2025-2026年度暑假八年级上册数学全册同步培优讲义（24讲）（人教版新教材）（原卷版+解析版）

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八上数学全册同步培优讲义（24讲）【人教版新教材】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l _Toc28137 第1讲 三角形的概念、三角形的边 PAGEREF _Toc28137 \h 2 HYPERLINK \l _Toc14229 第2讲 三角形的中线、角平分线、高 PAGEREF _Toc14229 \h 24 HYPERLINK \l _Toc17704 第3讲 三角形的内角 PAGEREF _Toc17704 \h 50 HYPERLINK \l _Toc3577 第4讲 三角形的外角 PAGEREF _Toc3577 \h 80 HYPERLINK \l _Toc31221 第5讲 全等三角形及其性质 PAGEREF _Toc31221 \h 117 HYPERLINK \l _Toc16688 第6讲 全等三角形的判定（一） PAGEREF _Toc16688 \h 140 HYPERLINK \l _Toc16709 第7讲 全等三角形的判定（二） PAGEREF _Toc16709 \h 167 HYPERLINK \l _Toc15624 第8讲 角的平分线 PAGEREF _Toc15624 \h 220 HYPERLINK \l _Toc32515 第9讲 图形的轴对称 PAGEREF _Toc32515 \h 250 HYPERLINK \l _Toc20415 第10讲 线段的垂直平分线 PAGEREF _Toc20415 \h 277 HYPERLINK \l _Toc7682 第11讲 等腰三角形 PAGEREF _Toc7682 \h 310 HYPERLINK \l _Toc17877 第12讲 等边三角形 PAGEREF _Toc17877 \h 337 HYPERLINK \l _Toc27712 第13讲 含30°角的直角三角形的性质 PAGEREF _Toc27712 \h 365 HYPERLINK \l _Toc15651 第14讲 幂的运算 PAGEREF _Toc15651 \h 400 HYPERLINK \l _Toc6772 第15讲 整式的乘法 PAGEREF _Toc6772 \h 413 HYPERLINK \l _Toc15953 第16讲 整式的除法 PAGEREF _Toc15953 \h 442 HYPERLINK \l _Toc20309 第17讲 乘法公式 PAGEREF _Toc20309 \h 459 HYPERLINK \l _Toc30701 第18讲 用提公因式法、公式法分解因式 PAGEREF _Toc30701 \h 485 HYPERLINK \l _Toc7818 第19讲 分式及其基本性质 PAGEREF _Toc7818 \h 504 HYPERLINK \l _Toc22498 第20讲 分式的乘法与除法 PAGEREF _Toc22498 \h 522 HYPERLINK \l _Toc11329 第21讲 分式的加法与减法 PAGEREF _Toc11329 \h 551 HYPERLINK \l _Toc26117 第22讲 整数指数幂 PAGEREF _Toc26117 \h 570 HYPERLINK \l _Toc8 第23讲 分式方程 PAGEREF _Toc8 \h 582 HYPERLINK \l _Toc25725 第24讲 分式方程的应用 PAGEREF _Toc25725 \h 607第1讲 三角形的概念、三角形的边知识点1 三角形的有关概念1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的三要素3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为△ABC.知识点2 三角形的分类1.等腰三角形的定义三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.2.三角形的分类按边分类三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三边都不相等的三角形 直角三角形按角分类三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形知识点3 三角形的三边关系1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.【题型1 三角形的有关概念】【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，图中的三角形共有（    ）个．A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找．【详解】根据图形依次查找可得：△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△DCE，共5个三角形，故选：C．【点睛】本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；熟练掌握定义是解题关键．【变式1-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。【变式1-2】（24-25八年级上·广西·期中）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段AC为公共边的三角形是___________．（3）线段CD所在的三角形是_______，BD边所对的角是________．【答案】 6 △ABD，△ACD，△ADE △ABC，△ACD，△ACE △ACD ∠BAD 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形的直角三角形；（2）观察图形可找到以线段AC为公共边的三角形；（3）观察图形可知线段CD所在的三角形以及BD边所对的角；【详解】（1）由图可知，图中三角形有△ABC、△ADB、△AEB、△ACD、△ACE、△ADE，∴图中有6个三角形，由图可知，直角三角形有△ABD，△ACD，△ADE；（2）由图可知，以线段AC为公共边的三角形是△ABC，△ACD，△ACE；（3）由图可知，线段CD所在的三角形是△ACD，BD边所对的角是∠BAD；【点睛】本题主要考查三角形的识别．【变式1-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形.【答案】9个，图见解析.【分析】)根据三角形的定义,即不在同一直线上的三点首尾顺次连接即可得到一个三角形,即可得出答案.【详解】解：以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有9个，分别是：△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△BCE，△BCD，△DEA，△DEB，△DEC.如图所示：【点睛】此题考查了三角形的定义,关键是根据题意画出图形,数出三角形的个数,不要漏数三角形的个数.【题型2 三角形的分类】【例2】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（    ）A．甲、乙两种分法均正确B．甲、乙两种分法均错误C．甲的分法错误，乙的分法正确D．甲的分法正确，乙的分法错误【答案】D【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：故选：D．【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.【变式2-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，△ABC被木条遮住了一部分，只露出∠A，则∠B与∠C可能是（    ）A．一个直角，一个锐角B．两个钝角C．一个钝角，一个锐角D．两个锐角【答案】D【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键．三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解．【详解】解：根据题意，∠A是钝角，∴∠B与∠C可能是两个锐角，故选：D ．【变式2-2】（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（    ）A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形【答案】C【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．【详解】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，故选C．【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据各类三角形的概念即可解答.【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．故选C．【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】【例3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．【答案】7【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系．从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数．【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有：2cm，3cm，4cm；2cm，4cm，5cm；2cm，5cm，6cm；3cm，4cm，5cm；3cm，4cm，6cm；3cm，5cm，6cm；4cm，5cm，6cm．共有 7 种情况．故答案为： 7 ．【变式3-1】（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   )A．甲B．乙C．甲或乙D．甲或乙均不可以【答案】B【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案．【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n，甲小棒长度为b．∵乙小棒的长度大于甲小棒，即a>b∴m+n>b∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形；假设剪开甲小棒，∵乙小棒的长度大于甲小棒，∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意．综上所述，剪开的小棒是乙．故选：B．【变式3-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（    ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.熟记定理是解题的关键. 可以把三角形的周长看作13，再根据三角形三边的关系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结论.【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6．故选：C．【变式3-3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【详解】解：四条木棒的所有组合：5，7，9和5，9，13和5，7，13和7，9，13；只有5，7，9和5，9，13和7，9，13能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．【题型4 利用三边关系求参数范围】【例4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知一个三角形中两条边的长分别是 a、b，且 a＞b，那么这个三角形的周长 L的取值范围是（    ）A．3b＜L＜3aB．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+bD．3a﹣b＜L＜3a+b【答案】B【详解】分析：先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可．详解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a-b＜x＜a+b．∴这个三角形的周长m的取值范围是a-b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故选B．点睛：考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式4-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）三角形的三边长分别为2，5，3−2x，则x的取值范围是 ．【答案】−2∠2，∴∠1−∠2=30°，∵∠1和∠2互补，∴∠1+∠2=180°，联立∠1−∠2=30°∠1+∠2=180°，解得∠1=105°，故答案为：105°；（3）如图，连接AA′，∵∠B=58°，∠C=82°，∴∠BAC=40°，∴由折叠性质可知∠EA'D=∠BAC=40°，∵∠A′EB=∠EA′A+∠EAA′，∠A′DC=∠DA′A+∠DAA′，∴∠A'EB+∠A'DC=∠EA'A+∠EAA'+∠DA'A+∠DAA'=∠EA'D+∠BAC=80°，即∠A'EB+∠A'DC=80°，∵∠A′EB和∠A′DC互为“好友角”，∴∠A'EB−∠A'DC=30°或∠A'DC−∠A'EB=30°，∴∠A'EB=55°或∠A'EB=25°；【拓展】∵AE平分∠CAB，CD⊥AB，∴∠CAE=∠BAE，∠CDB=90°，∵∠CEF=∠B+∠BAE，∠FCE=90°−∠B，∴2∠CEF+∠FCE=∠B+∠BAC+90°=180°，∵∠FCE与∠CEF互为“好友角”，∴∠CEF−∠FCE=30°或∠FCE−∠CEF=30°，则∠FCE=40°或∠FCE=80°，∵∠FCE+∠ABC=90°，∴∠ABC=50°或∠ABC=10°．【变式7-1】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角． (1)如图①，在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为_______；(2)小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论．根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格：根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想_______；(3)请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想．【答案】(1)45°(2)∠C=2∠APB(3)证明见解析【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义：（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC=30°，再由平角的定义和角平分线的定义得到∠CBP=∠DBE=75°，则∠ABP=105°，再由角平分线的定义得到∠BAP=12∠BAC=30°，据此根据三角形内角和定理可得答案；（2）根据表格中的数据即可得到答案；（3）当∠C是锐角时，先证明∠ABD=∠BAC+∠C，再由角平分线的定义和平角的定义得到∠CBP=∠DBE=12∠BAC+12∠C，则∠ABP=180°−12∠BAC−12∠C，再由角平分线的定义得到∠BAP=12∠BAC，据此根据三角形内角和定理可证明结论；当∠C是钝角时，同理可证明结论．【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°∴∠ABC=180°−∠C−∠BAC=30°，∴∠ABD=180°−∠ABC=150°，∵BE平分∠ABD，∴∠CBP=∠DBE=12∠ABD=75°，∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=105°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=12∠BAC=30°，∴∠APB=180°−∠ABP−∠BAP=45°；（2）解：根据表格可猜想∠C=2∠APB（3）解：如图③所示，当∠C是锐角时，∵∠ABC=180°−∠BAC−∠C，∠ABD=180°−∠ABC，∴∠ABD=∠BAC+∠C，∵BE平分∠ABD，∴∠CBP=∠DBE=12∠ABD=12∠BAC+12∠C，∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=180°−12∠BAC−12∠C，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=12∠BAC，∴∠APB=180°−∠ABP−∠BAP=180°−180°+12∠BAC+12∠C−12∠BAC=12∠C，∴∠C=2∠APB；如图④所示，当∠C是钝角时，同理可得∠C=2∠APB．【变式7-2】我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．【答案】（1）30°，不是；（2）见解析；（3）∠B=30°或∠B=80°．【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB=90°，求得∠ABO=90°−∠MON=30°，得到∠OAB=3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB=∠O+∠OAC，求出∠OAC=24°，∠ACO=96°，所以∠ACO=4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；（3）由∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，得到∠EFC=∠ADC，可以证明AD∥EF，得到∠DEF=∠ADE，而∠DEF=∠B，得到∠B=∠ADE，由DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解；本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的补角相等，平行线的性质，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．【详解】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°−∠MON=30°，∴∠OAB=3∠ABO，∴△AOB不是“和谐三角形”； 故答案为：30°， 不是；（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，∴∠ACB=∠O+∠OAC，又∵∠O=60°，∠ACB=84°，∴∠OAC=24°，∠ACO=180°−84°=96°，∴∠ACO=4∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”； （3）∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴∠B=30°或∠B=80°．【变式7-3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°,60°,20°的三角形是“优美三角形”．【概念理解】（1）如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O,B重合）．①△AOB______“优美三角形”（填“是”或“不是”）．②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三角形”．【应用拓展】（2）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC>90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“优美三角形”，求∠B的度数．【答案】（1）①是；②见解析；（2）∠B=36°【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意．（1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“优美三角形”的概念判断；②根据“优美三角形”的概念证明即可；（2）根据比较的性质得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“优美三角形”的定义求解即可．【详解】（1）①解：∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=180°−90°−∠MON=90°−60°=30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“优美三角形”，故答案为：是；②证明：∵∠AOC=60°，∠ACB=80°，∴∠OAC=∠ACB−∠MON=20°，∴∠AOC=3∠OAC，∴△AOC为“优美三角形”；（2）解：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“优美三角形”，∠BDC>90°∴∠BDC=3∠B，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴∠B=36°．【题型8 与三角形的外角性质有关的探究问题】【例8】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=36°，直接写出∠ABX＋∠ACX的结果；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A=40°，∠DBE=130°，求∠DCE 的度数；③如图4，求图中五角星五个“角”的和．【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，见解析(2)①54°；②85°；③180°【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．（1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；（2）①先根据三角尺可知：∠BXC=90°，根据（1）的结论可得：∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°，从而得结论；②先根据第1题的结论可得：∠ADB+∠AEB的度数，由角平分线可得：∠ADC+∠AEC=12∠ADB+∠AEB=45°，从而得结论；③由（1）中“规形图”结论可知：∠CFD=∠A+∠C+∠D，结合三角形的内角和即可得解【详解】（1）∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由如下：过点A、D作射线AF，∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C（2）①∵∠BXC=90°，由（1）可知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°∵∠A=36°∴∠ABX+∠ACX=90°−36°=54°②∵∠DAE=40°,∠DBE=130°∴∠ADB+∠AEB=∠DBE−∠A=130°−40°=90°∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB,∴∠ADC+∠AEC=12∠ADB+∠AEB=45°∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°③如图：由（1）中“规形图”结论可知：∠CFD=∠A+∠C+∠D，又∵∠CFD=∠BFE∴∠B+∠E+(∠A+∠C+∠D)=∠B+∠E+∠BFE=180°即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°【变式8-1】（23-24七年级下·吉林长春·期中）【感知】（1）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE,CD相交于点F．若∠B=40°，则∠CFE= °，∠CEF= °．【探究】（2）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE,CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF．【拓展】（3）如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B=α，则∠CEF的大小为 （用含α的代数式表示）．【答案】（1）65°，65°；（2）见解析；（3）45°−12α【分析】（1）先求得∠CAB=50°，∠ACD=40°， ∠CAF=∠DAF=12∠CAB=25°，再结合三角形的外角的性质可得结论；（2）先证明∠B=∠ACD，∠CAF=∠DAF，再结合三角形的外角的性质可得结论；（3）先求解∠GAB=90°+α，结合角平分线可得∠GAF=∠DAF=45°+12α，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是高，∠B=40°，∴∠CAB=90°−40°=50°，∠ACD=90°−50°=40°，∵AE是角平分线，∴∠CAF=∠DAF=12∠CAB=25°，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD=65°，∠CEF=∠DAF+∠B=65°，故答案为：65，65；（2）证明：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD，∵AE是角平分线，∴∠CAF=∠DAF，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；（3）∵∠ACB=90°，∴∠GAB=∠B+∠ACB=90°+α，∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF=∠DAF=1290°+α=45°+12α，∴∠CAE=∠GAF=45°+12α，∴∠CEF=90°−∠CAE=90°−45°−12α=45°−12α，故答案为：45°−12α．【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键．【变式8-2】（22-23八年级上·江西南昌·期末）在△ABC中，∠A=60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)如图1，若点P在线段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；(2)若点P在线段BC延长线上，请借助图2和图3，分别探究∠1、∠2与∠α之间的关系，并说明理由．【答案】(1)60°+α(2)由图2可得∠2=∠α+∠1+60°，由图3可得∠2=∠1−∠α+60°，理由见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质：（1）根据三角形的外角的性质得出∠DPB=∠1+∠C，∠EPC=∠2+∠B，两式相加，即可求解．（2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解．【详解】（1）解：根据图1可得：∠DPB=∠1+∠C，∠EPC=∠2+∠B，∴∠DPB+∠EPC=∠1+∠2+∠C+∠B，∵∠DPE=∠α，∴∠α+180°=∠1+∠2+180°−∠A，∠A=60°，即∠1+∠2=60°+α；（2）解：由图2得∠2=∠α+∠1+60°，由图3得∠2=∠1−∠α+60°，理由如下：如图2，设AC,EP交于点F，∵∠AFE=∠1+∠α，∠2=∠A+∠AFE，∴∠2=60°+∠1+∠α；如图3，设AC,EP交于点F，∵∠AFE=∠1−∠α，∠2=∠A+∠AFE，∴∠2=60°+∠1−∠α；【变式8-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）【探究】如图①所示，∠AFH和∠CHF的平分线交于点 O，EG经过点O 且平行于FH，分别与AB、CD交于点 E、G．(1)若∠AFH=60°，∠CHF=50°，则∠EOF= °，∠FOH= °；(2)若∠AFH+∠CHF=100°，求∠FOH的度数．(3)如图②所示，∠AFH和∠CHI的平分线交于点 O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD 交于点 E、G．若∠AFH+∠CHF=α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）【答案】(1)30，125(2)130°(3)90°−12α【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由角平分线的定义可得∠AFO=∠HFO=12∠AFH=30°，∠CHO=∠FHO=12∠CHF=25°，再由三角形内角和定理和平行线的性质计算即可得解；（2）由角平分线的定义可得∠HFO=12∠AFH，∠FHO=12∠CHF，再由三角形内角和定理计算即可得解；（3）由角平分线的定义可得∠HFO=12∠AFH，∠IHO=12∠CHI，结合题意可得∠CHI−∠AFH=180°−α，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解．【详解】（1）解：∵∠AFH和∠CHF的平分线交于点 O，∴∠AFO=∠HFO=12∠AFH=30°，∠CHO=∠FHO=12∠CHF=25°，∴∠FOH=180°−∠OFH−∠OHF=125°，∵EG∥FH，∴∠EOF=∠OFH=30°；（2）解：∵∠AFH和∠CHF的平分线交于点 O，∴∠HFO=12∠AFH，∠FHO=12∠CHF，∵∠AFH+∠CHF=α ∠FOH=180°−∠OFH−∠OHF=180°−∠OFH+∠OHF=180°−12∠AFH+12∠CHF=180°−12∠AFH+∠CHF=130°；（3）解：∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点 O，∴∠HFO=12∠AFH，∠IHO=12∠CHI，∵∠AFH+∠CHF=α①，∠CHI+∠CHF=180°②，∴由②−①可得：∠CHI−∠AFH=180°−α，∴∠FOH=∠OHI−∠HFO=12∠CHI−12∠AFH=12∠CHI−∠AFH=12180°−α=90°−12α．【题型9 三角形外角的实际应用】【例9】（24-25七年级下·山西运城·期中）如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台AB、延展臂BC（B在C左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成．在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=76°，则这时展角∠ABC的度数为 °．【答案】166【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q=∠EFH=76°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．【详解】解：延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，如图：∵AB平行FH，∠EFH=76°，∴∠Q=∠EFH=76°，∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，∴∠BPQ=90°，∴∠ABC=∠BPQ+∠Q=90°+76°=166°．故答案为：166．【变式9-1】（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，他们从家A处出发，向正北行驶160km到达B处，若在A处测得景区C在北偏西34°方向上，且∠ACB=32∠BAC，则在B处测得景区C应位于（    ）A．北偏西68°B．南偏西85°C．北偏西85°D．南偏西68°【答案】C【分析】依题意，∠DAC=34°，根据三角形的外角的性质以及已知条件得出∠DBC，即可求解．【详解】解：如图所示，  依题意，∠DAC=34°∵∠ACB=32∠BAC，∠DBC=∠BAC+∠ACB=∠DAC+32∠DAC=52∠DAC=34°×52=85°即在B处测得景区C应位于北偏西85°故选：C．【点睛】本题考查了方位角的计算，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．【变式9-2】（2025九年级下·广东·学业考试）汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知∠1=20°，∠3=56°，则∠2的度数为（   ）A．20°B．26°C．36°D．56°【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得∠DEF=∠3=56°，然后利用三角形的外角性质即可得解．【详解】解：由题意可得AB∥CD，如图， ∴∠DEF=∠3=56°，∵∠1=20°，∴∠2=∠DEF−∠1=36°，故选：C．【变式9-3】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD=2∠ABD，∠BDC增大了5°，则∠DCE的变化情况为    （    ） A．增大10°B．减小10°C．增大25°D．减小25°【答案】C【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设∠BDC=x，根据题意可得∠CBD=∠ABD=12∠ABC=60°，则∠DCE=60°+x，物体被吊起后，可得∠CBD=2∠ABD=80°，∠BDC增大了5°，由∠DCE=∠CBD+∠BDC即可解答．【详解】解：起吊物体前，设∠BDC=x，∵ ∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线，∴ ∠CBD=∠ABD=12∠ABC=60°，∴ ∠DCE=∠CBD+∠BDC=60°+x；物体被吊起后，∵机械臂AB的位置不变，∠CBD=2∠ABD，∠CBD+∠ABD=120°，∴ ∠CBD=2∠ABD=80°，∵ ∠BDC增大了5°，∴ ∠BDC=x+5°，∴ ∠DCE=∠CBD+∠BDC=80°+x+5°=85°+x，∴ 85°+x−60°+x=25°，∴ ∠DCE的变化情况为增大25°．故选：C．第5讲 全等三角形及其性质知识点1 全等三角形1. 全等三角形的有关概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．2. 全等三角形的表示方法全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的△ABC与△DEF全等，记作“△ABC≌△DEF”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点．知识点2 全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等．2. 全等三角形的其他性质（1）全等三角形的周长相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．知识点3 全等变换一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．如图（1），把△ABC沿BC所在直线向右平移一段距离，得到△DEF，则△ABC≌△DEF．如图（2），把△ABC沿BC所在直线翻折，得到△DBC，则△ABC≌△DBC．如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△AED，则△ABC≌△AED．【题型1 全等三角形的概念】【例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，△ABC≌△CDA，下列结论：①AB与AD是对应边；②AD与CB是对应边；③∠CAB与∠ACD是对应角；④∠BAC与∠DAC是对应角．其中正确的有（    ）A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可．【详解】解：由△ABC≌△CDA得：①AB与CD是对应边，故①不符合题意；②AD与CB是对应边，故②符合题意；③∠CAB与∠ACD是对应角，故③符合题意；④∠BAC与∠DCA是对应角，∠BCA与∠DAC是对应角，故④不符合题意；故正确的有②③，故选：B．【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ）A．形状相同的两个图形全等B．完全重合的两个图形全等C．面积相等的两个图形全等D．所有的等边三角形全等【答案】B【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键．根据全等形的概念以及全等三角形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意；B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意；C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意；D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意．故选：B．【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC和△EAD全等，则下列表示正确的是（   ）  A．△ABC≌△AED B．△ABC≌△EADC．△ABC≌△DEAD．△ABC≌△ADE【答案】D【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题．【详解】解：∵ ∠1=∠2，∴ E与C相对应，∵ ∠B=∠D，∴ B与D相对应，∴ △ABC≌△ADE，故选：D．【变式1-3】（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如△ABC和△A′B′C′是全等三角形，且点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应．如下图，当沿周界A→B→C→A及A'→B'→C'→A'环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．【答案】①③/③①【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解．【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，∴属于镜面合同三角形的有①③．故答案为：①③．【题型2 由全等三角形的性质判断正误】【例2】如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′，分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是（    ）A．∠BAC=∠B′AC′B．CC′∥BB′C．BD=B′D′D．AD=DD′【答案】D【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵△ABC与△AB′C′关于直线l对称，∴△ABC≅△AB′C′，BB′⊥l，CC′⊥l，AB=AB′，AC=AC′，∴∠BAC=∠B′AC′，CC′∥BB′，即选项A、B正确；由轴对称的性质得：OD=OD′,OB=OB′，∴OB−OD=OB′−OD′，即BD=B′D′，选项C正确；由轴对称的性质得：AD=AD′，但AD不一定等于DD′，即选项D不一定正确；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．【变式2-1】如图，在△ABC与△EMN中，BC=MN=a，AC=EM=b，AB=c，∠C=∠M=54°．若∠A=66°，下列结论正确的是（    ）  A．EN=c B．EN=a C．∠E=60°D．∠N=66°【答案】A【分析】根据SAS证明△ABC≌△ENM，再根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理逐一判断即可．【详解】解：∵BC=MN=a，AC=EM=b，∠C=∠M=54°，∴△ABC≌△ENM（SAS），∴EN=AB=c，∠E=∠A=66°，∠N=∠B=180°−54°−66°=60°，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式2-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图：D、E是△ABC的边AC、BC上的点，△ADB≌△EDB≌△EDC，下列结论：①AD=ED；②BC=2AB；③∠1=∠2=∠3；④∠4=∠5=∠6．其中正确的有 （填序号）．【答案】①②③④【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解．【详解】∵△ADB≌△EDB，∴AD=ED，AB=BE，∠1=∠2，∠5=∠4，故①正确∵△EDB≌△EDC，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，故③④正确∵E是BC的中点，∴BC=2BE，又AB=BE，∴BC=2AB；所以②正确故答案为：①②③④．【变式2-3】（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知△ABC≌△ADE，且点D恰好在△ABC的边BC上，下列结论不一定正确的是（   ）A．AD=ABB．∠E=∠CC．∠ADE=∠ADBD．AE=BD【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．根据全等三角形的性质得出∠E=∠C，AD=AB，∠ADE=∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ADE=∠ABC，继而得到∠ADE=∠ADB，从而得解；【详解】∵△ABC≌△ADE∴∠E=∠C，∠ADE=∠ABC，AD=AB，∴△ABD是等腰三角形，∴∠ADB=∠ABC∴∠ADE=∠ADB，故正确的为：A，B，C，不正确的为D故选：D【题型3 由全等三角形的性质求角度】【例3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，△OAD≌△OBC，且∠AEB=120°，∠D=25°，则∠AOB的度数是（　　）A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案．【详解】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠C=∠D=25°，∵∠AEB=120°，∠D=25°，∴∠BED=∠AEC=120°−∠AEB=60°，∴∠DAO=∠C+∠AEC=60°+25°=85°，∴∠AOB=180°−∠D−∠DAO=180°−25°−85°=70°．故选：B．【变式3-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是 ． 【答案】48°【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由三角形内角和及全等的性质可得∠1=∠B=180°−60°−72°=48°，即可求解．【详解】解：如图，已知图中的两个三角形全等，∴∠1=∠B=180°−60°−72°=48°，所以∠1的度数为48°．故答案为：48°．【变式3-2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAB:∠DAC=4:3，则∠EFC的度数为 °．【答案】70【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．首先根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，然后根据全等三角形的性质得到∠DAE=∠BAC=70°，∠E=∠C=30°，最后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，∵∠DAB:∠DAC=4:3，∴∠DAC=30°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∠E=∠C=30°，∴∠EAF=∠DAE−∠DAC=40°，∴∠EFC=∠E+∠EAF=70°．故答案为：70．【变式3-3】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，△ABC≌△DEB，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边AB上，边DE与边AC相交于点F．(1)若DE=10,BC=4，求线段AE的长；(2)若∠D=20°,∠C=60°，求∠DBC的度数【答案】(1)6(2)40°【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．（1）由全等三角形的性质可得AB=DE=10,BE=BC=4，再由AE=AB−BE进行计算即可得到答案；（2）由全等三角形的性质可得∠BAC=∠D=20°,∠DBE=∠C=60°，再由三角形内角和定理可得∠ABC=100°，最后由∠DBC=∠ABC−∠DBE进行计算即可．【详解】（1）解：∵△ABC≌△DEB,DE=10,BC=4，∴AB=DE=10,BE=BC=4，∴AE=AB−BE=6；（2）解：∵△ABC≌△DEB,∠D=20°,∠C=60°，∴∠BAC=∠D=20°,∠DBE=∠C=60°，∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−20°−60°=100°，∴∠DBC=∠ABC−∠DBE=40°．【题型4 由全等三角形的性质求线段长度】【例4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，AB=8，已知△ABC≌△ADE，点D落在边BC上，P是线段BD上一点，若△AEF的面积比△CDF的面积大25，点P到线段AB和线段AD的距离之和为 ．【答案】254【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到AD=AB=8,S△ABC=S△ADE，再根据图形面积之间的关系可得S△ABD=S△AEF−S△CDF=25，设点P到线段AB和线段AD的距离分别为ℎ1,ℎ2，连接AP，根据三角形面积计算公式可得12×8ℎ1+12×8ℎ2=25，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB=8,S△ABC=S△ADE，∴S△ABD+S△ADF+S△CDF=S△ADF+S△AEF，∴S△ABD=S△AEF−S△CDF，∵△AEF的面积比△CDF的面积大25，∴S△ABD=S△AEF−S△CDF=25，设点P到线段AB和线段AD的距离分别为ℎ1，ℎ2，连接AP，∵S△ABD=S△ABP+S△ADP，∴12×8ℎ1+12×8ℎ2=25，∴ℎ1+ℎ2=254，∴点P到线段AB和线段AD的距离之和为254，故答案为：254．【变式4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知△ABC≌△FDE（∠A与∠F，∠C与∠E分别对应），AD=2，BD=3，则FD的值为 ．【答案】5【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案．【详解】解：∵AD=2，BD=3，∴AB=AD+BD=5，∵△ABC≌△FDE，∴FD=AB=5．故答案为：5．【变式4-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE=8，BC=12，则线段DE的长是 ．【答案】20【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据△ABC≌△DEB，得出BE=BC=12，DE=AB，根据AE=8，得出AB=AE+BE=12+8=20，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEB，∴BE=BC=12，DE=AB，∵AE=8，∴AB=AE+BE=12+8=20，∴DE=20．故答案为：20．【变式4-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，x−2，2y−1，若这两个三角形全等，则x+y= ．【答案】11或12/12或11【分析】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x，y值判断即可．【详解】解：∵△ABC和△DEF全等，∴当x−2=52y−1=7时，解得：x=7y=4，∴x+y=7+4=11；当x−2=72y−1=5时，解得：x=9y=3，∴x+y=9+3=12；∴综上所述，x+y=11或12．故答案为：11或12．【题型5 由全等三角形的性质求周长】【例5】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上的一点．若△BDE≌△CDA，AB=14，AC=10，则△BDE的周长为 ．【答案】24【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得DE=DA，BE=CA，即可得△BDE的周长BD+DE+BE=BD+DA+CA=BA+CA，即可求解．【详解】解：∵△BDE≌△CDA，∴DE=DA，BE=CA，∴△BDE的周长BD+DE+BE=BD+DA+CA=BA+CA，∵AB=14，AC=10，∴△BDE的周长为BA+CA=14+10=24．故答案为：24．【变式5-1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，△ AOB ≌△ DOC，△ AOB的周长为10，且BC=4，则△ DBC的周长为（   ）A．14B．15C．16D．17【答案】A【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出△DOC的周长为10．由全等三角形的性质得出△DOC的周长为10，进而得出△DBC的周长=△DOC的周长+BC即可．【详解】解：∵△ AOB ≌△ DOC，△AOB的周长为10，∴△DOC的周长为10，OB=OC，∴△DBC的周长=DO+OB+DC+BC=DO+OC+DC+BC=△DOC的周长+BC=10+4=14．故选：A．【变式5-2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知△ABC≌△DEF，AB=2,AC=4，若△DEF的周长为偶数，则EF的取值为（  ）A．4B．3C．5D．3或4或5【答案】A【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据△ABC≌△DEF得到DE=AB=2，AC=DF=4，然后利用三角形三边关系得到2