河北邢台市2025-2026学年高二下学期期末学业水平调研数学试题（含解析）

这是一份河北邢台市2025-2026学年高二下学期期末学业水平调研数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册占80%，集合、逻辑、不等式、函数占20%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查集合的交集和并集运算，解题的关键是先求出与的交集，再将所得交集与求并集.
【详解】，.
2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】A
【解析】
【详解】先判断命题的真假：
分式不等式等价于且，解得或，
恰好对应命题给出的取值范围，
∴ ，恒成立，故为真命题，为假命题.
再判断命题的真假：
不等式化简得，即，
∵ ，∴ 不等式等价于，解得，
即当时，成立，例如取，，满足条件，
∴ ，成立，故为真命题，为假命题.
综上，和都是真命题，A选项正确.
3. 展开式中第6项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】展开式中第6项的系数为.
4. 已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解.
【详解】因为是奇函数，所以.
又因为的图象关于直线对称，
所以.
已知，故，
所以.
5. 已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【详解】由随机变量，且，
得，所以.
6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，
则由可得，
即，，所以，
因为在上单调递增，所以.
故不等式的解集为.
7. 已知球O的半径为3，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆的半径为，圆锥的高为，则，圆锥的体积，利用导数求得圆锥的体积的最大值.
【详解】设圆的半径为，圆锥的高为，则.
圆锥的体积，
令函数，则.
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，故圆锥的体积的最大值为.
8. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0，1，2共3个数字，并且4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，则满足条件的密码个数为（ ）
A. 28B. 30C. 31D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，所以以4个拨号盘中的个数来分类讨论即可得出答案.
【详解】因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，
所以4个拨号盘上的数字可分为以下情况：
①4个有，有种，
②个有，每种有种，共有：种，
③个有则有种，有种，共有种.
④个有，有种.
所以一共有：种.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，且，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最小值为
C. 的最小值为0D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【详解】对于AB，，当且仅当时取等号，A正确，B错误；
对于CD，，当且仅当时取等号，D正确，C错误.
10. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 存在，使得是的极大值点
B. 若恰有1个零点，则b的取值范围为
C. 若是增函数，则b的取值范围为
D. 若的极小值大于0，则b的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义判断A；由函数零点个数求出范围判断B；利用给定单调性列出不等式求解判断C；利用极小值大于0列出不等式组求解判断D.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
对于A，若是的极大值点，则，此方程无解，
因此不存在实数，使得是的极值点，A错误；
对于B，由，得或，由恰有1个零点，
得方程无实根，，解得，
因此b的取值范围为，B正确；
对于C，由是增函数，得，恒成立，则，
解得，因此b的取值范围为，C正确；
对于D，由的极小值大于0，得恰有1个零点，且方程有两个不等的正实根，
则，解得，因此b的取值范围为，D正确.
11. 在一个不透明的盒子中装有2个白球、1个红球，小球除颜色外其他均相同．随机从盒子中取出一个球，若取出红球，红球不放回，换一个白球放回，若取出白球，白球不放回，换一个红球放回，重复取球n次，在第n次取球时，记盒子中有0，1，2，3个白球的概率分别为，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据第二次取球时，盒子里至少都有一个白球即可求解；对于B，根据题意可知任意时刻盒子里白球数量只能是0,1,2,3其中一种即可判断；对于C，D选项，由题可得，令，，利用构造法即可求解.
【详解】对于A，表示第二次取球时，盒子里没有白球，根据题意，第二次取球时，盒子里至少都有一个白球，则,故A错误；
对于B，根据题意可知任意时刻盒子里白球数量只能是0,1,2,3其中一种，所以，故B正确；
对于C，D选项，当时，，，，，
若第次取球时盒子里没有白球，则第次取球时，盒子里只有1个白球，且第次取的是白球，则，
若第次取球时盒子里只有1个白球，则第次取球时，若盒子里没有白球，且第次取的是红球，若盒子里只有2个白球，且第取的是白球，则，
若第次取球时盒子里只有2个白球，则第次取球时，若盒子里有1个白球，且第次取的是红球，若盒子里只有3个白球，且第取的是白球，则，
若第次取球时盒子里只有3个白球，则第次取球时，若盒子里有2个白球，且第次取的是红球，则，
所以
令，，则
所以
即，
所以，所以是公比为的等比数列，
由于，
所以，
所以，故C正确；
所以，故D不正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得
.
13. 根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程，则_______．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得，，
将代入回归方程，可得，解得.
14. 已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】确定函数为偶函数，将问题转化为函数有两个不同零点，由零点的意义分离参数并构造函数，再利用导数求解.
【详解】依题意，函数是上的偶函数，
由有四个不同的零点，得函数有两个不同零点，
由，得，显然，则，令，
依题意，直线与函数的图象有两个不同交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
又，当时，，当时，，
因此当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以a的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为进一步增强学生的消防安全、交通安全、饮食健康安全等安全意识，某校举办了一次安全教育知识竞赛．在参与竞赛的学生中随机抽取了100名学生统计成绩，其成绩近似服从正态分布，且．
（1）估计这100名学生中成绩在95分以上的学生人数；
（2）假设这100名学生中成绩在95分以上的学生人数为（1）中所求的估计值，若某学生本次竞赛的得分高于95分，则认为该学生安全意识极高，从这100名学生中随机选20名学生，记安全意识极高的学生人数为X，求X的期望．
【答案】（1）5人 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率，进而估计人数.
（2）由（1）的结论，利用超几何分布的期望公式求解.
【小问1详解】
由成绩近似服从正态分布，且，
得，
所以这100名学生中成绩在95分以上的学生人数约为.
【小问2详解】
由（1）得，100名学生中安全意识极高的学生共5人，
从100人中抽取20人，安全意识极高的人数服从超几何分布，
所以的期望.
16. 已知三对夫妻坐成一排照相．
（1）求不同的排列数；
（2）求每对夫妻两人均相邻的排列数；
（3）求同性别的人均不相邻的排列数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据题设要求，选择捆绑法，插空法，特殊位置优先法，以及分步乘法，分类加法计数原理求解即得.
【小问1详解】
6人坐成一排，不同的排列数为；
【小问2详解】
要求每对夫妻均相邻，使用捆绑法，将每对夫妻看作1个整体，共得到3个整体，
则不同的排列数为；
【小问3详解】
要求同性别的人均不相邻，仅存在两种性别排列方式：男女男女男女；女男女男女男，
则不同的排列数为.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，再对参数分情况讨论即可得到单调性.
（2）将条件转化为不等式恒成立问题，再构造函数，判断单调性求出最值即可证明结论.
【小问1详解】
.
当时，是减函数.
当时，令，解得.
当时，；当.
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，是减函数；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，即.
令，则，所以.
因为在上单调递增，所以，即.
令
当时，；当.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
故的取值范围为.
18. 甲、乙、丙三人打羽毛球，约定：第一场甲、乙对打，丙轮空；每场对打的胜者与轮空者进行下一场对打，负者下一场轮空（在没有人连续打了3场的前提下）；若某人连续打了3场，则其下一场轮空，另外两人对打．设每场对打双方获胜的概率都为．
（1）求第四场乙、丙对打的概率；
（2）求第五场乙、丙对打的概率；
（3）若甲、乙、丙三人共打了6场，其中甲参与了X场，求X的分布列及期望．
【答案】（1）
（2）
（3）X的分布列为
期望为．
【解析】
【分析】（1）第四场乙、丙对打，即第四场甲轮空，有甲连胜三场，或第三场甲败两大类共3种情况分析，可得第四场乙、丙对打的概率；
（2）第五场乙、丙对打，即第五场甲轮空，所以第四场甲一定参赛，且比赛失败，由此依次分析前三场的情况，即可求得第五场乙、丙对打的概率；
（3）列出当第一场比赛甲胜出时，各场比赛的对战情况，结合比赛对甲乙的对称性，求得甲参赛的可能场数及其相应的概率，从而得到的分布列，并根据期望公式求得期望.
【小问1详解】
第四场乙、丙对打，即第四场甲轮空，共有3种情况：
第1种情况，甲连胜三场，概率为；
第2种情况，第一场甲胜，第二场甲胜，第三场甲败，概率为；
第3种情况，第一场甲败，第二场甲轮空、丙胜，第三场甲败，概率为.
所以第四场乙、丙对打的概率为.
【小问2详解】
第五场乙、丙对打，即第五场甲轮空，
共有3种情况：
第1种情况，第一场甲胜，第二场甲败丙胜，第三场甲轮空，乙丙对打，丙败，第四场甲败，
概率为；
第2种情况，第一场甲败，第二场甲轮空，丙胜，第三场甲胜，第四场甲败，
概率为；
第3种情况第一场甲败，第二场甲轮空，乙胜，第三场不论甲乙哪方胜出，乙已经连打三场，
所以第四场甲丙比赛，甲败，
概率为.
综上所述，第五场乙、丙对打的概率为.
【小问3详解】
若甲、乙、丙三人共打了6场，
当第一场比赛甲胜出时，各场对战情况如下：
括号内的一方代表该场比赛的胜方
如果第一场比赛甲赢，
则甲共参加4场的情况有8种，参加5场的情况有8种；
乙参加3场的情况有2种，参加4场的情况有14种.
所以如果第一场比赛乙赢，
则乙共参加4场的情况有8种，参加5场的情况有8种；
甲参加3场的情况有2种，参加4场的情况有14种.
因此，若进行六场比赛，
甲参加3场的情况有2种，参加4场的情况有种，参加5场的情况有种.
所以X的取值可能是.
，
，
，
所以X的分布列为
所以期望为．
19. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）证明：当时，．
（3）求的最大值．
【答案】（1）
（2）当时，不等式，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，，因此当时，；
当时，，当且仅当时取等号，
因此当时，，即，
所以当时，.
（3）0
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）构造函数，利用导数证得，再利用差值法证得即可.
（3）利用导数按分段确定函数的单调性，进而求出最大值.
【小问1详解】
函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
略
【小问3详解】
函数的定义域为，，
令函数，求导得，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
则，函数在上单调递减，，而，
则当时，，函数在上单调递增；
令函数，求导得，
令函数，求导得，
当时，，则，函数，即在上单调递减，
，函数，即在上单调递减，，
因此函数在上单调递减，所以函数在处取得最大值.x
3
4
5
6
7
y
10
12
15
16
19
3
4
5
丙参加场数
乙参加场数
甲参加场数
1
2
3
4
5
6
3
4
5
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（甲）
乙丙（乙）
甲乙（甲）
甲丙
3
4
5
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（甲）
乙丙（乙）
甲乙（乙）
甲丙
3
4
5
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（甲）
乙丙（丙）
甲丙（甲）
甲乙
4
4
4
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（甲）
乙丙（丙）
甲丙（丙）
乙丙
3
4
5
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（乙）
乙丙（乙）
甲乙（甲）
甲丙
3
4
5
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（乙）
乙丙（乙）
甲乙（乙）
甲丙
3
4
5
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（乙）
乙丙（丙）
甲丙（甲）
甲乙
4
4
4
甲乙
甲丙（甲）
甲乙（乙）
乙丙（丙）
甲丙（丙）
丙乙
3
4
5
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（乙）
甲乙（甲）
甲丙（甲）
甲乙
4
4
4
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（乙）
甲乙（甲）
甲丙（丙）
乙丙
4
4
4
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（乙)
甲乙（乙）
乙丙（乙）
甲丙
4
4
4
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（乙）
甲乙（乙）
乙丙（丙）
甲丙
4
3
5
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（丙）
丙甲（甲）
甲乙（甲）
甲丙
4
4
4
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（丙）
丙甲（甲）
甲乙（乙）
乙丙
4
3
5
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（丙）
丙甲（丙）
甲乙（甲）
甲丙
4
4
4
甲乙
甲丙（丙）
丙乙（丙）
丙甲（丙）
甲乙（乙）
乙丙
3
4
5