内蒙古赤峰市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份内蒙古赤峰市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了 函数的零点个数是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码原码粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔涂黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带，割纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为自然数集是全体非负整数构成的集合，
所以．
已知，
则．
2. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可．
【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行，
故不一定成立，即充分性不成立；
再验证必要性：当且时，，必要性成立．
综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件．
3. 已知直线：和直线：，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为，
直线：，可变形为，其斜率为，
因为，
所以，解得．
4. 若棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方体的对角线就是球的直径及球的表面积公式即可求解．
【详解】设正方体的体对角线长为，球的半径为,则
由题意可知，正方体的对角线就是球的直径，即,
所以，解得.
所以球的表面积为.
故选：C．
5. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式即可求解．
【详解】设“第1次抽到几何题”为事件，“第2次抽到代数题”为事件，
则，
所以．
6. 已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数.
【详解】对任意，将通项公式裂项得： ，则数列前n项和，
代入裂项结果可得： 中间项全部抵消，化简得： .
由题意，列方程： 交叉相乘解得，即.
7. 函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可.
【详解】令，则，
在同一坐标系作出两函数图象，

从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点，
又，所以也是的两个零点，
且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点，
则总共有3个零点，
故选：D
8. 已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得，，得，
则，得，等号成立时，
故的最大值为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（ ）
A. 数列的公差B. 数列的通项公式
C. 数列的前项和D. 数列是公比为2的等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可.
【详解】选项A：设等差数列的公差为，由，可得：
，代入得，解得，故A正确.
选项B：等差数列通项公式为，故B错误.
选项C：前项和，故C正确.
选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确.
10. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有出现．如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（ ）
A. 三角形的两个腰上的数字都是1
B. 在第8行中，从左到右第5个数字是70
C. 第9行所有数字之和为1024
D. 在第2026行所有数字中，从左到右第1014个数字最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据杨辉三角的性质及二项式系数的性质分别判断即可．
【详解】对于A，由杨辉三角的定义及图形可知，三角形的两个腰上的数字都是1，
即和，故选项A正确；
选项B：第8行的数字对应展开式的二项式系数，即，
从左到右第5个数字对应，即，故选项B正确；
选项C：第行所有数字之和为，所以第9行所有数字之和为，而，故选项C错误；
选项D：第2026行共有个数字，因为为偶数，
所以二项式系数在时取得最大值，
此时对应的是从左到右第个数字，故选项D正确．
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数的极大值点为
B. 当时，函数在上的值域为
C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
D. 存在实数使函数的图象是轴对称图形
【答案】BD
【解析】
【分析】当时，求得，得到的极大值点，可判定A错误；求得在上的单调性，得到值域，可判定B正确；求得，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可判定C错误；当时，得到，求得为偶函数，可判定D正确.
【详解】对于A，当时，，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，即函数的极大值点为，所以A错误；
对于B，由选项A得，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又由，
所以函数在上的值域为，所以B正确；
对于C，由函数，可得，
若函数在上单调递增，可得在上恒成立，
则满足，解得，即实数的取值范围是，所以C错误；
当时，可得，则，
因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
所以存在实数使函数的图象是轴对称图形，所以D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________.
【答案】
【解析】
【详解】双曲线的焦点在轴上，半轴长，则渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，则，即半焦距，
因此的离心率为.
13. 已知复数是关于的方程的一个根，则________________.
【答案】17
【解析】
【详解】由题意得，，即，得.
14. 如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长.
【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为，
则，,
因为是的重心，所以，
因为是棱的中点，所以， 所以,
因为点在线段上，且，所以，
则，
所以
，
所以，即线段的长度为.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 函数（其中）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角的对边分别为，若，，且的面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求出周期 和 ，代入最高点坐标求得 ，从而得到函数的解析式；
（2）由 求出角 的值，再利用三角形面积公式，由余弦定理求解即可.
【小问1详解】
设函数的周期为，由图可知：，
又，所以，
因为，所以，
即，又，所以，所以.
【小问2详解】
由，则，
又，所以，
由，
由余弦定理得：，所以.
16. 某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数；
（2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据频率分布直方图计算各组频率，确定第百分位数位于区间内，利用面积比例列方程求解；
(2)计算“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，根据分层抽样确定抽取的人中两类人的人数，确定随机变量的取值，利用超几何分布概率公式计算概率并求期望.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，各组的频率分别为：
: ， : ， : ， : ， : ， : ， : .
前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以第百分位数位于第组内.
设第百分位数为， 则， 解得.
故这名学生日行步数的第百分位数为.
【小问2详解】
样本中“不健康生活方式者”
的人数为人，
“超健康生活方式者”（步数不少于千步）的人数为人.
采用分层随机抽样的方法抽取人，
则抽取的“不健康生活方式者”人数为人，
抽取的“超健康生活方式者”人数为人.
从这人中随机抽取人，表示抽取的人中“超健康生活方式者”的人数，
则的可能取值为.
， ， ， .
所以的分布列为：
.
17. 如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.

（1）求证：平面；
（2）若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）因为，，所以，
又因为，则，所以，翻折后，
又因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）
【解析】
【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直；
(2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知，
所以，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
因为在线段上，且，则，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.

18. 已知曲线上的动点与点，的距离的和等于.
（1）求曲线的标准方程；
（2）直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，即可求解；
（2）联立方程组，根据直线与曲线相切，求得，再由根与系数的关系，求得，得到，求得的方程为，得到的坐标，根据的面积为，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：因为曲线上的动点与点，点的距离的和等于，
可得，且，
由椭圆的定义，可得，所以，则，
所以曲线的标准方程为.
【小问2详解】
解：联立方程组，整理得
因为直线与曲线有唯一公共点，即直线与曲线相切，
所以，即，整理得，
设，可得，
即，所以直线的方程为，可得，
令，可得；令，可得，
所以的面积为，
整理得，即，解得或，
所以或，即实数的值为或.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）（ⅰ）讨论函数的单调性；
（ⅱ）若有两个极值点分别为，，且在上不单调，记（为的导函数），证明：.
【答案】（1）；
（2）
（i）①，在单调递增；
②，在单调递增，在单调递减；
③，在单调递增，在单调递减；
（ii）有两个极值点分别为，，且在上不单调，
由（i）结论得，两个极值点，因为，
所以，
则，
要证不等式等价于证明，即证，
令，，
仅当时取等号，则在单调递增，于是，
则成立，不等式得证.
【解析】
【分析】(1)先求导得切点斜率，再代点写出切线方程；
(2)(i)导函数因式分解后，以参数和1的大小分界，就能清晰划分单调区间；
(ii)先化简代入极值点转化差值，再构造单变量函数用单调性放缩证不等式.
【小问1详解】
当时，，则，时，
则函数在处的切线方程为；
【小问2详解】
（i）由题，，
①，，在单调递增；
②，，在单调递增；
，在单调递减；
，在单调递增；
③，，在单调递增；
，在单调递减；
，在单调递增；
（ii）略