专题05 直线与圆-（2024-2026）三年高考数学真题汇编（含答案）

这是一份专题05 直线与圆-（2024-2026）三年高考数学真题汇编（含答案），共21页。试卷主要包含了直线的倾斜角为______等内容，欢迎下载使用。

考点01 直线与方程
1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________.
【答案】/0.6
【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】根据点到直线的距离公式可得.
故答案为：.
2．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
3．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
4．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角为______．
【答案】
【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，，
将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为，
所以，
所以，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：.
考点02 直线与圆的方程
1．（2025·全国I卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
5．（2026·全国I卷·高考真题）（多选）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（ ）
A．可以取任意实数B．满足的直线共有条
C．满足的直线多于条D．当时，的最大值为
【答案】BCD
【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可.
【详解】记到直线的距离分别为，则，，.
∵ 直线与三个圆均有两个交点，
∴ ，，，对应弦长为.
A：∵ 解，得，
解，得，
不妨取，
∵，
∴，记，
解，得，记，
当，即时，，
此时不存在这样的直线与三个圆都相交.
∴ 不能取任意实数，A错误.
B：∵ ，
∴ .
由得，平方得，即或.
①当时，直线为，由得，解得，
此时，符合条件，对应直线条.
②当时，直线为，由得，解得，
此时，符合条件，对应直线条.
综上，共条直线满足条件，B正确.
C：令，
∴ ，，
令，则，
∴ .
令，即，
平方整理可得，解得或，即或，
经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确.
D：当时，，，
∴ ，，
令，则，
∴ .
设，求导得，
令得，此时取最大值，
∴ 的最大值为，D正确.

【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误.
6．（2026·全国II卷·高考真题） （多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．时，圆与轴相切
C．当时，圆与圆相切
D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为
【答案】BC
【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断；
对于B，利用圆心到的距离即可判断；
对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；
对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解.
【详解】由：，化简可得，
所以，的圆心，半径，故A错误；
对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确；
对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确；
对于D，由，化简得：，
所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误.
7．（2024·新课标II卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
8．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________．
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径.
由直线与圆相切，则得，
解得.
9．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
10．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________．
【答案】
【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果.
【详解】根据题意不妨设，，，，
则，
由可得，由可得；
设，故在以为圆心，为半径的圆上；
在以为圆心，1为半径的圆上；
过作于，则即为在上的数量投影，如下所示：
因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长，
设，即，故，
因为此时为定长，且，
故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示：
在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故；
在△中，，，
故，因为,
故在直角三角形中，，则，即；
在四边形中，因为，故，
当且仅当时等号成立，从而.
综上所述：在方向上的数量投影的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值.
11．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）

【答案】
【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.
【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，

不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为，
化简得，所以圆心为，半径为，且经过点
即，化简得，
解得，
结合题意可得，故圆的周长为.
故答案为：
12．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______．
【答案】/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
13．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，．
(1)求所在椭圆的离心率；
(2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标；
(3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率；
（2）问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，且切线与有交点，设切线方程，利用与圆相切关系求参数，进而确定P的坐标；
（3）设，，联立椭圆方程，结合韦达定理、判别式得，注意讨论、，确定中点为，再结合、求参数范围.
【详解】（1）由，则，即离心率为；
（2）由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，
且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为，
所以，可得，则或，
当，则切线为，联立，可得，
则或，故此时，满足；
当，则切线为，联立，可得，
则或，故此时，不满足；
综上，.
（3）由题设，直线的斜率存在，可设，，
联立，整理得，
其中，即，
所以，，则，
，
所以且，故，
当时，则且，则，此时，满足；
当，而的中点为，又，
则，即，
且，
，
所以，则，
所以，则，故
所以，则.
综上，.
【点睛】关键点点睛：第三问，设，，根据已知得到，且、的应用为关键
考点分类
三年考情（2024-2026）
命题规律
考点01直线与方程
2026 年：上海卷；
2025 年：上海卷；
2024 年：北京卷、上海卷；
以选择、填空题为主，属于基础必考题型
侧重考查直线斜率、倾斜角、直线方程、点到直线距离公式；常结合动点、曲线分析距离、面积最值，突出数形结合思想，设问简洁、侧重公式直接应用。
考点02直线与圆的方程及位置关系
2026 年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷；
2025 年：全国Ⅰ卷、天津卷、上海卷；
2024 年：全国甲卷、新课标Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；
选择、填空、多选、解答题均有考查，综合性强，区分度较高
核心考查圆的方程、直线与圆 / 圆与圆的位置关系、弦长、切线问题；多设置多选题，常与抛物线、椭圆、向量综合命题；频繁考查定点、定值、最值类问题，解题侧重几何性质与代数运算结合。