2025-2026学年上海中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年上海中学高二（下）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若随机变量X的方差D[X]=1，则D[-2X]=（ ）
A. -2B. -4C. 2D. 4
2.某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认.已知其线性回归方程为=1.84378+7.7875，相关系数r≈0.999，则模糊的数据可能是（ ）
A. 9.1，10.5B. 9.3，10.2C. 9.4，10.2D. 9.4，10.3
3.将1，2，…，20分为没有公共元素的两组，每组各10个数.现从这两组中独立且随机地各选择一个数u,v,定义随机变量X=|u-v|.在所有分组方式中，P（X=1）的最大值与最小值分别为（ ）
A. 0.2，0B. 0.2，0.01C. 0.19，0D. 0.19，0.01
4.函数f（x）与其导函数f′（x）都是定义在R上的连续函数，且f′（x）只有有限个零点.记函数g1（x）=f（x2-2x+1）的极值点个数为M，g2（x）=f（ex-x-1）的极值点个数为N.
对于以下命题：
①M，N必为奇数；
②M=N.
判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题D. ①②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数f（x）=x5+1，则f′（x）= .
6.若函数f（x）是偶函数，f′（1）=2，则f′（-1）= .
7.已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=k）=ka（k=1，2，3），则a= .
8.已知函数f（x）的导函数，则x=π是f（x）的极 值点.（选填“大”或“小”）
9.若一组成对数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r=0.9，则数据（xi，2yi）（i=1，2，…，n）的相关系数为 .
10.设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），记p1=P（0＜x＜1），p2=P（1＜x＜2），p3=P（2＜x＜3），则p1，p2，p3的大小关系为 .
11.已知随机变量X服从二项分布B（2，p），Y服从二项分布B（4，p）.若，则P（Y≥1）= .
12.若函数f（x）=x3-ax在（a,+∞）上是严格增函数，则a的取值范围是 .
13.若直线l过原点，且与f（x）=lnx+x相切，则l的斜率为 .
14.某工厂需设计一种容量为1000mL、底面半径为rcm的圆柱形罐头，罐头外壳由金属板制成（材料单价为0.001元/cm2），其中侧面由矩形金属板卷成，不产生浪费；上、下底面各从一个边长为2rcm的正方形金属板上切割而成，并产生边角废料（包含在材料费用内）.若不计其余成本，当r变化时，制造单个罐头外壳的材料费用最小值为 元.
15.已知函数f（x）=x2+ax+b有两个零点x1＜x2.分别作f（x）在x=x1与x=x2处的切线，若这两条切线与x轴围成的三角形恰是等边三角形，则该三角形的面积为 .
16.设f（x）=slnx+ax,g（x）=ex-ax.若对任意u∈R，存在v∈R，使得f（x）在x=u处的切线与g（x）在x=v处的切线垂直，则a的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）.每次操作中，从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作.定义随机变量X为这三次操作中摸出的黑球总数.求X的分布、期望与方差.
18.(本小题8分)
设f（x）=tanx+asinx.
（1）当a=-1时，证明：f（x）是上的严格增函数.
（2）当a=8时，求f（x）在上的所有极值点.
19.(本小题10分)
为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下2×2列联表：
（1）补全上述表格，并取显著性水平α=0.005，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联.
（2）为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否大于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时.现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量X为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值.求X的分布与期望.
（注：χ2=，其中n=a+b+c+d）
20.(本小题10分)
设函数f（x）=eax+x2-ax.
（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞xex；
（2）若对任意a∈R，f（x）在x=x0处的切线与y轴交点纵坐标小于0，求x0的取值范围.
21.(本小题12分)
已知随机变量X服从如下分布：，其中0≤x1＜x2＜…＜xn≤1，对应概率p1，p2，…，pn∈（0，1）且p1+p2+…+pn=1.此时我们定义了X的方差D[X]=E[（X-E[X]）2].
（1）证明E[X2]≤E[X]，并进一步证明D[X]≤.
（2）方差也被称为X的2阶中心矩，记作μ2.仿照该定义，可以再定义X的4阶中心矩μ4=E[（X-E[X]）4].
记μ=E[X]，完成以下问题.
①给出一组常数A，B（用含μ的式子表示），使得（x-μ）4≤Ax+B对任意x∈[0，1]成立，且等号成立当且仅当 x=0或1.并证明该不等式.
②求μ4的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】5x4
6.【答案】-2
7.【答案】
8.【答案】大
9.【答案】0.9
10.【答案】p1＜p2=p3
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】0.6
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】X的分布为：
E（X）=2，．
18.【答案】证明：当a=-1时，，
所以，
又，所以 f′（x）＞0，
所以f（x）是上的严格增函数
和
19.【答案】列联表：
有99.5%的把握认为高中生数学成绩与每周自主学习时间有关联
X的分布列为

20.【答案】（-∞，1）
（-∞，-1）∪（1，+∞）
21.【答案】因为0≤x1＜x2＜…＜xn≤1，对应概率p1、P2、…、pn∈（0，1）且p1+p2+…+pn=1，
所以，，…，，
所以，
所以D[X]=E[（X-E[X]）2]=E[X2]-（E[X]）2≤E[X]-（E[X]）2=
①因为0≤x1＜x2＜…＜xn≤1，所以μ=E[x]∈（0，1），
令f（x）=（x-μ）4，则f'（x）=4（x-μ）3，由f′（x）＜0可得0＜x＜μ，由f′（x）＞0可得μ＜x＜1，
所以函数f（x）在（0，μ）上单调递减，在（μ，1）上单调递增，
所以要满足（x-μ）4≤Ax+B，且等号成立当且仅当x=0或x=1，
只需直线y=Ax+B过点（0，f（0））和（1，f（1））即可，
所以，B=f（0）=μ4．
下面证明不等式（x-μ）4≤[（1-μ）4-μ4]x+μ4，其中0≤x≤1，
构造函数g（x）=（x-μ）4-[（1-μ）4-μ4]x-μ4，其中0≤x≤1，
g'（x）=4（x-μ）3-（1-μ）4+μ4，
令h（x）=g'（x），则h'（x）=12（x-μ）2≥0，
所以函数g'（x）在[0，1]上为增函数，
因为，．
由零点存在定理可知，存在x0∈（0，1），使得g'（x0）=0，
且当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＞0，
所以函数g（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，1]上单调递增，
又因为g（0）=g（1）=0，
故对任意的x∈[0，1]，g（x）≤g（0）=g（1）=0，
故当A=（1-μ）4-μ4，B=f（0）=μ4时，（x-μ）4≤Ax+B对任意x∈[0，1]成立，且等号成立当且仅当x=0或x=1；② 数据x
0.7
0.9
1.3
1.4
1.7
数据y
9.1
10.4
10.9
数学成绩
总计
高于120分
不超过120分
每周自主学习时间
大于12小时
60
76
不足12小时
64
总计
180
P（χ2≥kα）
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
kα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
每周自主学习时间
数学成绩
总计
高于120分
不超过120分
不少于12小时
60
16
76
少于12小时
40
64
104
总计
100
80
180
X
0
1
2
3
P