2025-2026学年北京市海淀区教师进修学校八年级（下）期末数学试卷

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1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，，C. 3，4，6D. 3，3，3
3.下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知一次函数y=-3x+b,点（x1，y1），（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2，则下列关系正确的是（ ）
A. y1＜y2B. y1=y2C. y1＞y2D. 不确定
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n的图象如图，则方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，点E是AC上的中点，CD⊥AB于点D，连接DE，若AD=6，CD=8，则DE的长度为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
7.如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为24m,摩天轮按逆时针方向作匀速运动.摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t（min）后，点P的高度h与t的函数图象如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 当t＞0时，h随t的增大而增大B. 摩天轮的直径为42m
C. P点离地面最高为48mD. P点离地面35m时，摩天轮运动了4min
8.我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试.测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）.根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（ ）
A. 可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班
B. 可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班
C. 可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班
D. 若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数
9.△ABC中，D为AC边上点，BD平分∠ABC，过点D作DE∥BC，与AB交于点E，作DF∥AB，与BC交于点F，连接EF.现有以下结论：
①EF⊥BD；
②当AB=BC时，四边形DEFC是平行四边形；
③当△ABC是正三角形时，四边形DEFC是菱形；
④保持AB、BC的长度不变，改变∠ABC大小，一定可以使得点F是BC中点.
其中正确的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图，P是正方形ABCD的边CD右侧一点，CP=CD，∠PCD为锐角，连PB，PD，∠DCP的平分线交BP于Q点，过点B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE，则以下结论：①∠BPD=45°；②PB=2PQ+CQ；③PD=AE；④若点D为PE中点，PB=6，则四边形ABPE的面积为，其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12.在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB-∠DCE= °．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是 .
14.某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示：
如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按2：3：5的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是 分.
15.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，PC的长度y（单位：cm）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象.根据所给信息，点C到AB的距离是 .
16.某商店共有a种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三个颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包m元，蓝色口罩价格均为每包n元（66≤m＜n≤74，且m,n均为整数）.甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同.结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元.
（1）若m=69，n=71，则a的值为 ；
（2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费 元.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共9小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AC、BC的中点，连接DE，延长AB到点F，使得，连接DF交BC于点O.求证：OB=OE.
19.(本小题5分)
主题实践：
根据上述的素材，解决以下问题：
（1）根据表中数据的规律，表格中a=______；
（2）若y为x的一次函数，请求出y与x之间的函数关系式.
（3）若（2）中函数的图象上有A（m,c），B（m+2，d）两点，求d-c的值.
20.(本小题5分)
已知：△ABC为锐角三角形，AB=AC.
求作：菱形ABDC.
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；
③以点O为圆心，以AO长为半径作弧，与射线AE交于点D，连接CD，BD；四边形ABDC就是所求作的菱形.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵AB=AC，AE平分∠CAB，
∴CO= ______.
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形.
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形（______）（填推理的依据）.
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（-1，3）和（2，0）.
（1）求k,b的值；
（2）当x＞-1时，对于x的每一个值，函数y=mx+4（m≠0）的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围.
22.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，E是CD的中点，过点O，E分别作直线BC的垂线，垂足分别为G，F.
（1）求证：四边形OGFE是矩形；
（2）若∠BCO=45°，OD=，OG=1，求CF的长.
23.(本小题5分)
从文本生成到语音识别，从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革.为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计.数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下：
a.信息处理速度得分统计图：
b.信息识别准确度得分统计图：
c.信息处理速度和信息识别准确度得分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中a=______，b=______；
（2）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分.甲、乙两款AI软件的开发公司加大了研发投入.数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查.经调查：甲款AI软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款AI软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变.在第二次调查中，甲款AI软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为甲，；乙款AI软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，，则甲______乙，______4.84，______5.74，（填“＞”“＜”“=”）.
24.(本小题5分)
某芯片公司设计了两个方案用以提升某类AI芯片的产量和性能.将第x批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为y1%和y2%，对于给定的方案，可以认为y是x的函数.部分数据如下：
对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变.对于给定的方案，在平面直角坐标系xOy中描出各数对（x,y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线C1和C2，曲线C1如图所示.
（1）当整数x的值为______时，按方案一优化后的成品率首次超过85%；
（2）写出表中的m值（m为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线C2；
（3）按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于90%的批次称为合格批次.
①根据上述函数关系，该公司最早在第______天（整数）开始生产合格批次的芯片；
②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过______天（整数）完成这个订单.
25.(本小题6分)
在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE.
（1）如图1，求证：∠BGC=2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明.
​​​​​​​
26.(本小题6分)
对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．
（1）当原点正方形边长为4时，
①在点P1（0，0），P2（-1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是______；
②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；
（2）一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】x≥2
12.【答案】45
13.【答案】5
14.【答案】86
15.【答案】
16.【答案】20
1350

17.【答案】

18.【答案】在△ABC中，D，E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，，
∴∠ODE=∠OFB，
∵，
∴DE=BF，
在△OBF和△OED中，
，
∴△OBF≌△OED（AAS），
∴OB=OE．
19.【答案】9.6
y=4.2x-3
8.4
20.【答案】解：（1）如图，四边形ABDC为所求作；
（2）BO；一组邻边相等的平行四边形为菱形．
21.【答案】k的值为-1，b的值为2.且m≠0
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，
∵OG⊥BC，EF⊥BC，
∴OG∥EF，∠OGF=90°，
∴四边形OGFE是平行四边形，
又∵∠OGF=90°，
∴平行四边形OGFE是矩形；
（2）CF的长为.

23.【答案】9;7.5
＜;=;＜
24.【答案】4 93， 10;48
25.【答案】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，
∴AD=AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BG∥AF，
∴∠AEB=∠GBE，
∴∠ABE=∠AEB=∠GBE，
∴∠ABG=2∠AEB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BGC=∠ABG，
∴∠BGC=2∠AEB；
（2）补全图2如下：
线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF=AH+DG，理由如下：
在DC上取DN=AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ADN=∠BAH=90°，
在△ADN和△BAH中，
∴△ADN≌△BAH（SAS），
∴∠DNA=∠AHB，∠DAN=∠ABH，
∵∠DNA+∠DAN=90°，
∴∠DAN+∠AHB=90°，
∴∠APH=90°，
∴∠BPM=∠BPA=90°，
由（1）知∠ABE=∠GBE，
在△ABP和△MBP中，
,
∴△ABP≌△MBP（ASA），
∴AB=MB，
在△ABH和△MBH中，
,
∴△ABH≌△MBH（SAS），
∴∠HAB=∠HMB=90°，
∴A、H、M、B共圆，
∴∠AHB=∠AMB=∠GMN，
∴∠DNA=∠GMN，
∴GN=GM，
∵CF∥AB，BG∥AF，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴BG=AF，
∵AE=AD=AB=MB，
∴EF=GM，
∴EF=GN，
∵GN=DG+DN，
∴EF=DG+AH．
26.【答案】（1）①P₂和P₃；
②如图所示：阴影部分就是原点正方形友好点P的范围，
由计算可得，点P横坐标的取值范围是：
1≤x≤2+或-2-≤x≤-1；
（2）一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（2，0），B（0，2），
∵线段AB上存在原点正方形的友好点，
如图所示：原点正方形边长a的取值范围2-≤a≤6．
​​​​​​​
测试类别
平时测试
期中测试
期末测试
第1次
第2次
第3次
成绩/分
84
85
86
80
90
生活情境
某市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）.
数学数据
对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据：
盆栽个数x
2
3
4
5
6
…
护栏总长y（米）
5.4
a
13.8
18
22.2
…
信息处理速度得分
信息识别准确度得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.3
7
a
5.6
4.84
乙
7.65
b
7
5.6
5.74
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
70
78
84
88
90
91
92
93
…
y2
74
81
87
91
m
95
97
98
…