求证： OPC 是等边三角形；
如图②，将图①中的平面镜 AB 绕点 P 顺时针旋转7.5到 AB位置，入射光线OP 经过平面镜的反射后，在墙面l 上形成光点 E ，点 E 在直线OC 上．
① OPE  °；
②若OC  60 厘米，求光点向下移动的距离CE 的长．（结果保留根号）
【答案】（1）
证明： OPA  60 ，
∴根据光的反射定律可知BPC  OPA  60 ．
OPC 180 OPA BPC  60 ．
∵ AB//l ，
POC  OPA  60 ．
 OPC 是等边三角形；
3
（2）①75② CE 的长为30 30厘米
【解析】
【分析】(1)首先根据光的反射原理得到BPC  APO  60，然后，再由平角的定义得
OPC  60，再由平行线的性质得POC  OPA  60即可证的结论；
(2)①首先根据题意及光的反射原理得到EPB  OPA  OPA  7.5  52.5，再根据平角的定义得到OPE  75；
②过点 P 作 PF  OE 于 F，首先，根据已知条件得到CPE 15 ，然后，再证得
CPF  1 OPC  30， CF  1 OC  30 (厘米)，进而证得 EPF 是等腰直角三角形，得
22
PF  EF ，再由CPF 的余弦值得到 PF 的长，最后，由CE  EF  CF 可得结果．
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】
①解：∵ OPA  60，平面镜 AB 绕点 P 顺时针旋转7.5到 AB位置，
∴根据光的反射定律可知EPB  OPA  OPA  7.5  52.5，
∴ OPE 180EPBOPA  75；
②解：如图②，过点 P 作 PF  OE 于 F，
由(1)知OPC  60，由①知OPE  75，
∴ CPE  OPE OPC 15 ．
由(1)知 OPC 是等边三角形，又知OC  60 厘米，
∴ OP  CP  OC  60 (厘米)，又∵ PF  OE ，
∴ CPF  1 OPC  30， CF  1 OC  30 (厘米)，
22
∴ EPF  CPF CPE  45 ，
∴ EPF 是等腰直角三角形，
∴ PF  EF ，
在 Rt CPF 中， csCPF  PF ，
CP
∴ EF  PF  CP csCPF  60 cs30  60
3  30
3
3
2
(厘米)，
∴ CE  EF  CF  30
 30 (厘米)，即光点向下移动的距离CE 的长为30
 30厘米．
3
如图， P 是以 AB 为直径的 O 外一点， C 为 O 上的一点， PA 是 O 的切线， BC OP ， D 为
OB 的中点，连接 DP 交OC 于 E ．
求证： PC 是 O 的切线；
若OA  2 ， PA  4 ．
①求 BC 的长；
②求tanPEC 的值．
【答案】（1）证明： PA为 O 的切线，
PA  OA ，
∴ PAO  90 ，
∵ BC OP ，
∴ AOP  B, COP  OCB ．
∵ OB  OC ，
∴ B  OCB ，
∴ AOP  COP ．
∵在 AOP 和 COP 中，
OA  OC

AOP  COP

OP  OP
∴ AOP≌ COP SAS  ，
∴ PCO  PAO  90．
OC 是 O 的半径，
PC 为 O 的切线．
（2） ①BC  45 ；② tanPEC  24
57
O
【解析】
【分析 】（ 1 ）由 PA 为
的切线，得到 PAO  90 ．根据平行线的性质得到
AOP  B, COP  OCB
， 结 合
B  OCB
， 得 到
AOP  COP
， 从 而 证 明
AOP≌ COP SAS  ，因此PCO  PAO  90，即可得证结论；
①连接 AC ，通过解直角三角形得到csAOP  AO 
OP
5 ，因此csB  csAOP 
5
5 ，由
5
AB 是 O 的直径得到ACB  90 ，在 Rt ABC 中解直角三角形即可求解；
②方法一：取OC 的中点 F ，连接 DF ，则OF  CF  1 OC  1，根据 AOP≌ COP 得到
2
PA  PC  4 ，根据三角形中位线的性质得到 DFBC ， DF  1 BC  2 5 ．证明 DEF∽
25
得出 EF  DF  1 ，进而可求出CE ，从而在 Rt PCE 中，根据正切的定义即可求解；
PEO ，
OEOP5
方法二：过点 D 作 DG OC ，交 PO 的延长线于点G ．证明 ODG∽ BOC ，根据相似三角形的对应边
成比例求出OG, DG ，进而求出 PG ．再证明 POE∽ Rt PCE 中，根据正切的定义即可求解．
【小问 1 详解】
略
【小问 2 详解】 解： ① 连接 AC ．
∵在 Rt APO 中， OA  2 ， PA  4 ，
PGD ，求出OE ，即可求出CE ，从而在
OA2  PA2
5
∴ OP  2，
5
AO2
2 5
csAOP ．
OP5
∵ B  AOP ，
∴ csB  csAOP 5
5
AB 是 O 的直径，
∴ AB  2OA  4 ， ACB  90 ．
∴ BC  AB csB  4 
5  4 5 ．
55
②方法一：取OC 的中点 F ，连接 DF ，则OF  CF  1 OC  1  2  1 ．
22
AOP≌ COP ，
∴ PA  PC  4 ．
∵点 D, F 分别为OB, OC 的中点，
DF 是 OBC 的中位线，
∴ DFBC ， DF  1 BC  2 5 ．
25
∵ BC OP ，
∴ DFOP ，
∴ DEF∽ PEO ，
2 5
∴ EF  DF 5
OEOP2 5
 1 ，
5
∴ EF  1 FO  1 ，
66
CE  EF  CF  7 ．
6
tanPEC  PC  4  24
∴在 Rt PCE 中，
CE77 ．
6
方法二：过点 D 作 DG OC ，交 PO 的延长线于点G ．
ODG  BOC ．
∵ BC OP ，
∴ GOD  B ，
∴ ODG∽ BOC ，
∴ OG  DG  OD  1
BCOCBO2
∴ OG  1 BC  2 5, DG  1 OC  1，
252
∴ PG  PO  OG  2
∵ DG OC ，
 2 5  12 5 ．
5
55
∴ POE∽ PGD，
PO  OE
2 5  OE
∴ PGDG ，即 1251 ，
5
∴ OE  5 ，
6
∴ CE  OC OE  2  5  7 ．
66
AOP≌ COP ，
∴ PA  PC  4 ．
∴在 Rt PCE 中，
tanPEC  PC  4  24
CE77 ．
6
如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口 A，C 的绿灯持续时间为 40
秒，红灯持续时间为 40 秒；路口B 的绿灯持续时间为 30 秒，红灯持续时间为 30 秒．各路口红绿灯随时
间t （秒）的变化情况如图②所示，例如当t  10
时，路口A 为绿灯，路口B 为红灯，路口C 为绿
灯．已知路口A 到路口B，C 的距离分别为 600 米和 1000 米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略
不计）
请根据上述信息，解决下列问题：
甲驾驶汽车在道路上以 15 米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t  0
请判断其是否能不停车通过B 路口，并说明理由；
）通过A 路口，
乙驾驶汽车在道路上以速度v （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起 10 秒时（即t  10 ）通过A
路口，若其能在 100 秒前（含 100 秒，即t  100 ）不停车连续通过B，C 两个路口，求其行驶速度v 的
取值范围；
对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v （米/秒），使得该车在0  20 秒内（含 0 秒和 20 秒）任意
时刻通过A 路口后，都能在 180 秒前（含 180 秒，即t  180 ）不停车连续通过 B，C 两个路口．若存在，请直．接．写．出．v 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）
【答案】（1）能不停车通过 B 路口，理由如下：甲到达B 路口的时间是600 15  40 （秒）， 由图②可知，路口B 处于绿灯状态，
∴甲驾驶汽车能不停车通过B 路口；
（2）12  v  20
25  v  20 或15  v  50
433
【解析】
【分析】（1）求出甲到达 B 路口的时间，根据图②判断即可；
设乙驾驶汽车离开A 路口的路程为 s，要使其在 100 秒前能不停车连续通过B，C 两个路口，则要求汽车在 30 秒到 60 秒之间通过B 路口，60 秒到 100 秒之间通过C 路口，据此列出不等式组，求解即可；
分汽车在B 路口第 1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口；和在B 路口第 2 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可．
【小问 1 详解】略
【小问 2 详解】
解：设乙驾驶汽车离开A 路口的路程为 s，
∴ s  v t 10 ．
∵要使其在 100 秒前能不停车连续通过B，C 两个路口，则要求汽车在 30 秒到 60 秒之间通过B 路口，60
秒到 100 秒之间通过C 路口，
v 30 10  600 v 60 10  1000
∴ v 60 10  600 ，且v 100 10  1000 ，

解得12  v  30

且100  v  20 ，
9
∴满足条件的行驶速度 v 的取值范围为12  v  20；
【小问 3 详解】
解：当汽车在 0 秒时经过A 路口，且在B 路口第 1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路
口，则
 30v  600

 60v  600

 60v  1000
100v  1000
，解得10  v  50 ；
3
当汽车在 20 秒时经过A 路口，且在B 路口第 1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路
口，则
 30  20v  600

 60  20v  600

 60  20v  1000 ，解得15  v  25 ；
100  20v  1000
∴汽车在B 路口第 1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口，速度 v 应满足
15  v  50 ．
3
当汽车在 0 秒时经过A 路口，且在B 路口第 2 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口，
则
 90v  600


 120v  600
140v  1000
180v  1000
，解得5  v  20 ；
3
当汽车在 20 秒时经过A 路口，且在B 路口第 2 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路
口，则
 90  20v  600

 120  20v  600

140  20v  1000
180  20v  1000
，解得
25  v  25 ；
43
∴汽车在B 路口第 1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过 B，C 两个路口，速度 v 应满足
25  v  20 ．
43
综上所述，v 的取值范围为 25  v  20 或15  v  50 ．
433
将一个二次函数 y  ax2  bx  c 与一个一次函数 y  mx  n 求和，可以得到一个新的二次函数 y  ax2  b  m x  c  n，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
若二次函数 y  x2 对一次函数 y  mx  n “吸收”，所得“吸收函数”的图像与 x 轴的交点坐标为
2, 0 ， 4, 0 ，求 m，n 的值；
已知二次函数 y  x2  2x 3 对一次函数 y  mx  n “吸收”．
①若所得“吸收函数”的最小值与 y  x2  2x 3 的最小值相等，求 n 的取值范围；
ABM
②若所得“吸收函数”的图像顶点为 M，且与一次函数 y  mx  n 的图像交于 A，B 两点．当的面积为 4 时，求 m 的值．
【答案】（1） m   2, n  8
6
（2） ① n  1； ② m1  2 2, m2   2 2, m3  2 6, m4  2
【解析】
【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把2, 0 ， 4, 0 代入求解即可；
（2）①先求出 y  x2  2x 3 的最小值为4 ，根据吸收函数定义写出表达式为
4
y  x2  m  2 x  n 3 ，根据二次函数的性质得出 4 n 3  (m  2)2  
4
，化简得
(m  2)2
n 1，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可；
4
②过点 M 作 y 轴平行线l 交 AB 于点 N ，过点 A, B 分别作l 的垂线段，垂足为C, D ．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出 x2  2x 3  0 ，解方程求出 A、B 两点的横坐标分别是 x1  1､xB  3.
则 x  x 4 ，根据 M 为“吸收函数”的顶点，得出 x x   m  2 ，根据可求出
ABMN2
ABM
MN  4  1 m2 ，结合
4
的面积为 4 得出 8  1 m2
2
 4 ，即可求解．
【小问 1 详解】
解：由题意，吸收函数的表达式为 y  x2  mx  n ．

 4  2m  n  0
根据题意，得，
16  4m  n  0
m  2

解得 n  8 ；
【小问 2 详解】
解：①y  x2  2x 3  (x 1)2  4 ，
 y  x2  2x 3 的最小值为4 ．
由题意，吸收函数的表达式为 y  x2  m  2 x  n 3 ．
4 n 3  (m  2)2
根据题意，得
4
  4 ．
(m  2)2
n 1 ，
4
m  22  0 ，
m  2
2
1  1 ，即n  1，
4
m 为一次函数的系数即m  0 ，
0  2
2
考虑到当m  0 时， n 1  0 ， 4
4  2
2
但当m  4 时， n 1  0 ， 4
故 n  0 可取，
综上所述， n  1；
②如图，过点 M 作 y 轴平行线l 交 AB 于点 N ，过点 A, B 分别作l 的垂线段，垂足为C, D ．
 y  x2  m  2 x  n  3①，
根据题意，列出方程组为

y  mx  n②．
把②代入①得： mx  n  x2  m  2 x  n 3 ，即 x2  2x 3  0 ．
解得 x1  1, x2  3 ．
∴点 A, B 的横坐标分别是 x1  1､xB  3.
 xA  xB  4 ，
M 为“吸收函数”的顶点，
 x x   m  2 ，
MN2
MN  y  y
 mx
 n  x2
m  2 x
 n 3  x2
 2x
 3 ．

MN  
m  2 2
NM
NMM

 2
m  2   3  4 
1 m2 ．


MM
224
 ABM 的面积 1 MN x  x

4  1 m2  4  8  1 m2 ．
1
2
2AB42
ABM 的面积为4 ，
 8  1 m2
2
 4 ，
解得m1  2 2, m2   2 2, m3  2 6, m4  2 6 ．