陕西省商洛市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版）

这是一份陕西省商洛市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版），共10页。
2. D AB+CD−CB=AB+BD=AD .
3. A 被选中的博士生人数为 1503000+900+150×135=5 .
4.B 若 l⊥α ，则 l 与 α 内无数条直线垂直；若 l 与 α 内无数条直线垂直，则 l 与 α 的位置关系不确定.
5. A 由题可知,方程的另外一个复数根为 m−i ,且 m+i+m−i=−4,m+i⋅m−i=n, 得 m=−2,n=5, 则 mn=−25=−32.
6.B 新数据的平均数为 3×5=15 ,方差为 32×2=18 .
7. A 由正弦定理可求出 sinB 的值，又因为 A 是钝角，所以 B 只能是锐角，即 B 有唯一解，则 △ABC 解的个数为 1 .
8.C 如图,分别设上、下底面对角线的交点为 O1,O ,连接 O1O ,由棱台的侧棱长均相等,可得 O1O⊥ 平面 ABCD . 作 B1T⊥BD 于点 T ,可得 T 为 BO 的中点,且 B1T⊥ 平面 ABCD . 由 BC=2AB=8,B1C1=2A1B1=4 ,可得 BT=5 . 因为 BB1=3 ,所以 B1T=2 ,则该棱台的高为 2,则该棱台的体积为 13×2×4+4×8+2×4×4×8×2=1123 .

9. ACD 由题可知，该组数据的众数为8，极差为7，第60百分位数为8，A 正确，C正确，B 不正确. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据的第 60 百分位数为 8 ，D 正确.
10. BD z=3+i1−i=3+i1+i1−i1+i=1+2i ,则 z=1−2i,z=12+22=5,z 在复平面内对应的点位于第一象限, A 不正确, B 正确, C 不正确. 由 z+a+bi=1+a+2+bi 是纯虚数,可得 1+a=0,2+b≠0, 则 a=−1,b≠−2, 故 a2+b2+b=b+122+34≥34 , D 正确.
11. ABD 因为 A1N⊥ 平面 AA1D1D,A1M⊂ 平面 AA1D1D ,所以 A1N⊥A1M ,则 MN= A1N2+A1M2≤A1N2+A1D2=3 , A 正确. 易知 B1D⊥ 平面 A1BC1 ,则当 MN//B1D 时, MN⊥ 平面 A1BC1 . 因为 N 是 A1B1 的中点,所以 M 是 A1D 的中点,故存在唯一的点 M ,使得 MN⊥ 平面 A1BC1, B 正确. 由 M,N 分别为 AA1,A1B1 的中点,可得 D1M=D1N =5,MN=2 ,则 △MND1 的面积为 12×2×5−222=32,VM−A1D1N=13×12×2×1 ×1=13 . 设点 A1 到平面 MND1 的距离为 d ,则由 VA1−MND1=VM−A1D1N ,可得 13×32d=13 , 得 d=23,C 不正确. 取 AD 的中点 P,A1D1 的中点 Q ,连接 PQ,NP,NQ (图略),易得平面 NPQ// 平面 BDD1B1 ,若点 M 在 PQ 上运动,则 MN// 平面 BDD1B1 ,故点 M 的运动轨迹为线段 PQ ,长度为 2,D 正确.
12. 42 因为 A′C′=2,A′C′⊥B′C′ ,所以 B′C′=A′C′=2,A′B′=22 ,则 BC=B′C′=2,AB =2A′B′=42 .
13. 13;112b 因为 2a−3b=6 ,所以 2a−3b2=4a2−12a⋅b+9b2=36 . 又 b=2a=2 , 所以 4a2−12a⋅b+9b2=40−12a⋅b=36 ,得 a⋅b=13,a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2b=112b.
14. 60013 由题可知 tan60∘=OPOA,tan30∘=OPOB ,则 OA=OPtan60∘=600 m,OB=OPtan30∘= 1800 m.∠AOB=90∘+30∘=120∘ ,则 AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcs∠AOB= 4680000,则 AB=60013 m .
15. 解: (1) 由 m//n ,可得 4x+12=0 ,解得 x=−3 , 2 分
则 m+n=−5,10 , 4 分
故 m+n=−52+102=55 . 6 分
(2)由 m⊥n ，可得 −2x+24=0 ，解得 x=12 ， 8 分
则 m+n=10,10 . 9 分
设 m 与 m+n 的夹角为 θ ,则 csθ=m⋅m+nmm+n .10 分
=−2×10+4×10−22+42×102+102=1010 . 13 分
16. 证明: (1)连接 BC . 因为 AB 是底面圆 O 的直径, C 在圆 O 上,所以 AC⊥BC . 2 分
又 CC1 是圆柱的母线,所以 CC1⊥ 平面 ABC . 3 分
因为 AC⊂ 平面 ABC ,所以 AC⊥CC1 . 4 分
又 BC∩CC1=C ,所以 AC⊥ 平面 BCC1 . 6 分
因为 BC1⊂ 平面 BCC1 ,所以 AC⊥BC1 . 7 分
(2)连接 EF,BD . 因为 E,F 分别是 AC1,CC1 的中点，所以 EF//AC . 9 分
又 AB,CD 是底面圆 O 的两条直径,所以 ∠ACB=∠DBC=90∘ . 10 分
则 AC//BD , 12 分
得 EF//BD , 14 分
则 B,D,E,F 四点共面. 15 分
17. 解: (1) 因为 sinA+csA=2sinA+π4=2 , 2 分
所以 sinA+π4=1 . 3 分
因为 0