北京市首都师范大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份北京市首都师范大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量=（-1，2），=（2，m），若∥，则m=（ ）
A. -4B. C. D. 4
2.复数z=在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.中内角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
4.已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（）
A. 1B. C. 2D. 4
5.设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（ ）
A. CEB. CFC. CGD. CC1
7.在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 不确定
8.如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为
A. B. C. D.
10.已知，，，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知a,b∈R，（1+2i）a=1+bi,则|a-bi|= .
12.在单位长度的正方形网格中的位置如图所示，则 ，向量在向量上的投影的数量为 ．
13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin B＝3sin A，，a＝4，则△ABC的面积为 ．
14.如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，、分别是、的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .
15.已知函数f（x）=sinx+acsx（a＜0）的最大值为2，则= .
16.如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：
①四棱锥的体积为定值；
②三棱锥的体积的最大值为；
③的最小值为.
请写出所有正确结论的序号
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知α，β为锐角，csα=，cs（α+β）=​.
(1)求sin2α的值；
(2)tan（α-β）的值.
18.(本小题12分)
已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3),B(5,1),P(2,1),点M是直线OP上的一个动点.
(1)求|-|的值;
(2)若四边形APBQ是平行四边形,求点Q的坐标;
(3)求的最小值.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且平面∩平面，，点为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求三棱锥的体积．
21.(本小题12分)
在中，．
(1)求A的大小；
(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．
条件①：；
条件②：的面积为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
22.(本小题12分)
对任意正整数，定义集合．设，定义：，．
(1)（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）；
(2)设，证明：；
(3)设，，，，求；
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】 ； ； ； ； ； ；
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】-1
16.【答案】①②
17.【答案】解：（1）∵，α为锐角，∴，
∴．
（2）∵α，β均为锐角，∴α+β∈（0，π），cs（α+β）=,
∴
，
∴
．
​可知csβ=，,又，
所以tan（α-β）=.
18.【答案】解：（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
解不等式，解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．

19.【答案】解：（1）∵点A(3，3)，B(5，1)，P(2，1)，
∴，，
∴，
∴=;
（2）设点Q（x，y）,
∵四边形APBQ是平行四边形，∴，
∴(1，2)=（x-5，y-1），
∴，解得．
∴Q（6，3）;
（3）设点M（a，b）,
则,
由题意,
∴a-2b=0，即a=2b，
∴M（2b，b），
∴=（3-2b，3-b）•（5-2b，1-b）
=5b2-20b+18
=5(b-2)2-2，
∴当b=2时，取得最小值-2．
20.【答案】解：(1)连结，交于点O，如图示：
∵O是正方形对角线交点，
∴O为中点，而E为线段的中点，
∴，平面，平面，
∴平面；
(2)由（1）平面，且平面∩平面，平面，所以；
（3）由题设知，三棱锥的体积.

21.【答案】解：（1）因为，所以,
所以，
所以，因为，所以舍去，
所以，则；
（2）选择①
因为，由正弦定理，
即，得.
法一：
由余弦定理
代入得，
所以，
所以或（舍），所以边最长，
边上的高线；
法二：
因为，所以，
所以，所以，所以为最长边，
边上的高线；
选择②
因为，
所以，
因为，由余弦定理，
得
所以或，
所以最长边上的高线 ；
若选择③，，
根据正弦定理，，则，不成立，
此时不存在.

22.【答案】解：（1）因为，，，，所以，
因为集合中元素的每个坐标绝对值都不超过，显然不超过，因此；
(2)设，则有：
，，，，
，，，
所以．
（3）设，则有，．
由，所以必为偶数，因此，
当时，，但，不可能；
当时，，但，不可能；
所以，，
因为，同理得，，
所以，.