湖南省永州市2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．B．2C．0D．5
2．湘超决赛现场观赛人数约43000人，将43000这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．湘超永州队球员的平均年龄不到20岁，部分核心球员的年龄为：20，19，17，22，20；这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．17和20B．19和20C．20和22D．20和20
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
C．对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查
D．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
7．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
8．一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．5D．10
二、填空题
11．因式分解：______．
12．计算：______．
13．一个n边形的内角和比四边形的内角和多，则n为______．
14．公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是______．
15．已知，则分式的值为______．
16．在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________．
三、解答题
17．计算：．
18．为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；
(2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
19．道县西洲公园碧水环绕，绿树成荫，文昌阁点缀其间，宛如城市中的生态明珠．数学实践活动小组想去测量文昌阁建筑物的高．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为，沿方向前进到达B处，测得楼顶C处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数，参考数据：，）
20．长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店．已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元．
(1)求A产品和B产品的单价各是多少元？
(2)开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个．请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
21．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下：
，，
，，，
……
新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
，，，，
……
利用以上规律计算：
(1)______，______；
(2)计算：．
22．如图，交于点，点在线段上，且，，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
23．已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
(1)如图①，求的大小；
(2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
24．如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点．
(1)求m的值；
(2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值；
(3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标；
(4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值．
参考答案
1．A
解：∵，
∴最小的数是．
2．B
解：将43000这个数用科学记数法表示为．
3．C
解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
4．D
解：把这组数据从小到大排列为17，19，20，20，22，位于正中间的数为20，
∴中位数为20，
∵20出现的次数最多，
∴众数为20．
5．B
解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
6．B
解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意；
C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
故选：B．
7．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．A
解：由题意，从中随机摸出一个球，是红球的概率是：；
故选A．
9．A
解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，
根据题意，得．
故选：A．
10．C
解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．
解：．
12．
解：
故答案为：
13．6
解：∵n边形的内角和比四边形的内角和多，
∴，
解得：．
14．/
解：设动力臂是，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
15．10
解：已知等式整理得，
则原式．
故答案为：．
16．/
解；∵关于直线的对称点为，
∴，
设，则，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【详解】解：
18．(1)①40；②见解析；③90
(2)280人
（1）解：①∵ 科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，
∴ 调查总人数为（名）．
故答案为：40；
② 数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即（人）．
补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；
③ 扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为
故答案为：90；
（2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为，
∵ 该校共有800名学生参加课程，
∴ 估计喜欢计算思维课程的学生人数为（人）．
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
19．此建筑物的高度约为米
解：在中，，
设为，则，
在中，，
，
，
，
，
解得．
答： 此建筑物的高度约为米．
20．(1)A产品的单价是16元， B产品的单价是10元
(2)购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元
（1）解：设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，
答：A产品的单价是16元， B产品的单价是10元；
（2）解：设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意得：
，
∵A产品的数量不少于70个，
∴，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，最小值为1920，
答：购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元．
21．(1)；
(2)6
（1）解：根据可知，
根据可知；
（2）解：
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴ ，
又∵，
∴．
23．(1)
(2)3，
（1）解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
（2）由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
24．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：∵抛物线与直线交于点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知直线 的解析式为，
∵P是直线下方抛物线上一点
∴设点，
∵过点P作平行于y轴交于N，
∴点，
那么，
则最大值为；
（3）解：∵点，
∴，
∵，
∴，解得，
则D点纵坐标为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则点，
∵抛物线与x轴交于点A和点B，
∴，解得，，
∴点，
设的解解析式为：，
则，
解得：
则的解解析式为：，
联立，
解得：或，
则．
（4）解：在x轴取点P，使，连接，如图，
由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴的最小值为．