2026年北京市中考数学真题含答案

这是一份2026年北京市中考数学真题含答案，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名________ 准考证号________ 考场号________ 座位号________
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列图形中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
2．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为
A．B．C．D．
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A．B．C．D．
4．一个不透明的袋子中仅有5个球，其中有1个白球、1个黄球，其余都是红球，这5个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是
A．B．C．D．
5．方程组的解为
A．B．C．D．
6．再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水厂建成后每天能够供应高品质再生水．若一年按365天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为
A．B．C．D．
7．如图，点B在射线上，在射线上截取，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D．连接，，则的大小为
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论：
①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”；
②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”；
③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”；
④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①③B．①④C．②③D．②④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
10．分解因式：________．
11．在凸五边形中，，，则________．
12．某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下：
学校建议，每周体育活动时间小于10 h的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________．
13．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）．
14．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为24，的长为8，当的长为________时，是菱形．
15．如图，在平面直角坐标系中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数和的图象于点A、B，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接交y轴于点Q，则的值为________．
16．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．
已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．
（1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________；
（2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________．
三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，，D，E分别为，的中点，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围．
22．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：
·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；
·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．
已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．
23．若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________；
（2）记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）；
（3）如果丙8轮得分的中位数为2.5，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
24．如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，为的直径，过点B作的垂线，垂足为E，交于点D，连接，．
（1）求证：；
（2）连接交于点F，若，，求的长．
25．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100 g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：
（1）根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线；
（2）当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入100 g水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________g（精确到个位）乙从水中析出；
（3）当温度为时，小云将100 g甲加入到装有100 g水的1号杯中，将100 g乙加入到装有100 g水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案：
方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；
方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入水，向2号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解．
①方案一中，T的最小值为________（精确到个位）；
②方案二中，的最小值为________（精确到个位）．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为．
（1）求b的值，并用含a的式子表示c；
（2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围．
27．在中，，，过的中点D作的垂线l，交于点E，点M在的延长线上，．
（1）如图1，，求证：；
（2）如图2，点N在的延长线上，，连接，，直接写出的大小，并证明．
28．对于不共线的三点A，B，C，连接，，并作劣弧，使得所在圆的圆心在过点A且与平行的直线上，称由，和组成的图形为单弧三角形，记作，其中所在圆的圆心称为的弧心．
在平面直角坐标系中，
（1）如图1，点，，，直接写出的弧心的坐标及的长；
（2）如图2，点，，当的弧心为O时，求点F的坐标；
（3）已知点，对于平面内的点N，存在点P，Q满足和的弧心均为O，和都不是钝角三角形，且，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
2026年北京市初中学业水平考试
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．本试卷答案中解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与答案中的解法不同，可参照评分参考相应给分．
3．评分参考中每题所注分数，表示考生此题正确做到此步应得的累加分数．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．10．11．13512．200
13．14．315．16．（1）34；（2）5
三、解答题（共68分，第题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本题满分5分）
解：原式 4分
．5分
18．（本题满分5分）
①解：原不等式组为
解不等式①，得．2分
解不等式②，得．4分
所以原不等式组的解集为．5分
19．（本题满分5分）
解：原式
．3分
，
，
原式． 5分
20．（本题满分6分）
（1）证明：在中，，E为的中点，
1分
，
．
又，
四边形是平行四边形．2分
（2）解：，E分别为，的中点，
是的中位线．
，．
．
．
由，，得，．
的面积为3，的面积为．
四边形的面积为．6分
21．（本题满分5分）
解：（1）函数的图象经过点和．
1分
解得
的值为2，b的值为3．3分
（2） 5分
22．（本题满分6分）
解：设这台A类机器人的速度为．
由题意可知，．
解得．
所以．
答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为21000 m．6分
23．（本题满分5分）
解：（1）2.2；2分
（2）；3分
（3）不是，当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为2.5，但平均数为1.75，小于乙8轮得分的平均数．（写出一个反例即可） 5分
24．（本题满分6分）
（1）证明：连接，．
，C，D是上的点，
．
，是的两条切线，
，，．
点P在的平分线上，
平分．
．
，为的直径，
．
．
．2分
（2）解：，为的直径，
，．
在中，，，
．
设的半径为r，则，．
在中，由，
得．
解得．
在中，，，
．
，
．
，
，
求得．
．6分
25．（本题满分5分）
解：（1） 1分
（2）答案不唯一，如69，70；
答案不唯一，如57，58；3分
（3）①答案不唯一，如56，57；
②答案不唯一，如403，404．5分
26．（本题满分6分）
解：（1）抛物线经过点，
．
抛物线的对称轴为，
．
．2分
（2）设点，
是抛物线上的点，
．
由题意，抛物线，
设抛物线与y轴交于点，则．
无论t为何值，抛物线都不经过点O，
无论t为何值，都有，
关于t的方程没有实数根．
，即．
且．6分
27．（本题满分7分）
（1）证明：，
．
，，
．
．
．
，．
．2分
（2）的大小为．
证明：如图，过点A分别作，的垂线，分别交，的延长线于点P，Q．
在中，．
．
是的中点，
．
，
．
，
又是和的公共边，
．
．
同理，，，．
，
．
即，
．7分
28．（本题满分7分）
解：（1），；2分
（2）对于，弧心O在过点D且与平行的直线上，．
如图，连接，过点E作的平行线，以O为圆心，长为半径画弧，交所作平行线于点F，则由、和劣弧组成的图形为．
过D、F分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，连接．
由得，，．
．
可得．
在中，，
求得，．
点F的坐标为．4分
（3）．7分
考生须知
1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题满分100分．考试时间120分钟
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
每周体育活动时间
学生人数
3
7
55
24
11
温度
0
10
20
30
40
50
60
70
80
甲的溶解度g
13.3
20.9
31.6
45.8
63.9
85.5
110
138
169
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
D
A
B
A
B