辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

这是一份辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高二下学期期末联考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册第四章占25%，选择性必修第三册第五章占25%，第六章占25%，必修第一册第一、二章占25%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，，所以．
2. 命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【详解】就是对命题改量词并否结论，所以，．
3. 在数列中，若（为常数），且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以，则．
4. 某物体做直线运动，其位移s（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A. 4米/秒B. 12米/秒C. 16米/秒D. 20米/秒
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的定义求瞬时速度.
【详解】因为，所以所求瞬时速度为米/秒.
5. 在等差数列中，若，则的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】在等差数列中，，得，则．
6. 已知函数，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以，解得.
7. 已知某电影院第一排有10个座位，从第二排开始的每一排比它前一排多2个座位，若该电影院共有190个座位，则一共有（ ）
A. 8排座位B. 9排座位C. 10排座位D. 11排座位
【答案】C
【解析】
【详解】设第排的座位数为，则为等差数列，
由题意知，公差，
设数列的前项和为，则，
解得或（舍去）．
8. 函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先利用切线斜率等于导数值求出切点横坐标，得到切点坐标，再根据切点在切线上求出参数，最后用点到直线距离公式算出最小距离.
【详解】设直线与的图象相切于点，
因为，所以，解得，
所以切点坐标为，则所求的最小值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】由，可得，即，解得或，
则的解集为或，
若找的充分不必要条件对应的集合，
则必须满足，且，故A，C，D均正确，B错误.
10. 甲、乙两名同学参加某答题活动，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，假设甲、乙两人答题相互独立，现随机抽取一道题由两人共同作答（只要有一人答对即视为该题被攻克），记事件A为“甲答对该题”，事件B为“乙答对该题”，事件C为“该题被攻克”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A，利用对立事件与独立事件概率公式，用 1 减去甲乙全都答错的概率，算出题目被攻克的总概率进行判断；对 B，依据条件概率公式，结合甲答对则题目必被攻克即、，代入与已求算出条件概率验证对错；对 C，套用条件概率公式，由得，先通过独立事件算出，再除以得到对比判断正误；对 D，同 B 的思路求出，再用减去，对比差值完成判断.
【详解】由题意知，且A与B相互独立.
对于A：事件C表示“该题被攻克”，即甲、乙至少有一人答对，
则，A正确；
对于B：由条件概率公式知.注意到，故，即，
因此，B正确；
对于C：同理可得，由于，
所以，即，因此，C错误；
对于D：因为，所以，D正确.
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递减
B. 存在，使得有唯一极值点
C. 若，则当时，恒成立
D. 若有两个极值点，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数确定单调性依次判断ABC；利用极值点的意义确定的范围，再计算判断D.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
对于A，当时，，当且仅当时取等号，
因此在上单调递减，A正确；
对于B，当时，，，
因此在上单调递减，不存在极值点，B错误；
对于C，当时，，
在上单调递减，由，得，C正确；
对于D，由有两个极值点，得有两个不等的正根，
则，此时，
则，D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若方程的解集为，则________．
【答案】
【解析】
【详解】可化为，
因为方程的解集为，所以方程的两根为，2，
由，解得，检验符合．
13. 已知，则的最小值为_______.
【答案】##
【解析】
【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为.
14. 已知正项数列满足，，则________．
【答案】
【解析】
【详解】由，得，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知全集，集合，.
（1）若a=1，求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，写出的补集，再代入化简集合，最后取两集合的交集得到结果；
（2）由推出，结合集合非空与子集区间端点约束列出不等式组，解不等式组得到参数的取值范围.
【小问1详解】
因为的解集为，
所以，则或，
当时，，所以.
【小问2详解】
若，则，
因为，所以，
解得，即的取值范围为.
16. 某餐饮公司准备在某城市开分店，为合理安排分店数量，先决定开1家分店进行试点，该分店1月至5月的营业额y（单位：万元）的数据如下：
（1）根据1月至5月的数据，求y与x之间的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）求y关于x的经验回归方程，并预测6月份的营业额能否突破7万元，说明理由.
参考公式及数据：线性相关系数，.
y关于x的回归直线方程的斜率与截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】（1）
（2）由题意得，
可得，，
所以y关于x的经验回归方程是
当时，，
所以预测6月份的营业额能突破7万元.
【解析】
【小问1详解】
由题意得，，
可得，
则，
得到，
故.
【小问2详解】
略
17. 已知数列满足，且．
（1）证明：是等比数列．
（2）求的通项公式．
（3）设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）由，得，
所以，即，
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
（2）
（3）由（2）知，
则
设，
则．
上面两个等式相减得，
所以，所以，
因为，所以，
【解析】
【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式；
（3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由（1）知，所以．
【小问3详解】
略
18. 某足球俱乐部进行点球测试，球员每次点球射中的概率为，各次点球射中与否相互独立，该球员连续进行4次点球射门，记射中次数为随机变量X.
（1）求射中次数X不少于3次的概率；
（2）该足球俱乐部制定奖励方案，射中X次可得奖金千元，求该球员获得奖金的数学期望.
【答案】（1）
（2）8000元.
【解析】
【分析】（1）已知服从 4 次、单次命中率的二项分布，射中不少于 3 次即、，分别用二项分布概率公式算出对应概率再相加；
（2）由得到全部取值，借助二项分布求出每个取值的概率，再代入数学期望公式计算得到奖金期望.
【小问1详解】
由题可知，，
则射中次数不少于3次的概率为.
【小问2详解】
令，由题意知Y的所有可能取值为0，1，4，9，16，
，，，，，
所以.
故该球员获得奖金的数学期望为8000元.
19. 定义：若两个函数与在公共的定义域内恰好具有相同的极值点且在相同的极值点处也具有相等的极值，则称它们为“友好联盟函数”.已知函数，，且.
（1）若与是“友好联盟函数”，求a的值.
（2）当时，证明：，.
（3）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）当时，，
要证，即要证，
令，则，
易知在上单调递增，且，，
所以存在唯一的，使得，
当时，，单调递减，
当时，.单调递增，
所以.
易知在上单调递减，所以，
故，即，.
（3）.
【解析】
【分析】（1）结合题意与导数性质得到取得极小值，无极大值，再结合题意建立方程求解即可；
（2）原题意等价于，构建函数，利用导数分析证明即可；
（3）结合题意对目标不等式同构，再结合分离参数法求解参数范围即可.
【小问1详解】
由题意得的定义域为，
且，由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极小值，无极大值.
又，所以.
由，得；由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得极小值，无极大值.
因为与是“友好联盟函数”，所以，解得，
这时可得，，所以.
【小问2详解】
略
【小问3详解】
若不等式恒成立，即恒成立，
不等式可化为，即，
亦即，令，
则不等式，可化为.
又，所以在上单调递增，所以，
即，所以，令，
则，当时，；
当时，0，所以在上单调递增，在上单调减，
所以的最大值为，故，即a的取值范围为.
x/月份
1
2
3
4
5
y/万元
15
12
11
10
9