2025-2026学年上海市浦东新区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区高一（下）期末数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题．等内容，欢迎下载使用。
1．函数的最小正周期为 ．
2．已知为锐角，且，则 ．
3．已知扇形的弧长为8，半径为3，则扇形的面积为 ．
4．在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是 ．
5．已知，，，则 ．
6．已知△中，，，，则在方向上的数量投影为 ．
7．函数的单调递增区间为 ．
8．在△中，，，面积为，则 ．
9．已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ．
10．已知，，且，均为锐角，则的值为 ．
11．关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ．
12．如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．
13．如果是锐角，那么是 （ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．小于的正角D．钝角
14．设，则“”是“复数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
15．已知单位向量，的夹角为，若，则△为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
16．设函数，，，值域为，则以下结论错误的是（ ）
A．的最小值为B．不可能等于，
C．的最大值为D．不可能等于，
三、解答题（本大题共有5题，满分72分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．已知为虚数单位，为实数，复数．
（1）当时，求的模和；
（2）若为实数，求的值．
18．以△的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系．如图，将角、、所对的边分别记作、及，则点、的坐标分别为及，试证明：．
19．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）设，，求的取值范围．
20．（17分）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布（且异于点，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，．
（1）求观赏通道的长；
（2）若，求折线段通道的最大值（即最大）．
21．已知函数，其中．
（1）求函数的振幅和初相；
（2）若，且，求的最小正周期和对称轴方程．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1．函数的最小正周期为 ．
解：函数的最小正周期为：．
故答案为：．
2．已知为锐角，且，则 ．
解：根据为锐角，且，可得，
所以．
故答案为：．
3．已知扇形的弧长为8，半径为3，则扇形的面积为 12 ．
解：由扇形的弧长为8，半径为3，
可得扇形的面积：．
故答案为：12．
4．在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是 ．
解：复数、对应的点分别为、，
，，
为线段的中点，，
点对应的复数是．
故答案为：．
5．已知，，，则 ．
解：因为，，且，
所以．
故答案为：．
6．已知△中，，，，则在方向上的数量投影为 ．
解：．
故答案为：．
7．函数的单调递增区间为 ．
解：令可得，，，
故函数的单调递增区间，．
故答案为：，．
8．在△中，，，面积为，则 2 ．
解：因为△中，，，面积，
所以，即，解得．
故答案为：2．
9．已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ，， ．
解：，，与的夹角是锐角，
则且、不同向，即，解得且，
故实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
10．已知，，且，均为锐角，则的值为 ．
解：，，且，均为锐角，
，，
则．
再根据，求得，
故答案为：．
11．关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ．
解：由题意可得，，
，，
或4，
又，
，
．
故答案为：．
12．如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为 ．
解：由题意可得，，，，
设，代入，可得
，解得，，
所以，
因为点在线段上，设，，，
则，，
所以，
所以，即点是线段中点时，有最小值．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．
13．如果是锐角，那么是 （ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．小于的正角D．钝角
解：因为是锐角，即，
所以，
即是小于的正角．
故选：．
14．设，则“”是“复数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
解：复数，则，解得；
，则，充分性成立；
，则，必要性成立，
“”是“复数”的充要条件．
故选：．
15．已知单位向量，的夹角为，若，则△为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
解：根据题意，由，
可得，
则，
由，可得
，
故，
由，
则
，
可得，
在△中，由，，，
可得，
则△为直角三角形；
故选：．
16．设函数，，，值域为，则以下结论错误的是（ ）
A．的最小值为B．不可能等于，
C．的最大值为D．不可能等于，
解：若，，，则取最小值为，对，
若，，，则取最大值为，对，
若，，则，若存在，，使，则存在，，使，与值域矛盾，则不可能等于，，对，
若，，则值域为，则错，
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分72分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．已知为虚数单位，为实数，复数．
（1）当时，求的模和；
（2）若为实数，求的值．
解：（1）当时，，
所以，．
（2）因为，
因为该复数为实数，所以，解得．
18．以△的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系．如图，将角、、所对的边分别记作、及，则点、的坐标分别为及，试证明：．
【解答】证明：由题意，，，
则，
两边平方得：
，
即，得证．
19．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）设，，求的取值范围．
解：（1）知向量，，
因为，则，即，得．
（2）
所以
．
因为，所以，
则，，
因此，，即的取值范围为，．
20．（17分）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布（且异于点，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，．
（1）求观赏通道的长；
（2）若，求折线段通道的最大值（即最大）．
解：（1）在△中，已知，，，
根据正弦定理，可得，
即，解得，
则观赏通道的长为；
（2）在△中，，，设，，
由余弦定理：，即，
配方整理可得：，由基本不等式，
当且仅当时取等号，代入得：，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此折线段通道的最大值为．
21．已知函数，其中．
（1）求函数的振幅和初相；
（2）若，且，求的最小正周期和对称轴方程．
解：（1）由题意可得，
可得函数的振幅为2，初相为；
（2）由题意，是函数的最小值，是函数的最大值，
所以为半个最小正周期，即，得，
又，
可得，
可得，
令，得，
可得的对称轴方程为．