2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高一（下）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足（2+i）z=3+4i,则z=（ ）
A. 2-iB. 2+iC. 1+2iD. 1-2i
2.已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的35%分位数是（ ）
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
3.若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x），满足（8-）•=30，则x=（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
4.在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣.若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.设m,n为两条直线，α，β为两个平面，若α⊥β，则（ ）
A. 若m∥α，n∥β，则m⊥nB. 若m⊥α，n∥β，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥β，则m⊥nD. 若m⊂α，n⊂β，则m⊥n
6.如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么（ ）
A. A+B是必然事件B. 是必然事件C. 与一定互斥D. 与不可能互斥
7.在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c,若a=4，b=5，，则角C等于（ ）
A. 120°B. 90°C. 60°D. 45°
8.在三棱锥P-ABC中，AC⊥平面PAB，AB=6，AC=10，，∠ABP=45°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A. 76πB. 128πC. 140πD. 148π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若z=-1+3i,则（ ）
A. B. |z|=
C. zi=-3-iD. z在复平面内对应的点在第四象限
10.某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ）
A. 样本数据落在区间[500，600）内的频率为0.004
B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策
C. 样本的中位数为520
D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460
11.已知，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则t=0
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.i+i2+i3+⋯+i2023= .（i为虚数单位）
13.如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为 .
14.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA上的点，PD=2DA，则直线CD与平面PAB所成的角的正切值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2-4+（m2+2m）i,根据以下条件分别求实数m的值或取值范围.
（1）z是纯虚数；
（2）z对应的点在复平面的第三象限.
16.(本小题15分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后，画出如图所示部分频率分布直方图.观察图形，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）；
（3）估计这次考试的平均分.
17.(本小题15分)
第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，某大学有5名教师参与了此次运动会的火炬传递活动，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
（2）求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.
18.(本小题17分)
已知在△ABC中，A+C=5B，AB=，BC=4.
（1）求sinC；
（2）若D为BC边上一点且，求△ADC的面积.
19.(本小题17分)
已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且AB=2，AD=2，PD=2，∠BAD=30°，E为PC中点，F为AB中点.
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求点B到平面DEF的距离.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为z是纯虚数，
所以；
（2）因为z对应的点在复平面的第三象限，
所以，
因此实数m的取值范围为（-2，0）．
16.【答案】解：（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：
f4=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，
直方图如右所示．
（2）成绩在[40，70）的频率为：
（0.01+0.015+0.015）×10=0.4，
成绩在[40，80）的频率为：
0.4+0.03×10=0.7，
∴中位数在[70，80）内，
设中位数为x,
∵中位数要平分直方图的面积，
∴x=70+≈73．
（3）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75%，
利用组中值估算抽样学生的平均分为：
45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估计这次考试的平均分是71（分）．
17.【答案】样本空间Ω={AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc}

18.【答案】解：（1）因为A+C=5B，且A+B+C=π，所以B=，A+C=，
由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcsB=3+16-2××4×cs=7，
所以AC=，
由正弦定理知，=，
所以=，即sinC=．
（2）由（1）知，sinC=＜，
所以0＜C＜或＜C＜π，
又B=，所以C＜，所以0＜C＜，所以csC==，
因为，且∠CAD∈（0，π），所以sin∠CAD==，
所以sin∠ADC=sin（∠CAD+C）=sin∠CADcsC+cs∠CADsinC=×+×=，
在△ACD中，由正弦定理知，=，
所以CD=•sin∠CAD=×=，
所以△ADC的面积S=AC•CDsinC=×××=．
19.【答案】证明：（1）取PD中点G，连结AG，EG．

∵ E，G分别是PC，PD的中点，
∴ EG∥ DC且EG=DC．
∵ F是AB中点，AB∥ CD，
∴ EG∥ AF且EG= AF．
∴ AFEG为平行四边形．
∴ EF∥ AG．
又∵EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
∴ EF∥平面PAD．
解：（2）∵ E是PC中点，
∴点E到平面ABCD的距离为d′=PD=1．
∵AD=2，∠BAD=30°，AF=AB=，
∴DF=1且∠DFA=90°，
∴S△BDF=BF•DF=．
∵ AFEG为平行四边形，
∴，
∵，
∴DF2+DE2=EF2，即∠EDF=90°，
∴，
∵VB-DEF=VE-BDF，
∴，
∴点B到平面DEF的距离．