湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 在复数范围内方程 的解为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原方程可化为 ,故 .
2. 如图，在三棱柱 中，设 是 的中点,则 可表示为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 是 的中点,
则 .
3.设 均为直线,其中 在平面 内,则“ ” 是 “ 且 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线垂直于平面,则直线垂直于平面内任意一条直线,故充分性成立; 若直线垂直于平面内两条相交直线,则该直线垂直于平面,本题未说明 相交,故不能得到线面垂直. 故必要性不成立 .
4.已知 的内角 的对边分别是 ，且 ， 则 的形状是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】因为 ,三边各不相等,不妨设 ,则 为最大角,由余弦定理可得 ,即 为钝角,所以 是钝角三角形.
5.如图，棱长为 1 的正方体 中，异面直线 与 所成的角是
A. B. C. 60° D. 30°
【答案】C
【解析】连接 ,
因为 且 ,所以四边形 为平行四边形,
则可得 ,所以直线 与 所成的角为 或其补角, 在正方体中可知 ,所以 .
6.柜子里有 3 双不同的鞋，分别用 表示 6 只鞋，从中随机地取出 2 只. 设事件 “取出的鞋不成双”, “取出的鞋中包含 ”, “取出的鞋都是一只脚的”, “取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”. 对上述事件的关系，下列说法正确的是
A. B. 与 独立C. 与 对立 D. 与 互斥
【答案】B
【解析】从 6 只鞋中任取 2 只,共有 15 种等可能的结果,样本空间为 ,
,
则 ,
,
,故 ,故 A, C, D 错误;
而 ,所以 ,
又 ,
因此有 ,故 与 独立, 正确.
7.如图，设 ，线段 与 交于点 ，且 ,则
A. 4 B. 3C. D. 5
【答案】D
【解析】因为 ,
故 ，所以 ，
因为 ,所以 ,
因为 三点共线,所以 ,故 .
8.在三棱锥 中,底面 是直角三角形且 平面 ,当该三棱锥的外接球表面积为 时,则它的内切球的半径为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设三棱锥 的外接球半径为 ,则其外接球的表面积 ,
解得 ,
因为 平面 ,且 是直角三角形,
所以 ,
又因为三棱锥 的外接球的直径就是以 为棱的长方体的体对角线,
设 ,则根据长方体体对角线公式可得 ,
把 代入，即 ，解得 ，
因为 ,
所以三棱锥 的体积 ，
又 ,
,
所以 ,
设三棱锥 的内切球半径为 ,
根据等体积法 ,即 ,
则 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 有 三种个体按 的比例分层抽样调查,若抽取的 体数为 9 , 则样本容量为 30
B. 数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数相同
C. 若甲组 5 个数据的方差为 5 , 乙组数据为5,6,7,8,9, 则这两组数较稳定的是甲
D. 某组样本数据为6,11,8,13,16,10,16,4,18,14,则样本数据 位数为 9
【答案】BD
【解析】对于选项 : 根据样本的抽样比等于各层的抽样比,样本容量为 ,故选项 A 不正确; 对于选项 B: 数据1,2,3,3,4,5的平均数为 ,众数和中位数都是 3,故选项 B 正确; 对于选项 C: 乙组数据的平均数为 ,乙组数据的方差为 ,所以这两组数据中较稳定的是乙,故选项 C 不正确;
对于选项 D: 样本数据从小到大排序为 ,则 分位数为 ,故选项 正确.
10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长都为 1,且 ,下列说法中正确的是
A. 平面 B. 平面
C. 的长为 D. 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】 选项: 由平行六面体的定义, 平面 平面 ,由线面平行的判定定理,得 平面 ,所以 正确;
B 选项:
故 ,即 ,又 ,且 平面 , 由线面垂直的判定定理,得 平面 ,所以 正确;
C选项: ,则 ,所以 不正确;
D 选项: 法一 (向量法): 过 作 平面 ,垂足为 ,连接 .
由 ,且 ,得 为等边三角形,则 .
因为 平面 ,所以 ,由三角形全等可得 ,
故 在 的平分线 上,因此 与平面 所成角为 .
由 ,得 ,即 .
,
,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ;
法二(几何法):
连接 ，
由 ， ,可得 ,
即四面体 为棱长为 1 的正四面体.
设底面正 的中心为 ,则 ,
平面 ,在 Rt 中, .
设 与平面 所成角为 ,则 ,故 正确.
11.如图，在棱长为 2 的正方体 中, 分别是棱 的中点,点 是正方体表面上的一个动点, 则下列说法正确的是
A. 存在点 使得
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 当点 在侧面 且满足 时,二面角 的正切的最大值为
D. 当直线 与平面 所成的角为 时,点 的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】当点 位于 处时,显然满足,故 正确;
对于 ,显然 为正三角形, ,
要使三棱锥 的体积最大,当且仅当点 到平面 的距离最大,
又点 是正方体表面上到平面 距离最大的点,
此时三棱锥 是棱长为 的正四面体,
又点 到平面 的距离 ,
则 ,故 正确;
对于 且 在侧面矩形 内,则 的轨迹是以 为圆心、1为半径的一段圆弧,
因为 平面 ,
所以 平面 ,故 ,
又因为平面 平面 平面 平面 ,
根据二面角平面角定义， 即为二面角 的平面角,
在矩形 内,过 作 交 于点 ,
中, 越大,二面角越大,即 越大,
当 取圆弧与 的交点,即 与圆弧相切时, 最大,所以 ,
即二面角 的正切的最大值为 2，故 C 错误；
对于 ，由平面 平面 ，得直线 与平面 所成的角为 ，
连接 ,由 平面 平面 ,且 ,
则点 为线段 或 上任意点 (除点 外),
在正方形 内以 为圆心,2 为半径作圆弧 ,
当点 为圆弧 上任意点时,连接 ,
由 平面 ,得 是 与平面 所成角,
而 ,则 ,因此 点轨迹是线段 及圆弧 (除 点外),
所以 点轨迹长度为 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某圆锥母线长为 2,其侧面积为 ，则该圆锥的体积为________.
【答案】
【解析】设圆锥底面圆半径为 ,高为 ,母线 ,则圆锥的侧面积为 , 所以 ,故该圆锥的体积为 .
13.已知向量 分别是直线 的方向向量和平面 的法向量，若 ，则 与 所成的角为_______.
【答案】
【解析】设线面角为 ,则 ,所以 .
14.已知锐角 的面积为 分别在 上,且满足 对任意 恒成立，则 ________.
【答案】
【解析】因为 ,则 ,
则有 的面积 ,解得 ,
由图知 表示直线 上一点到点 的向量,
而 则表示直线 上一点到点 的距离,
由 对任意 恒成立可知,
的长是点 到直线 上的点的最短距离,
故易得,此时 ,同理可得 .
如图所示，因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，所以 ，
又 ,
所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.2026 年 5 月 25 日至 5 月 31 日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”, 为了了解本次竞赛的成绩情况, 从中随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩 (单位:分,得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计,将成绩进行整理后,按 , [90,100]分为 5 组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中 的值，并估计这 100 名学生这次竞赛成绩的中位数与众数;
(2)若落在 学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在 学生的平均成绩为 66.4 , 方差是 9.2 , 求这两组学生成绩的平均数和方差. (结果精确到 0.1)
【解析】(1) 由频率分布直方图可知, ,解得 . （2 分）
各组的频率分别为0.10,0.20,0.25,0.35,0.10,落在 的人数最多,
所以估计这 100 名学生这次竞赛成绩的众数为 . （4 分）
由 可得中位数位于 中,设中位数为 ,
则 ,即中位数为 78 . （7 分）
(2)由频率分布直方图知,
成绩在 的学生人数为 ,
成绩在 的学生人数为 ,
所以这两组学生成绩的平均数为 , （10 分）
所以这两组学生成绩的总方差为 （13 分）
16.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 求 的最小值.
【解析】(1)由 ,
根据正弦定理得 ,整理得 , （3 分）
由余弦定理得 ,结合 ,可知 . （6 分）
(2)根据题意， 的面积 ，
即 ，可得 ， （8 分）
所以 .
因为 ,所以 , （11 分）
两边平方得 ,
因为 ,当且仅当 时取等号. （14 分）
所以 的最小值为 2,可知 的最小值为 . （15 分）
17.新高考数学设有 3 个多选题, 每小题 6 分, 评分标准如下: 若某试题有两个正确选项, 选对一个得 3 分, 选对两个得 6 分, 有错选得 0 分; 若某试题有三个正确选项, 选对一个得 2 分, 选对两个得 4 分, 选对三个得 6 分, 有错选得 0 分.
(1)根据以往经验，甲同学第一个多选题得满分的概率为 ，第二个多选题得满分的概率为 ，第三个多选题得满分的概率为 ， 三个多选题做对与否互不影响. 求甲同学三个多选题中恰有两题得满分的概率.
(2)乙同学正在做一道多选题(多选题每题至少选一项且不能全选，假设乙同学随机选择一种选项组合,每种组合等可能).
(i)在完全盲猜的情况下，求乙同学得 6 分的概率(要求写出样本空间).
(ii)若该多选题有三个正确选项，乙同学已经判定 A 正确(即正确答案中有 A 选项, 且乙同学一定会选 A), 在其余选项随机选择(每种选项组合等可能, 且满足整个多选题至少选一项且不能全选)的情况下，求乙同学该题得分大于等于 4 分的概率.
【解析】
(1)设事件 为“甲同学三个多选题恰有两题得满分”，事件 为“第 个多选题得满分”， 则 ,且 互斥. （2 分）
又因为 相互独立,所以 （ 5 分）
(2)(i)设事件 为“乙同学得 6 分”.
样本空间 . （7 分）
样本空间 共有 14 个样本点,事件 包含 其中的 1 个. （8 分）
因此 . （10 分）
(ii)设事件 为“乙同学该题得分大于等于 4 分”.
样本空间 .（ 11 分）
样本空间 共有 7 个样本点,事件 包含 其中的 2 个和 其中的 1 个. （13 分）
因此 . （15 分）
18.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为平行四边形,且 ,设平面 平面 , 且 .
(1)证明: ；
(2)若 ，
(i)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(ii)点 是四边形 (不含边界) 内的动点,且 ,求平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围.
【解析】(1)证明:因为 为平行四边形，所以 ， （1 分）
又 平面 平面 ,所以 平面 , （2 分）
因为平面 平面 ,所以 , （3 分）
因为 . （4 分）
(2)(1)(法一:向量法)因为 平面 ,且 ,所以 两两互相垂直，
以 为原点, 分别为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 , 6 分
设平面 的法向量为 ,
由 可得 取 ,则 ,
所以 , （8 分）
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ; （10 分）
(法二:几何法)补体成长方体 ,
过点 作 垂直 于点 ,连接 ,
则 平面 ,
所以 为直线 与平面 所成角, （7 分）
在 Rt 中, ,所以 , （9 分）
在 Rt 中, ,
所以 . （10 分）
(ii) 因为 平面 平面 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
又 是四边形 (不含边界) 内的动点,则点 在以 为圆心,2 为半径的圆上, （11 分）
令 ,则 ,
又 ,
,
设平面 的法向量为 ,
则取 , （13 分）
设平面 的法向量为 ,
则取 , （14 分）
故 ,
令 ,则 ,
因为函数 在 上单调递减,则 ,
则 , （16 分）
设平面 与平面 所成角为 ,则 ,
所以平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围为 . （17 分）
19.已知函数 的定义域为 R. 对于实数 ，定义集合
( 1 )若 ，判断 ， 是否是 中的元素，说明理由.
( 2 )若 表示不大于 的最大整数.
(i) 若 ,求 的取值范围;
(ii) 若 ,证明: .
(3)设 是偶函数，当 时， ，且对任意 ,均有 . 求对任意实数 ,函数 在 上零点个数的最大值, 并说明理由.
【解析】(1) （2 分）
所以 . （4 分）
(2)(1)一方面，对任意 ， ，所以 ； （5 分）
另一方面,当 时,取 ,则 ,
所以 ,故 ,所以 . （6 分）
综上, . （7 分）
(II)若 ,对任意 ,都有 ,
即 ,所以 ,故 ,
所以 ,所以 ;（ 9 分）
另一方面, ,所以 ,
取 ,则 ,
则 ,所以 ,但 ,所以 .
综上, . （10 分）
(3)函数 在 上至多有 11 个零点，理由如下:
因为对任意 ，均有 ，
即对任意 ，只要 ，就有 ， （11 分）
当 时, ,由 为偶函数可知,当 ,作出 在 的大致图象如下:
,并且 ,所以 ,故当 时, ,由 为偶函数可知,当 时, ,作出部分图象如图所示:
（12 分）
下证当 时, 至多一个零点.
否则设 ,且 .
若 ,则 ,
因为 ,所以 ,且 ,
故 ,①
当 ,因为 ,所以 ,使得 ,
故 ,因为 ,所以 ,
且 ,故 ,②
根据①，②， ，矛盾.
若 ,由①知, ,矛盾,
故对任意 ，当 时， 至多一个零点.
由 为偶函数,当 时, 至多一个零点. （14 分）
下证当 时, 不存在三个及以上零点.
否则若 ,且 ,
有 ,因为 ; 所以 ,
,因为 ,所以 ,
所以 ,而 ,由 在 上单调,矛盾,所以当 时, 不存在三个及以上零点,
由 为偶函数,当 时, 不存在三个及以上零点. （15 分）
下面作出 的部分图象,
由图象及上述证明可知,当 时, 至多有 11 个零点,当 取其他值时, 均少于 11 个零点.
下面说明: 可以取到 11 个零点.
若 ,在 上, ; 故在 上, ;
在 上, ; 故在 上, ;
取 ,则 ,
因为 ,于是 ,从而
取 ,则 ;
取 ,则 .
经检验,这些点均满足对任意 ,均有 ,如图所示:
综上,函数 在 上至多有 11 个零点. （17 分）