2026年天津市中考数学真题试卷（真题+答案）

这是一份2026年天津市中考数学真题试卷（真题+答案），共6页。试卷主要包含了第二等内容，欢迎下载使用。
第Ⅱ卷为第 4 页至第 8 页．试卷满分 120 分．考试时间 100 分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡” 上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
本卷共 12 题，共 36 分．
选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
计算 的结果等于（）
B. C. D.
下图是一个由 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A.B.C.D.
在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
年 月 日， 世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达 平方米，创历年之最．将数据 用科学记数法表示应为（）
B. C. D.
估计的值在（）
和 之间B. 和 之间C. 和 之间D. 和之间
若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是
（）
B. C. D.
的值等于（）
B. C. D.
《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少
钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（）
B.
C. D.
计算的结果等于（）
B.C.D.
如图，在 中， ，， 是 的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点， ；②分别以点，为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线 ，与边 相交于点
．则 的大小为（）
B. C. D.
如图，在 中， ， ，将 绕点顺时针旋转得到，使点 的对应点
落在边 上，点 的对应点为 ，连接 并延长，与相交于点 ，若，则的面
积为（）
A. B. C. D.
矩形 中， ， ．动点从点 出发，以 的速度沿边、边
向终点 运动；动点从点 同时出发，以 的速度沿边 、边向终点运动．设运动的时 间为 ．当时，点， 的位置如图所示．给出下面三个结论：
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
第Ⅱ卷
注意事项：
用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）．
本卷共 13 题，共 84 分．
填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
不透明袋子中装有 个球，其中有 个红球、 个黄球、 个白球，这些球除颜色外无其他差 别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为．
计算 的结果为．
计算的结果为．
①当
时，四边形
是平行四边形；
②
的最大面积为
；
③当
的面积为
时，或
．
将直线 （ 为常数）向上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象
限，则 的值可以是（写出一个即可）．
如图，在菱形 中， ， ，连接 ．
线段 的长为；
点在边 上，点 在的延长线上， 与相交于点， 为 的中点．若 ，则线段 的长为．
如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ， 均在格点上，点在网格线上，以 为直径的半圆经过点 B．
线段 的长为；
点 在线段上，点 在线段 上，满足．请用无．刻．度．的直 尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证 明）
．
解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
解不等式①，得；
解不等式②，得；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为．
某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校 名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
填空： 的值为，图①中 的值为，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为和；
求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；
根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是 的人数约为多少？
已知点 ， 在 上，，点 在 上，点 在以 ， 为端点的优弧上．
如图①，当 为 的中点时，若，求 和的大小；
如图②，当时，过点 作 的切线 ，且， 与相交于点 ，若 的半径为 ，求和 的长．
综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，， ， 的延长线与水平线 相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台
，；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，斜坡 的倾斜角
（ ）为 ；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角 为 ， ．根据该学习小 组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑 的高度（结果取整数）．参考数据： ， ， ．
已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家 ．小杰从家出发，先匀速骑行了 到体育公园，在体育公园停留了 ，之后匀速骑行了
到民俗文化馆，在民俗文化馆停留 后，再匀速骑行了 回到家．下面图中表示时间，
表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
填表：
小杰离开家的时间
小杰离家的距离
当 时，请直接写出小杰离家的距离 关于时间的函数解析式；
当小杰离开家 时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在 的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为 ，小杰的爷爷离家的距离为，当 时，求的值（直接写出结果即可）．
将一个四边形纸片 放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ，
分别在第一、第四象限，且关于 轴对称， ， ，．
填空：如图①，点 的坐标为，点 的坐标为；
若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应 点 落在 轴的正半轴上．设 ．
①如图②，若直线 分别与边 ， 相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为 ， ， 与 相交于点 ， 与相交于点 ．试用含有的式子表示 线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
已知抛物线（ ， ， 为常数， ， ）的顶点为．
当 ， ， 时，求点的坐标；
点 和点 为抛物线与轴的两个交点，点 为抛物线与 轴的交点．
①当 时，若，求的值；
②若点，， 为线段的中点，点 在线段上（不与点， 重合），点
在线段 上，且，当 取得最小值为 时，求的值．
2026 年天津市初中学业水平考试数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第 1 页至第 3 页，
第Ⅱ卷为第 4 页至第 8 页．试卷满分 120 分．考试时间 100 分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡” 上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
本卷共 12 题，共 36 分．
选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算
的结果等于（
）
A.
【答案】D
B.
C. D.
【解析】
【详解】解：
．
下图是一个由 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：它的主视图是，
．
在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形 ，根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A 选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故 A
选项符合题意；
B 选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故 B 选项不符合题意；
C 选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C 选项不符合题意；
D 选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D 选项不符合题意．
年 月 日， 世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达 平方米，创历年之最．将数据 用科学记数法表示应为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解： ．
估计 的值在（）
和 之间B. 和 之间C. 和 之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】先估算出 的取值范围，再对不等式两边加 1，即可得到 的范围．
【详解】解：
【分析】先根据 k 的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内 y 随 x 的变化规律，即可比较横坐标的大小．
【详解】∵反比例函数 中， ，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵点 的纵坐标 ，
∴点 在第三象限，可得 ，
∵点 、 的纵坐标 都大于 ，
∴点 、 都在第一象限，又∵ ，
∴
综上可得 ．
的值等于（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：
，即
不等式两边同时加 1，得
，即
因此 的值在 和
之间．
6. 若点 ，
，
都在反比例函数
的图象上，则
，， 的大小关系是
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
．
《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少
钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程．
【详解】解：设人数为，
∵每人出 钱，还差
钱，
∴羊价可表示为
钱，
∵每人出 钱，还差
钱，
∴羊价可表示为
钱，
∵羊价固定不变，
∴可列方程为
．
9. 计算
的结果等于（
）
A.
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：原式
．
如图，在中， ，， 是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点， ；②分别以点，为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线 ，与边 相交于点
．则 的大小为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等边对等角求得
性质求得，由作图知
【详解】解：∵ ，
，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角
，据此求解即可．
，
∴
，
∵ 是的角平分线，
∴，
∴
由作图知 ，
∴，
∴
，
．
如图，在中， ， ，将绕点顺时针旋转得到，使点 的对应点
落在边 上，点 的对应点为 ，连接 并延长，与相交于点 ，若，则的面 积为（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可知：，则有，然后可得 ，则有，过点 作 ，进而根据勾股定理及等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知：，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
过点 作 ，如图所示：
向终点 运动；动点从点 同时出发，以 的速度沿边 、边向终点运动．设运动的时 间为 ．当时，点， 的位置如图所示．给出下面三个结论：
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断．
【详解】解：①当 时，如图 2，
， ，
∴ ，
∴
，
∴
，
∴
12.
矩形
中，
．
， ．动点从点 出发，以 的速度沿边、边
①当
时，四边形
是平行四边形；
②
的最大面积为
；
③当
的面积为
时，或
．
，，
∴当 时， 的最大面积为 ；
当点在 上，点在上，此时 时，如图 3，
， ，，
∴当时， 的最大面积为 ；
当点在 上，点在上，此时时，如图 4，
， ， ， ，
∴
∴
∵矩形
∴
，
，
，即
，
∴四边形
②当点在
是平行四边形，①正确； 上，点在 上，此时
时，如图 1，
，
∵ ，当时， 随的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上， 的最大面积为 ，②正确；
③当点在 上，点在 上，此时 时，
又②可知： ， ，由题意得 ，
∴ （负值已舍）；
当点在 上，点在上，此时 时，由②可知：，
由题意得 ，
∴ （不符合题意，舍去）；
当点在 上，点在上，此时时，
，
由题意得，
∴ （不符合题意，舍去）或；
综上，当的面积为 时，或 ，③正确．
第Ⅱ卷
注意事项：
用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）．
本卷共 13 题，共 84 分．
填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
不透明袋子中装有 个球，其中有 个红球、 个黄球、 个白球，这些球除颜色外无其他差 别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取出红球的可能结果数，即可求解．
【详解】解：所有可能的结果数为 ，取出红球的可能结果数为 ，则取出红球的概率为．
计算 的结果为．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
计算的结果为．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】
．
故答案为：7．
将直线 （ 为常数）向上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则 的值可以是（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一，满足 即可）
【解析】
【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到 的取值范
围，写出一个符合要求的值即可．
【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线 向上平移 个单位长度后，得到新直线的解析式为 ，
∵平移后的直线经过第一、二、四象限，
∴ ， ，
解得 ，
的值可以取，符合题意（答案不唯一）．
如图，在菱形 中， ， ，连接 ．
线段 的长为；
点在边 上，点 在的延长线上， 与相交于点， 为 的中点．若 ，则线段 的长为．
【答案】①. 5②.
【解析】
【分析】（Ⅰ）因为菱形四边相等，所以 ，又因为 ，所以是等边三角形，由此可
先证得 是等边三角形，进而可证得 ，可求得的长度，在中， ，可求出的长，最后可利用勾股定理求出的长．
【详解】解：（Ⅰ） 菱形 ，
．
又，
是等边三角形，
．
（Ⅱ）过点作 ，交 于点 ， 过 作于点，如图：
直接得到
的长度．
（Ⅱ）过点
作
，交
于点
， 过
作
于点
，根据等边三角形的性质和判定
是等边三角形，
， ，
，，
是等边三角形，
． ，
，
又，
，
．
，
．
已知 是 中点，， ，
由菱形性质得，即．在 中，，
，，
．
在 中，由勾股定理：，
（负值已舍去）．
如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点 ， 均在格点上，点在网格线上，以 为直径的半圆经过点 B．
线段 的长为；
点 在线段上，点 在线段 上，满足．请用无．刻．度．的直 尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证 明）
．
【答案】①. ②. 解法一：如图，取格点 ，连接 ，与网格线交于点，连接 ，与 交于点 ，与半圆相交于点 ，连接 ，与网格线相交于 ，取与网格线的交点 ，连接
并延长，与网格线相交于 ，连接 并延长，与 相交于点 ，则点即为所求.
解法二：如图，
设 分别与格线交于点 O，点 D，连接 并延长交格线于点 E，连接 交于点 M，交格线于点 F，设 交格线于点 G，连接 并延长交格线于点 ，连接 交半圆于点 K，连接交 于点
N，则点 M，点 N 即为所求．
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）解法一：连接，由网格线的特点可得： 为 中点， 为 的中点，可得
，进一步可证明，可得，结合，可
；
解法二：可证明点 O 为 的中点，点 D 为的中点，点 D 为 的中点，点 G 为的中点，点 G 为 的中点，则可证明四边形 是菱形，得到；证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形 是平行四边形，得到 ；由圆内接四边形对角互补可得，则可证明，得到，据此可证明 四点共圆，得到，则．
【详解】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得 ；
（Ⅱ）解法一：如图，取格点 ，连接 ，与网格线交于点，连接，与交于点，与半圆相交于点 ，连接 ，与网格线相交于 ，取与网格线的交点 ，连接 并延长，与网格线相交
于 ，连接 并延长，与 相交于点 ，则点即为所求.
得
，由 为直径可得，而
，可得
，
， 是中位线，可得
，可得
，
，可
得
，结合，可得
，可得
，可得
，可得
解法二：如图所示，连接，取格点 P、Q，
可证明，得到，则点 O 为的中点，即点 O 为半圆的圆心，同理可得点 D 为的中点，点 D 为 的中点，点 G 为 的中点，点 G 为的中点，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴， ，
∴；
同理可证明四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
解不等式①，得；
解不等式②，得；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为．
【答案】（1）
如图：（4）
【解析】
【分析】（1）利用解一元一次不等式的方法求解即可；
利用解一元一次不等式的方法求解即可；
利用两个不等式的解画图即可；
根据数轴即可写出原不等式组的解集．
【小问 1 详解】解： ，
移项，得 ，
∵四边形
是圆内接四边形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
四点共圆，
∴
，
∴
．
合并，得 ；
【小问 2 详解】解： ，
移项，得 ，合并，得，
系数化为 1，得 ；
【小问 3 详解】略
【小问 4 详解】
解：由数轴可知，不等式组的解集为 ．
某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校 名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
填空： 的值为，图①中 的值为，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为和；
求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；
根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是 的人数约为多少？
【答案】（1） ， ， ， ．
（2）
（3） 人
【解析】
【分析】（1）根据“部分量 对应占比 总量”可计算 的值；也可将条形图中各组人数相加得到 ，因为扇形统计图各部分占比总和为 1，所以用 1 减去其余各组的占比得到 5 次对应的占比，即 的值，找出出现
次数最多的出行次数即可求出众数，将所有数据从小到大排序，因为总人数为 ，若 为偶数，取中间两个数的平均数，若 为奇数，取中间位置的数；
使用加权平均数公式，将每次出行次数乘以对应人数后求和，再除以总人数 ；
估计总人数中出行 6 次的人数：因为样本中出行 6 次的人数占比可求，所以用总人数 1200 乘以该占比得到估计值．
【小问 1 详解】
解：因为出行 3 次共 6 人，占比 ，所以 ，
因为百分比总和为 ，
所以，
因为出行次数为 5 次的人数最多（15 人），因此众数是 ．
因为总共有 50 个数据，中位数为排序后第 25、26 个数据的平均数，排序后第 25、26 个数据都是 5，因此中位数是 ．
【小问 2 详解】
解：根据加权平均数公式： （人）
答：这组数据的平均数为 ．
【小问 3 详解】
解：样本中绿色出行次数为 6 次的人数占比为，因此估计全校 1200 名学生中：
（人）
答：估计该校周末绿色出行次数为 6 次的人数约为人．
已知点 ， 在 上，，点 在 上，点 在以 ， 为端点的优弧上．
如图①，当 为的中点时，若，求 和的大小；
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据题意可得 ，则可得到，由圆周角定理可得
；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出 的度数，进而可求出 的度数；
连接 ，由切线的性质得到，则由平行线的性质可得；由勾股定理可求
出；求出，则由圆周角定理得到；可证明，则 ，解直角三角形求出 的长即可．
【小问 1 详解】
解：如图①所示，连接 ，
（2）如图②，当
时，过点 作 的切线 ，且， 与相交于点 ，若
的半径为
【答案】（1）
，求
和
，
的长．
（2）
，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
；
∵
∴
∵
，
，
，
【小问 2 详解】
解：如图②所示，连接 ，
∴
；
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
∵
∴
与 相切，
，即
，
∵
，
∴
∴
；
，
∵
∴
的半径为 ，
，
∴
；
∵
∴
，
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
∴．
综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， ， ， 在同一平面内，， ， 的延长线与水平线 相交于点．从地面 处沿步道（看作斜坡）前行，至平台
，；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角为，斜坡 的倾斜角
（ ）为 ；在平台 处测得纪念碑顶部 的仰角 为 ， ．根据该学习小 组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑 的高度（结果取整数）．参考数据： ， ， ．
【答案】引滦入津工程纪念碑 的高度约为 ．
【解析】
【分析】分别在 中，得出，在中，得出，再根据 ，列式求出 ，过点 C 作 ，垂足为 H，在中，利用
，求出 ，再利用四边形是矩形，结合，即可求解．
【详解】解：根据题意，有，
在
中，
，
，
得
，
在
中，
，
，
得
，
∵
，
∴
，
∴，
如图，过点 C 作 ，垂足为 H，
即引滦入津工程纪念碑 的高度约为 ．
已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家 ．小杰从家出发，先匀速骑行了 到体育公园，在体育公园停留了 ，之后匀速骑行了
到民俗文化馆，在民俗文化馆停留 后，再匀速骑行了 回到家．下面图中表示时间，
表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
填表：
在
中，
，
，
，
∴
，
∵
∴四边形
是矩形，
，
∴
，
∴
，
小杰离开家的时间
小杰离家的距离
当 时，请直接写出小杰离家的距离 关于时间的函数解析式；
当小杰离开家 时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在 的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为 ，小杰的爷爷离家的距离为，当 时，求的值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）填表如下：
（2）
（3） 或 或
【解析】
【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家 时离家的距离；再根据图象分别得到小杰离开家 和 时离家的距离，即可填表；
小杰离开家的时间
小杰离家的距离
、
、
分三种情况讨论：
，结合图象，利用待定系数法即可求解；
根据题意 与满足一次函数关系，利用待定系数法求出，再分三种情况讨论： 、、，令 ，即可求出的值．
【小问 1 详解】
解：小杰骑行到体育公园的速度为 ，
∴当小杰离开家 时，离家的距离为 ；
由图象得，当小杰离开家 时，离家的距离为 ；当小杰离开家 时，离家的距离为；
填表略；
【小问 2 详解】
解：当 时，小杰离家的距离 与时间的满足一次函数关系，设，
代入 和得，，
解得，
∴；
当时，由图象得， ，
∴；
当时，小杰离家的距离 与时间的满足一次函数关系，设，
代入 和得，，
解得，
∴；
综上，小杰离家的距离 关于时间的函数解析式为
；
【小问 3 详解】
解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为
，
由题意得， 与满足一次函数关系，设
，
代入和得，，
解得，
∴；
当 时，
∵ ，
∴，
解得；
当时，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当时，
∵ ，
∴，
解得 ；
综上，当 时， 的值为 或 或 ．
将一个四边形纸片 放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ，
分别在第一、第四象限，且关于 轴对称， ， ，．
填空：如图①，点 的坐标为，点 的坐标为；
若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应 点 落在 轴的正半轴上．设 ．
①如图②，若直线 分别与边 ， 相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为 ， ， 与 相交于点 ， 与相交于点 ．试用含有的式子表示 线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1） ，
（2）① ， ；②
【解析】
【分析】（1）连接 交 轴于点 ，然后解，再根据轴对称的性质即可求解；
（2）①导角得到，则，那么 ，然后解，即可求解，然后找出两个临界位置求解的取值范围即可；
②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解 的取值范围．
【小问 1 详解】
解：连接 交 轴于点 ，
∵ ， ，．
∴由对称可得，
，
∴
，
，
，，
∴ ， ，
∵点 A，C 关于 x 轴对称，
∴；
【小问 2 详解】
解：①在 中，∵
，
∴ ，
由折叠可得， ，
， ，
∴
∴
，
∴
∴
，
由得，
，
在中，
，得
∴
当点重合时，如图：
，
此时由（1）可得， ；当点重合时，如图：
此时，则，
∴ 的取值范围为；
②当 时，如图，记直线 与 交于点 ，重叠部分为，
此时 ，
在 中，，
∴由对称可得，， ，
∴，
∵ ，对称轴为直线
∴当 时， 随着的增大而增大
∴ 时， ； 时， ，
∴ 时，；
当，重叠部分为五边形 ，延长 交直线于点 ，
在
中，
，
∴
∴
，
∵
∴
∴ ，
∴，
在中，
∴
∴
∴，
即
∵ ， ，对称轴为直线，
∴当时， 取得最大值为，
当 时，可求 ；当时，可求 ，
∴当时，；
当 时，重叠部分为，
此时，
在 中， ，
∴，
∴由对称可得，，
∴，
即，
∵ ，对称轴为直线，
∴当 时， 随着的增大而减小，
∴当时，可求 ； 时，可求 ，
∴当 时，
综上：．
已知抛物线（ ， ， 为常数， ， ）的顶点为．
当 ， ， 时，求点的坐标；
点 和点 为抛物线与轴的两个交点，点 为抛物线与 轴的交点．
①当 时，若，求的值；
②若点，， 为线段的中点，点 在线段上（不与点， 重合），点
在线段 上，且，当 取得最小值为 时，求的值．
【答案】（1）点的坐标为 ；
（2）① 的值为 6；② 的值为 ．
【解析】
【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解；
（2）①求得顶点的坐标为，作 轴于点，得到和 都是等腰直角三角形，推出，求得 ，把，代入求解即可；
，
，作
②根据题意求得轴于点，则 是等腰直角三角形，得到四
边形 是 平 行 四 边 形 ， 推 出 ，过点 作 ，且 ， 证 明
，得到 ，推出，则当共线时，有最小值，即 有最小值，据此列式计算即可求解．
【小问 1 详解】
解：由题意得 ，
∴点的坐标为 ；
如图，由题意得点 ， ，
∴，
∴ 是等腰直角三角形，
∴，
【小问 2 详解】
解：①由题意得对称轴为直线 顶点的坐标为
作轴于点
，
，
，
，
∵，
∴，
∴ 是等腰直角三角形，
∴， ，
∴ ，
解得（舍去）， ，
∵抛物线经过点，
∴
，
解得 （舍去），
∴ 的值为 6；
，
②∵点，
，
∴
，
， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵ 为线段的中点，
，
作
轴于点
，则
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
由题意得
，
∴四边形是平行四边形，
∴ ，
过点 作，且 ，
∴，
∴，
∵ ， ，
∴，
∴ ，
∴，
∴当共线时， 有最小值，即 有最小值，
∵，，，且 取得最小值为 ，
∴ ，即，解得 ，
∴ 的值为．