2026年重庆市中考数学真题试卷（真题+答案）

这是一份2026年重庆市中考数学真题试卷（真题+答案），共6页。

注意事项：
重庆市 2026 年初中学业水平考试数学试题
（全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
试题的答案书写在答．题．卡．上，不得在试题卷上直接作答；
作答前认真阅读答．题．卡．上的注意事项；
作图（包括作辅助线）请一律用黑．色．2．B．铅笔完成；
考试结束，由监考人员将试题卷和答．题．卡．一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线．
选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答．题．卡．上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑．
3 的倒数是（）
B. C. D. 3
四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（）
B.C.D.
2026 重庆马拉松于今年 1 月 18 日举行， 事总规模为 人．数据 用科学记数法表示为（）
B. C. D.
如图，点 A，B，C 在 上．若 ，则 的度数是（）
B. C. D.
下列事件中，一定会发生的是（）
从只有白球的袋中摸出白球
明天一定会下雨
随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数
抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是 7
醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中 ，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有 4 个氢原子，第②个图中有 6 个氢原子，第③个图中有 8个氢原子，第④个图中有 10 个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
在反比例函数 中，若，则 的取值范围为（ ）
B.
C. D.
中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知 5 个大容器和 1 个小容器的总容量为 3 斛（斛是过去的一种量器），1 个大容器和 5 个小容器的总容量为 2 斛．大小容器的容量分别是多少斛？设 1 个大容器的容量为
斛，1 个小容器的容量为 斛，则可列方程组为（）
B. C. D.
如图，在正方形 中，为上一点，且 ，连接 ．过点 作 ，垂足为
，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 与的面积之比为（）
A.B.C.D.
已知整式 ：，其中 ， 为正整数， ， ，， ，为整数， ，且 ．下列说法：
①当 时，满足条件的所有整式 的和为 ；
②当 时，若函数 的图象关于 轴对称，则满足条件的整式 有且仅有 1 个；
③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有 2 个．其中正确的个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答．题．卡．中对应的横线上．
某学校决定从九年级的五个备选节目 A，B，C，D，E 中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A 的概率为 ．
如图，直线 ， 被直线所截．若 ， ，则的度数是 ．
满足的整数 的值可以是 （写一个即可）．
若实数， 同时满足 ， ，则的值为 ．
自然数 与 均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为 9，且与 的乘积为三位数． 的最小值为 ；当 时，存在正整数，使得 ，则满足条件的所有的值之和为 ．
如图，四边形 是平行四边形，点 ， 在 上， ， 经过圆心，且 ，
垂足为，．连接 交 于点 ，连接 并延长交于点 ，，则 的长度为
， 的长度为．
解答题：（本大题 9 个小题，第 17 题、第 18 题各 8 分，其余每题 10 分，共 86 分）解答
时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
解不等式组：
先化简，再求值： ，其中．
早在 2005 年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞活动．现从该学校七、八年级各随机抽取 20 名学生的竞成绩
（满分为 100 分，成绩均不低于 60 分），对七年级抽取 20 名学生的竞成绩进行整理，绘制了统计图：
A 组：
B 组：
C 组：
D 组：
（其中 表示竞成绩）
七年级抽取 20 名学生的竞成绩在C 组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89．
八年级抽取 20 名学生的竞成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，
93，93，93，95，97，100．
经计算发现，七年级抽取学生的竞成绩的众数是 89，八年级抽取学生的竞成绩的中位数是 84.5，七、 八年级抽取学生的竞成绩的平均数均为 84．
根据以上信息，解答下列问题：
请你直接写出条形统计图中 m 的值、七年级抽取学生的竞成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞
成绩的众数；
该学校七年级有学生 320 人，八年级有学生 300 人，请估计该学校七、八年级参加此次竞成绩不低于 90 分的学生人数共是多少？
根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞成绩较好？请说明理由（写出一条理 由即可）．
综合与实践
在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
【问题解决】任务：
请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．
列方程解下列问题：
某企业承担了一款智能机器人的 A，B 两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产 A 型配件的数量比每天生产 B 型配件的数量少个，且 天生产的 A 型配件的数量与天生产的 B 型配件的数量相等．
求该企业每天生产 A，B 型配件的数量分别是多少个？
如果该企业每天生产 A，B 型配件的数量分别减少 个和个，那么生产个 A 型配件的天数与生产 个 B 型配件的天数相同，求 的值．
【动手操作】
如图，在
中，
．用尺规完成基本作图：作出
的平分线，交 于点．
【问题提出】
他们猜想
，
，
之间存在以下数量关系：
．
如图，四边形 是矩形，，．点以每秒 的速度沿方向运动， 点 在直线 上运动，且满足 ．点 与点 同时出发，以每秒 的速度沿折线 方向运动．设运动时间为秒 ，点 与点 的距离为，点 与点的距离为．
请直接写出 ， 关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围；
请在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）．
重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门 ，猴山 ，古塔 ，游乐场 为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处， 位于 的正南方向且位于的南偏西 方向， 位于 的南偏东 方向且位于的南偏东
方向．
求的长度（参考数据： ， ， ， ，结果保留小数点后 一位）；
现甲从 出发沿方向前往，乙从 出发沿 方向前往 ，两人同时出发，乙的速度是甲的
速度的 倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离
处多少千米？
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于点 A，，与 y 轴交于点
，连接 ， ．
求抛物线的表达式；
P 是线段上方抛物线上的一动点，过点 P 作，垂足为 D，E 是 x 轴上一动点，连接 ．当的长度取得最大值时，求点 P 的坐标及 的最小值；
将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线 ，点 B 的对应点为 F，M 是平移后抛物线
上一点，直线 交直线 于点 N，且．请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标，并写出求解点 M 的其中一种情况的过程．
如图，在 中， ， ，以为斜边在上方作等腰直角三角形
．
如图 1，若， ，求 的长度；
如图 2，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，延长交于点，连 接 ．点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ．求证：；
如图 3， ， ，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得
到线段 ，连接 ，点 在直线 上，连接 ， ，将 沿直线翻折至 所在平面内得到 ，连接 ．当 取得最小值时，连接， ，请直接写出
面积的最大值．
注意事项：
重庆市 2026 年初中学业水平考试数学试题
（全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
试题的答案书写在答．题．卡．上，不得在试题卷上直接作答；
作答前认真阅读答．题．卡．上的注意事项；
作图（包括作辅助线）请一律用黑．色．2．B．铅笔完成；
考试结束，由监考人员将试题卷和答．题．卡．一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线．
选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答．题．卡．上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑．
3 的倒数是（）
B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，
，
的倒数是 ．
四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（）
B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】从正面看到的视图有三列，从左到右正方形的个数依次是 2，1，1，据此判断即可．
【详解】解：观察几何体，从正面看： 第一列（左）有 2 层，看到 2 个正方形， 第二列（中）有 1 层，看到 1 个正方形， 第三列（右）有 1 层，看到 1 个正方形，
从正面看到的视图如下
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍求解即可．
【详解】 解：∵ 与 是同弧所对的圆周角与圆心角，
∵，
∴．
下列事件中，一定会发生的是（）
3. 2026 重庆马拉松于今年 1 月 18 日举行，
事总规模为
人．数据
用科学记数法表示为（）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解： 用科学记数法表示为
．
4. 如图，点 A，B，C 在 上．若
，则
的度数是（
）
从只有白球的袋中摸出白球
明天一定会下雨
随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数
抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项，选出一定会发生的事件．
【详解】解：A 选项中袋中只有白球，因此从袋中摸球一定只能摸出白球，该事件一定会发生．
B 选项明天是否下雨是不确定的，属于随机事件，不一定发生．
C 选项随意翻页得到的页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，不一定发生．
D 选项正方体骰子向上一面的点数最大为 ，不可能得到点数 ，属于不可能事件，一定不会发生．
醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中 ，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有 4 个氢原子，第②个图中有 6 个氢原子，第③个图中有 8个氢原子，第④个图中有 10 个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
即可．
【详解】解：
第①个图中有
个氢原子，
第②个图中有
个氢原子，
；
第③个图中有
第④个图中有
个氢原子，
个氢原子，
；
【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第 个图形中氢原子个数的公式，将 代入计算
；
第 个图中氢原子的个数为 ，
∴当 时，氢原子的个数为．
在反比例函数中，若，则 的取值范围为（）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数系数的符号判断 时 的增减性，再代入的端点值得到 的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数 中， ，
∴当时， 的取值范围为 ．
中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知 5 个大容器和 1 个小容器的总容量为 3 斛（斛是过去的一种量器），1 个大容器和 5 个小容器的总容量为 2 斛．大小容器的容量分别是多少斛？设 1 个大容器的容量为
斛，1 个小容器的容量为 斛，则可列方程组为（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 1 个大容器的容量为斛，1 个小容器的容量为 斛，根据“5 个大容器和 1 个小容器的总容量为 3 斛”和“1 个大容器和 5 个小容器的总容量为 2 斛”建立方程组．
【详解】解：设 1 个大容器的容量为斛，1 个小容器的容量为 斛，
∵5 个大容器和 1 个小容器的总容量为 3 斛，
∴ ，
∵1 个大容器和 5 个小容器的总容量为 2 斛，
∴ ，
因此可得方程组．
∴当
时，
随
的增大而减小，
当
当
时，
时，
，
，
如图，在正方形 中，为上一点，且 ，连接 ．过点 作 ，垂足为
，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 与的面积之比为（）
，求出 的长，进而求出 与 的面积即可．
【详解】解：设，
∴ ，，
∴，
在 和中，
，
∴，
∴，即，
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设
，则
，
，
，先得出
，
则可得
的长， 再过点 作
于点
，作
于点
，得出
，
∵
，
∴
，
，
∵四边形
是正方形，
∴
∴
，
，
，
，
∵
，
解得，
如图，过点 作于点 ，作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
解得
，
，
∴
∴，即，
，，
又∵ ，
∴，
∴，即，
解得 ，
∴， ，
∴ 与 的面积之比为．
【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形．
已知整式 ：，其中 ，为正整数，， ， ， ，为整数，
，且．下列说法：
①当 时，满足条件的所有整式 的和为 ；
②当 时，若函数 的图象关于 轴对称，则满足条件的整式 有且仅有 1 个；
③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有 2 个．其中正确的个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和 的取值，分别确定相应 的值，进而可得的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可．
【详解】解：①当 时， ，即 ，
，说法①正确；
②当 时，，，即，
∵ ， 为正整数，
∴ ，
当 时，则 ，解得
或
（舍去），此时
；
当 时，则 ，解得
或
（舍去），此时
；
当 时，则 ，解得
或
，此时或
；
当 时，则 ，解得
或
，此时 或
；
当 时，则 ，解得
则满足条件的所有整式 的和为
，此时
，
由题意可知，
为正整数，
，
为整数，且
，
∴
，
∵函数
的图象关于
轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴满足条件的整式 ，有且仅有 1 个；说法②正确；
③∵整式 是二次二项式，
∴ ，且 只有两个非零项，
同②可得： ， 为正整数，
∴当时， ，不能在有理数范围因式分解，舍去；
当 时，，能在有理数范围因式分解；当时， ，不能在有理数范围因式分解，舍去；
（Ⅱ）当 时， ， ， ，
∴，
∴
，即
，
∴
解得
，
，
∵
，
又∵
为正整数，
∴
，
，
∴
或
（舍去），
∴在这个二次二项式中，
（Ⅰ）当 时，
或
，
，
， ，
∴
，
∴，
∴只有符合，此时，能在有理数范围因式分解；
综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式 共有 2 个；说法③正确；所以说法正确的个数是 3 个．
填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答．题．卡．中对应的横线上．
某学校决定从九年级的五个备选节目 A，B，C，D，E 中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A 的概率为．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意可知，从五个备选节目中随机抽取 1 个，共有 种等可能的结果，其中抽到节目A 的结果只有种，
∴抽到节目A 的概率为．
如图，直线 ， 被直线所截．若 ， ，则的度数是．
【答案】 ##58 度
【解析】
【详解】解：∵ ，
∴ ．
满足的整数 的值可以是（写一个即可）．
【答案】 （答案不唯一， ， ， 任选其一即可）
【解析】
【分析】先估算无理数 和 的取值范围，再确定范围内的整数 ，任选一个整数即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，且 n 是整数，
∴n 的值可以是 3 或 4 或 5，
∴满足题意的 n 的值可以是 3．
若实数， 同时满足 ， ，则的值为．
【答案】
【解析】
【分析】根据 得到，由绝对值的非负性推出 ，则可推出 ，进而得到 ，解方程求出 y 的值，进而求出 x 的值，最后代入求值即可．
自然数 与 均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为 9，且与 的乘积为三位
【详解】解：∵
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴ 或
，
解得 或
，
当 时，
，此时不满足题意；
当 时，
，此时满足题意；
∴
．
数． 的最小值为；当 时，存在正整数，使得 ，则满足条件的所有的值之和为．
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】设两个自然数的十位上的数字为 （ ，且 为整数），自然数 的个位上的数字为
（ ，且 为整数），则自然数 的个位上的数字为 ，表示出 ，根据 的化简结果确 定其和 的关系，结合乘积为三位数的条件求出 的最小值，再利用平方差公式变形，根据完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有的和即可．
【详解】解：设两个自然数的十位上的数字为 （ ，且 为整数），自然数 的个位上的数字为
（ ，且 为整数），则自然数 的个位上的数字为 ，
∴ ， ，
∴，
，
要使最小，需 最小，
则当 时， 的最小值为，
此时，
由二次函数的性质可知，当 或 时， 的值最大，最大值为或
，符合题意．
当
时，
，
解得
，
∴
，且 为整数，
∴
∵
，
，
∴
，
又∵
为奇数，且
，
∴ 所有可能的取值为 ，
①当 ，即 时， ，，
∵ ，且 为整数，
∴当 时， ，
此时正整数 ，，符合题意；
当 时， ，
此时正整数，，不符合题意，舍去；
②当 ，即 时， ，，同理可得：没有符合条件的 ，使得正整数满足 ；
③当 ，即 时， ，，同理可得：没有符合条件的 ，使得正整数满足；
④当 ，即 时，，，同理可得：没有符合条件的 ，使得正整数满足；
⑤当 ，即时， ，，
当 时，，
此时正整数，，符合题意；
当 时，，
此时正整数 ，，不符合题意，舍去；综上，满足条件的所有的值为 7 和 21，它们的和为．
【点睛】本题的难点在于列出代数式，正确分类讨论．
如图，四边形 是平行四边形，点 ，在 上，，经过圆心，且 ， 垂足为，．连接 交 于点 ，连接 并延长交于点 ，，则 的长度为
， 的长度为．
【答案】①. ②.
如图，过点作于点 ，过点 作于点 ，连接，
∵ 经过圆心，且 ，
∴ ，
∴，
【解析】
【分析】先得出
，再在 中，利用勾股定理求解可得 的长度；过点
作
于点 ，过点 作
于点 ，连接 ，先求出 的长，再求出
的长，然后
解直角三角形可得
【详解】解：∵四边形
的长，进而可得 的长，最后根据求解即可．
是平行四边形， ，
∴
，
，
∵
∴
，
，
设
，
∵
∴
，
，
在
中，
，即，
解得
∴
，
，
．
【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形．
解答题：（本大题 9 个小题，第 17 题、第 18 题各 8 分，其余每题 10 分，共 86 分）解答
时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答．题．卡．中对应的位置上．
解不等式组：
【答案】
【解析】
【详解】解：
解不等式①得，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
又∵
∴
，
，
，
∴
．
解不等式②得 ，
将①和②的解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为 ．
先化简，再求值： ，其中．
【答案】
化简结果为，值为
【解析】
【详解】 解：
，且 时分式有意义
当 时，原式．
早在 2005 年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞活动．现从该学校七、八年级各随机抽取 20 名学生的竞成绩
（满分为 100 分，成绩均不低于 60 分），对七年级抽取 20 名学生的竞成绩进行整理，绘制了统计图：
A 组：
B 组：
C 组：
D 组：
（其中 表示竞成绩）
七年级抽取 20 名学生的竞成绩在C 组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89．
八年级抽取 20 名学生的竞成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，
93，93，93，95，97，100．
经计算发现，七年级抽取学生的竞成绩的众数是 89，八年级抽取学生的竞成绩的中位数是 84.5，七、 八年级抽取学生的竞成绩的平均数均为 84．
根据以上信息，解答下列问题：
请你直接写出条形统计图中 m 的值、七年级抽取学生的竞成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞
成绩的众数；
该学校七年级有学生 320 人，八年级有学生 300 人，请估计该学校七、八年级参加此次竞成绩不低于 90 分的学生人数共是多少？
根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞成绩较好？请说明理由（写出一条理 由即可）．
【答案】（1）6，86，93
（2）154 人（3）八年级此次竞成绩较好，理由如下：
∵八年级的众数 大于七年级的众数
∴八年级此次竞成绩较好
或七年级此次竞成绩较好，理由如下：
∵七年级的中位数大于八年级的中位数
∴七年级此次竞成绩较好
【解析】
【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出 B 组人数，然后根据中位数和众数的定义求解；
利用样本估计总体的方法求解；
根据中位数、众数分析判断即可．
【小问 1 详解】
解：七年级抽取 20 名学生的竞成绩中B 组人数；
∵共有 20 个数据
∴中位数为第 10 个数据和第 11 个数据的平均数
∴七年级抽取学生的竞成绩的中位数为；
∵八年级抽取 20 名学生的竞成绩中 93 出现的次数最多
∴八年级抽取学生的竞成绩的众数为 93；
【小问 2 详解】
解：（人），
∴估计该学校七、八年级参加此次竞成绩不低于 90 分的学生人数共是 154 人；
【小问 3 详解】略
综合与实践
在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
【问题解决】任务：
请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．
【答案】（1）解：作图如下：
（2）证明：由作图知， 是 的平分线，
∴，
【动手操作】
如图，在
中，
．用尺规完成基本作图：作出
的平分线，交 于点．
【问题提出】
他们猜想
，
，
之间存在以下数量关系：
．
【解析】
【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可；
（2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得 ，从而可证明猜想．
【小问 1 详解】解：略；
【小问 2 详解】证明：略．
列方程解下列问题：
某企业承担了一款智能机器人的 A，B 两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产 A 型配件的数量比每天生产 B 型配件的数量少个，且 天生产的 A 型配件的数量与天生产的 B 型配件的数量相等．
求该企业每天生产 A，B 型配件的数量分别是多少个？
如果该企业每天生产 A，B 型配件的数量分别减少 个和个，那么生产个 A 型配件的天数与生产 个 B 型配件的天数相同，求 的值．
【答案】（1）该企业每天生产 A 型配件的数量为 15 个，每天生产 B 型配件的数量为 45 个
（2） ．
【解析】
【分析】（1）设该企业每天生产 A 型配件的数量为 x 个，则每天生产 B 型配件的数量为个，根据
天生产的 A 型配件的数量与天生产的 B 型配件的数量相等建立方程求解即可；
（2）根据生产 个 A 型配件的天数与生产 个 B 型配件的天数相同建立方程求解即可．
【小问 1 详解】
解：设该企业每天生产 A 型配件的数量为 x 个，则每天生产 B 型配件的数量为个，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
∴
∴
∵
∴
，
，
，
，
．
由题意得， ，
解得，
∴ ，
答：该企业每天生产 A 型配件的数量为 15 个，每天生产 B 型配件的数量为 45 个；
【小问 2 详解】
解：由题意得，，解得 ，
检验，当 时，，
∴ 是原方程的解，且符合题意．
如图，四边形 是矩形，，．点以每秒 的速度沿方向运动， 点 在直线 上运动，且满足 ．点 与点 同时出发，以每秒 的速度沿折线 方向运动．设运动时间为秒 ，点 与点 的距离为，点 与点的距离为．
请直接写出 ， 关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围；
请在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）．
【答案】（1） （ ）；
（2）
或
【解析】
【分析】（1）求 的函数表达式：先根据点 E 的运动速度得到 ，再根据，将直角边
和代入三角形面积公式，可得出 即 的表达式；根据点 沿运动， 速度为 ，当 时， ，当 时，，分两种情况解答．
（2）根据 、 的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象．
∵点以每秒 的速度沿方向运动，点 在直线 上运动，且满足．运动时间秒，
，
∴ ，
∴，
∴
∴ （ ）；
∵点 沿运动， 速度为 ， ，
∴当 时，，
【小问 1 详解】
解：∵四边形
∴ ，
是矩形，
， ．
∴
（
），
当时，，
综上，．
x
0
1
2
3
4
5
6
8
8
4
2
1
6
5
4
2
0
2
4
6
10
【小问 2 详解】解：列表：
以表中每对 x、 的值和 x、 的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到 和 的图象．
由图象看出当时， 或．
重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门 ，猴山 ，古塔 ，游乐场 为景区内在同一平面内的四个景点．位于的正东方向千米处， 位于 的正南方向且位于的南偏西 方向， 位于 的南偏东 方向且位于的南偏东
方向．
求的长度（参考数据： ， ， ， ，结果保留小数点后 一位）；
现甲从 出发沿方向前往，乙从 出发沿 方向前往 ，两人同时出发，乙的速度是甲的
速度的 倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为千米，求此时甲离
处多少千米？
【答案】（1）7.4 千米
（2） 千米或 4 千米
系得路程关系，设 千米，则 千米，利用含 30 度直角三角形的性质及勾股定理求得
，再由勾股定理建立方程即可求解．
【小问 1 详解】
【解析】
【分析】（1）过点 B 作
于点 E，由含 30 度直角三角形的性质求得
，
，由勾股定理求得
，再由勾股定理即可求得
（2）假设甲走到 F 处，乙走到 G
；
处时，两人的直线距离为 4 千米，过点 F 作
于点 H，由速度关
解：如图，过点 B 作 于点 E，由题意得，
∴千米，
∵， ，
∴ ，
∴ 千米，
由勾股定理得 千米，
∵，
∴ ，
∴ 千米，
由勾股定理得（千米）．
答： 的长度为 7.4 千米．
【小问 2 详解】
解：假设甲走到 F 处，乙走到 G 处时，两人的直线距离为 4 千米，即 千米，如图，过点 F 作 于点 H，
∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的 2 倍，
∴乙的路程是甲的路程的 2 倍，即，
设 千米，则千米，千米，
∵ ， ，
∴千米，
由勾股定理得千米，千米，
解得
，
则
在 中，由勾股定理得，整理得 ，
（千米），或 （千米）．答：甲离 处 千米或 4 千米．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于点 A， ，与 y 轴交于点 ，连接 ， ．
求抛物线的表达式；
P 是线段上方抛物线上的一动点，过点 P 作，垂足为 D，E 是 x 轴上一动点，连接 ．当的长度取得最大值时，求点 P 的坐标及 的最小值；
将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线 ，点 B 的对应点为 F，M 是平移后抛物线
上一点，直线 交直线 于点 N，且．请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标，并写出求解点 M 的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2），
（3）点 M 的坐标为或，过程如下：
∵ ，将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线
，
∴平移方式为将抛物线 向左平移 1 个单位，向下平移 1 个单位，
∴ ，
∵ ，点 B 的对应点为 F，
∴ ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
∴，解得，
∴直线 的表达式为 ，
∵直线 在一三象限的角平分线上，与 x 轴的夹角为 ，
∴直线 与直线 与 x 轴所成的夹角相等，
∴，
∴，
情况 1：
如图，取点，当点 N 在 x 轴上方时，
∵点 N 在直线 上，
∴设，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴可得直线 的表达式为 ，
∴将和联立得，，
解得，（舍去），
∴；
∵
，
∴
∵
∴
，
，
，
∴
∴
∵
∴
，
，
，
，
，
∴
，
∴
，
情况 2：
如图，当点 N 在 x 轴下方时，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
∴
∵
∴
，
，
，
过点 C 作 交直线 于点 L， 与 x 轴交点 K，过点 A 作交直线 于点 N，
，
此时直线 与抛物线 的交点即为所求的 M，
∵，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即，
设直线 的解析式为，
将点 C，K 分别代入得：，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为，将点 代入， ，
∴直线 的解析式为 ，
将 和联立得，
解得，（舍去），
∴ ，
综上所述，点 M 的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）首先求出所在直线表达式为 ，设过点 P 与平行的直线的表达式为 ，当直线 与抛物线 只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出 ，得到；在 x 轴下方作射线 ，使，过点 E 作
于点 F，连接 ，表示出，判断出当点 P，E，F 三点共线，且 时， 取得最小值，即 的长度，如图，过点 P 作轴于点 I，然后利用勾股定理求解即可；
解得
∴抛物线的表达式为 ．
【小问 2 详解】
解：∵ ，
设所在直线表达式为 ，
∴
∴
∴ 所在直线表达式为 ，
∵P 是线段上方抛物线上的一动点， ，
设过点 P 与平行的直线的表达式为 ，
∴当直线 与抛物线 只有一个交点时，的长度取得最大值，
联立直线 与抛物线 ，得：，
（3）首先求出
，然后分当点 N 在 x 轴上方时和当点 N 在 x 轴下方时两种情况求解即
可．
【小问 1 详解】
解：将，
代入
得，
∴
整理得，
∴
解得 ，
代入 得，
解得 ，
将 代入
∴此时；
如图，在 x 轴下方作射线 ，使，过点 E 作于点 F，连接 ，
∴，
∴，
∴当点 P，E，F 三点共线，且 时， 取得最小值，即的长度，如图，过点 P 作 轴于点 I，
∵， ，
∴ 是等腰直角三角形，，
∵ 轴，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，，
∵抛物线 ，
∴当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为．
【小问 3 详解】略
如图，在 中， ， ，以为斜边在上方作等腰直角三角形
．
如图 1，若， ，求 的长度；
如图 2，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，延长交于点，连 接 ．点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ．求证：；
如图 3， ， ，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得
到线段 ，连接 ，点 在直线 上，连接 ， ，将 沿直线翻折至 所在平面内得到 ，连接 ．当 取得最小值时，连接， ，请直接写出 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，
∴
，
∵
∴
，
，即
，
在
和
中，
，
∴，
∴ ，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴点 是线段 的中点，又点 是线段的中点，
∴ ，
∵，
∴
∵
∴
∴
，
，即是等腰直角三角形，
，
，
∴
，解得
；
∵
∴
，
，即
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
又
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
【分析】（1）利用勾股定理和解直角三角形求解即可；
结合“手拉手”模型，证得，利用全等证得是等腰直角三角形，所以得到
，再利用得到新条件证明，得到是 的中位线，利用等量代换证出最终结果；
先利用“手拉手”模型确定点的运动轨迹，再利用将军饮马确定点的具体位置；
接着利用对称性得出，从而确定点 是在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，根据圆上的点到直线的最大距离需过圆心进行解答．
【小问 1 详解】
解：∵三角形是等腰直角三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴，即，解得 ；
【小问 2 详解】证明：略
【小问 3 详解】
解：如图所示，连接，
∴
，即
，
∵
∴
．
，
（3）
【解析】
∴作点 关于直线的对称点 ，连接 交直线为点，此时 最短，如下图所示，
，
连接交直线于点，过点 作 垂直直线，交直线于点，
∴四边形 是矩形，
∴，
在等腰直角三角形中， ，
∵线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
∴点
在与
垂直且垂足为点
，
的直线上，
∴，
∴，
在 中， ，
∴在 中， ；
∵ 沿直线 翻折至所在平面内得到 ，
∴点 是关于直线 的对称点，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴点 实在以 为圆心， 长为半径的圆上运动，过点 作交 于点 ，
∴，
∴欲面积的最大，则需要最大，
∴
，解得
，
在直角三角形
中，
，解得
，
则
由对称性可知
，
，
由题意知
，
，
∴
，
∴
，
又，
过圆心时取得最大值，如下图所示，
，
在和中，，即，解得 ，
，
∴，
∴，
∴面积的最大值为．