广东潮州市湘桥区城西中学等校2025-2026学年下学期九年级数学科综合练习题

这是一份广东潮州市湘桥区城西中学等校2025-2026学年下学期九年级数学科综合练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，则该几何体有可能是（ ）
A．球B．圆锥C．圆柱D．三棱柱
2． 下列各点中，在反比例函数y=6x的图象上的是（ ）
A．(−2,3)B．(2,−3)C．(2,3)D．(3,3)
3． 在△ABC中，∠A=60°，则csA=（ ）
A．12B．22C．32D．1
4． 如图，直线l1∥l2∥l3，直线a,b与l1,l2,l3分别交于点A,B,C和点D,E,F．若AB:BC=2:3，EF=6，则DE的长是（ ）
A．4B．6C．9D．12
5． 已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限内，图象上有两个点分别为A(3,y1)，B(5,y2)，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1>y2B．y1=y2C．y10)，得：3=m2，
解得m=6，
∴反比例函数解析式为：y=6x(x>0)，
当x=4时，y=64=32，
∴C(4,32)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A(2,3)，C(4,32)代入，得：3=2k+b32=4k+b，
∴k=−34b=92，
∴直线AC的解析式为y=−34x+92；
解：y=6x(x>0)，y=−34x+92
（2）解：20)．
（2）解：当x=4时，代入y=600x，得y=6004=150，
∴托盘B中砝码的质量为150g；
（3）解：设托盘B移动前和移动后与支点O的距离分别为acm，bcm．
∵移动前托盘B中的砝码质量为100g，
∴100=600a，
∴a=6．
∵移动后托盘B中的砝码质量为120g，
∴b=5，
∴a−b=6−5=1，∴托盘B应该向左移动1cm．
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）本题考查反比例函数的实际应用与待定系数法求解析式，根据表格中x与y的乘积为定值，可判断函数类型为反比例函数。先根据表格数据在坐标系中描点，用平滑曲线连接得到函数图象；再设反比例函数的一般形式y=kx，代入一组x、y的数值求出k的值，即可确定函数表达式；
（2）本题考查反比例函数的函数值计算，将自变量x=4代入已求得的反比例函数解析式中，直接计算即可得到对应砝码的质量；
（3）本题考查反比例函数的实际应用，先分别将增加前后的砝码质量代入函数解析式，求出对应托盘与支点的距离；通过比较两个距离的大小，计算差值，结合杠杆原理中砝码质量增大则力臂减小的规律，即可判断托盘的移动方向与移动距离。
22．【答案】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=90°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠OAD=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=90°，即∠BAO=90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴ACAD=BCBA，
由BC=2OC知，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，
在Rt△BAO中，AB=OB2−OA2=22r，
在Rt△CAD中，tan∠ADC=ACAD=BCBA=2r22r=22，
即tan∠ADB=22；
（3）解：在（2）的条件下，AB=22r=26，
∴r=3，
∴CD=23，
在Rt△CAD中，ACAD=22，AC2+AD2=CD2，
解得AC=2，AD=22，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∵∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴ACAE=APAD，
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×22=42．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线的判定，核心是证明半径与直线垂直。连接OA，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠CAD=90°，即∠OAC+∠OAD=90°；由半径相等推出∠OAD=∠ODA，结合已知∠BAC=∠ADB进行等量代换，得到∠BAC+∠OAC=90°，即OA垂直于AB，根据切线的判定定理即可证明AB是圆的切线；
（2）本题考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形。先通过两角分别相等证明ΔBCA∽ΔBAD，得到对应边成比例ACAD=BCBA；设圆的半径为r，表示出BC、OB的长度，在RtΔBAO中利用勾股定理求出AB的长度；最后在RtΔCAD中，根据正切的定义结合边的比例关系，即可求出tan∠ADB的值；
（3）本题考查相似三角形与圆的综合计算，先根据AB的长度求出圆的半径，进而得到直径CD的长度；结合上一问的边的比例与勾股定理，求出AC、AD的长度；再由角平分线得到一组等角，结合同弧所对的圆周角相等，证明ΔCAP∽ΔEAD，根据相似三角形对应边成比例得到乘积式，代入AC与AD的长度即可求得AE⋅AP的值。
23．【答案】（1）45°；2
（2）如图，
根据题意得△AEF∽△AOB，
∴∠EAF=∠OAB，AFAB=AEAO，
∴∠FAB=∠EAO，AFAE=ABAO，
∴△AFB∽△AEO，
∴BFOE=ABAO，
∵∠OAB=45°，∠AOB=90°，
∴ABAO=2，
∴BFOE=ABAO=2；
（3）BFOE的值与α无关，理由如下，
如图，
同理可证△AFB∽△AEO，
∴BFOE=ABAO，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO=BO，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
∴AB=2BG，cs∠ABO=BGOB=BGOA=cs30°=32，
∴ABOA=3，
∴BFOE=ABAO=3，
∴BFOE的值与α无关；
（4）同理可证，∠BAO=β2，BFOE=ABOA=2csβ2，
∴BF=OE⋅2csβ2，BA=OB⋅2csβ2，
∵BE=OE+OB，
∴BF+BA=OE⋅2csβ2+OB⋅2csβ2
=2(OE+OB)csβ2=2BEcsβ2，
即BF+BA=2BEcsβ2．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠OAB=∠DAC=45°，AD=2OA，
∴旋转角为45°，k=ADOA=2，
故答案为：45°；2；
【分析】（1）本题考查正方形的性质与旋转放缩变换的特征，旋转角为对应边的夹角，即AB与AD的夹角，结合正方形对角线平分内角的性质可得到旋转角度；相似比k为对应边AD与AO的比值，根据正方形对角线与边长的比例关系，代入计算即可得到k的值；
（2）本题考查相似三角形的判定与性质，首先由旋转放缩的性质可知ΔAEF∽ΔAOB，得到对应角相等、对应边成比例；通过角的和差关系推出∠FAB=∠EAO，结合边的比例关系，根据两边成比例且夹角相等判定ΔAFB∽ΔAEO，从而得到BFOE=ABAO；最后结合正方形中AB与AO的比例关系，即可求出比值；
（3）本题考查菱形背景下的相似三角形探究，类比第(2)问的方法，同样通过旋转放缩推出角相等、边成比例，证明ΔAFB∽ΔAEO，得到比值等于ABAO；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，得到OA=OB，结合菱形对角线平分内角得到∠ABO=30°，通过作垂线构造直角三角形，利用余弦函数求出AB与OA的比值，即可确定BFOE的值，验证其与旋转角α无关；
（4）本题考查一般化的几何关系探究，类比前面的推导思路，先得出∠BAO=β2，并推导出BFOE=ABOA=2csβ2，同理得到BA与OB的数量关系；再根据线段和BE=OE+OB，将BF、BA分别用OE、OB表示后代入，整理即可得到三条线段之间的数量关系式。托盘B与支点O的距离x/cm
1
1.5
2
2.5
3
托盘B中的砝码质量y/g
600
400
300
240
200