贵州遵义市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份贵州遵义市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（含解析），共14页。
1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．
2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题，，虚部为2.
3. 在中，已知，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知：的面积为.
4. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标关系即可.
【详解】因为，所以，解得.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，得，
所以的定义域为．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式，同角三角函数关系以及倍角公式即可.
【详解】因为
所以，所以.
所以.
7. 在中，，点在线段上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的线性运算将转换成，再对比系数即可.
【详解】
因为点在线段上，所以设.
所以
所以，解得.
8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断是单调递增的奇函数，再利用、奇偶性和单调性，把不等式转化为，解得.
【详解】当时，，是单调递增函数，且； 当时，，是单调递增函数，且（时）， 所以是奇函数，且在上单调递增；
则，因为是奇函数，且在上单调递增，所以，解得.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数、是方程的两根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】因为，即，解得，
不妨设，，
可得，，
，，故AC正确，BD错误.
10. 已知，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用同角三角函数关系计算判断A，应用两角和公式计算判断B，C，应用正切关系计算判断D.
【详解】由得，故，A正确；
由得，结合，可推出，B错误；
代入可得，结合，得，C正确；
由及，所以，
，可推出，D正确；
11. 函数的图象如图所示，其中，，则（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称
D. 若在区间上恰有个零点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用图象上两点求出与得到函数解析式；再分别求解单调区间、平移变换、零点分布，逐一验证四个选项正误．
【详解】已知的图象过，，且，，
由，，得，
由图象趋势，是余弦下降过程中穿过轴的零点，
所以，即，
所以，
对于A，，A正确；
对于B，由，
得，
取，递增区间，
区间不完全包含在内，递减，递增，B错误；
对于C，的图象向右平移个单位：
，
是偶函数，图象关于轴对称，C正确；
对于D，由，得，
相邻零点间距为，
若区间恰有个零点，要使最小，零点需首尾紧贴区间端点：
最少跨度为，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则____________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用余弦定理计算可得结果；
【详解】根据余弦定理可得，
即
因为，所以.
13. 已知为第二象限角，若，则_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系可求的值，再代入所求式子即可.
【详解】因为为第二象限角，，
所以，则.
所以.
14. 在中，，，点、在上，满足，则的最小值为_______________．
【答案】10
【解析】
【分析】利用条件建立平面直角坐标系，表示点的坐标，然后利用三角不等式求得最小值即可.
【详解】因为，所以.所以为直角三角形,且.
以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立如图平面直角坐标系.
于是设，则，
所以由向量三角不等式可得
当且仅当共线时取等号.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，．
（1）若，求的值；
（2）求及向量与的夹角．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用可得关于的方程，求解即可.
（2）利用和即可.
【小问1详解】
因为，所以，即.
又因为，
所以，.
【小问2详解】
.
因为，
所以.
16. 为调查某型号汽车自动驾驶雷达在暴雨环境下的响应时间（单位：），在若干次响应测试中随机抽取1000次测试数据，得到频率分布直方图如下．
（1）若要求平均响应时间不超过，则估计该型号汽车是否达到要求（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）将样本的频率视为概率．现对该型号汽车进行三次响应测试，每次测试结果互不影响．若至少有一次响应时间超过，则会触发安全警报．求触发安全警报的概率．
【答案】（1）达到要求
（2）（或0.578125）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图估算响应时间的平均值，进而判断；
（2）由题可得一次测试雷达响应时间不超过的概率为，利用相互独立事件和对立事件，运算求解.
【小问1详解】
由直方图知，平均响应时间的估计值为
因为，所以平均响应时间达到要求
【小问2详解】
由直方图知，一次测试雷达响应时间不超过的概率为，
记事件：第次测试雷达响应时间不超过，
事件：自动驾驶系统会触发安全警报
则，，相互独立，且，，，，
所以
（或0.578125）.
17. 已知函数（且）满足．
（1）求的值；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中函数解析式结合对数运算可得，即可得结果.
（2）利用函数解析式将不等式化简可得在上恒成立.，再利用二次不等式恒成立即可求解.
【小问1详解】
的定义域为，
因为，可得.
又因为且，所以.
【小问2详解】
由（1）可知：.
因为，，
则，，可得.
因为在上单调递增，
则，即在上恒成立.
又在上最小值为0，则，解得，
且，所以的取值范围为.
18. 已知函数，其中．
（1）若，求的最小正周期与对称轴方程；
（2）若的最大值为1．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求方程在区间上的所有实数根之和．
【答案】（1），；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数恒等变换将转化为，然后利用三角函数的周期公式与对称轴公式求解即可.
（2）（ⅰ）利用辅助角公式得到关于的最大值，建立方程即可求解.
（ⅱ）利用复合函数的性质,得到，再结合三角函数的对称性即可求解.
【小问1详解】
因为
所以
令得，
所以函数的最小正周期为
对称轴方程为
【小问2详解】
（ⅰ）由得
其最大值为
故
由得
（ⅱ）由（ⅰ）得
先解外方程，得
但要求，在内满足的只有
故只需解，即
因为，则令
又在上有两解记为，，
由对称性得
所以，解得
19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）证明：为锐角三角形；
（2）求的取值范围；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）因为，，所以，均为锐角，
所以，，
由于，
所以，所以为锐角，
故为锐角三角形
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，得到，再由和两角和的正切公式可得，即可证明；
（2）由为锐角三角形得到，结合，利用不等式的性质即可求解；
（3） 由结合余弦定理得到且，利用对勾函数得到，化简得到，利用换元法令， 即可得到的取值范围.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由（1）知，为锐角三角形．
所以①，
又因为，所以②，
由①②式，得，
故；
【小问3详解】
由，得，
即③，
又，
由（2）知
令，易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
又因为，
所以，
设外接圆的半径为，则，
结合③式，得，
所以，
所以，
令，则，
易知在上单调递增，
所以，即，
故的取值范围是.