重庆市巴蜀中学2025-2026学年七年级下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市巴蜀中学2025-2026学年七年级下学期期末考试 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. 0D.
2. 桥都重庆桥梁总数超过2万座，桥的类型丰富多样，每一座桥都有着独特的设计和建造技术．如图，千厮门大桥在建造时采用斜拉索设计．这种设计蕴含的数学原理是（ ）
A. 三角形的内角和为B. 三角形具有稳定性
C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线
3. 下列调查中最适合用抽样调查的是（ ）
A. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
B. 调查重庆市区域内嘉陵江的水质情况
C. 调查天舟十号飞船零部件的质量情况
D. 调查全班同学观看电影《给阿嬷的情书》的情况
4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，祈年殿是天坛的重要建筑，其中关键榫卯部件是“榫头件”和“卯口件”．“榫头件”与“卯口件”的数量比为才能完美咬合．若某工厂每天可生产80个“榫头件”或100个“卯口件”（每天只能生产同一种部件），若要使该工厂在92天内生产的榫卯部件完美咬合，设该工厂生产“榫头件”的天数为，生产“卯口件”的天数为，则符合题意的方程（组）为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，小蜀利用点的平移在平面直角坐标系中形成一列汉字“凸”．他先将点向上平移1个单位得到，再将向右平移2个单位得到，将向上平移3个单位得到，将向右平移1个单位得到，将向下平移3个单位得到，将向右平移2个单位得到，将向下平移1个单位得到，将向右平移1个单位得到．依此规律，点的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
9. 若关于的一元一次不等式组恰有两个偶数解，且关于、的方程组有正整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A. 7B. 17C. 16D. 6
10. 整式：，其中，为正整数．，…，，均为整数．满足，．下列说法：
①满足条件的整式中，的最大值为6；
②当，时，满足条件的整式共有22个；
③满足条件的所有二次二项式的和为．
其中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若是方程的解，则的值为______．
12. 如图，在中，．平分，于点，若，，则______．
13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为____________．
14. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______．
15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第四象限，轴．若．则点的坐标为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点的“三分矩面积”给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”为任意两点纵坐标差的最大值，则关于点的“三分矩面积”．若点的坐标为．点的坐标为，点在轴上，且关于点的“三分矩面积”，则点的坐标为______．
17. 如图，中，，，点在的延长线上，连接．以为边作，使，连接交于点，若，则的长度为______．
18. 若一个四位数的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足其千位与十位数字之和的一半等于其百位与个位数字之和，则称这个数为“半调和数”．将这个“半调和数”的前两位数字记为两位数，后两位数字记为两位数，规定，．如：“半调和数”7254，，．若（其中，且，，均为整数）是“半调和数”，则______（请用含，的代数式表示）．若“半调和数”满足为整数，（为整数），则符合条件的“半调和数”的值为______．
三、解答题：（本大题8个小题，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）解方程组
（2）解不等式组
解：由不等式①得：
由不等式②得：
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为：
20. 如图所示，，点在上，连接，请根据要求完成以下作图并根据已有思路完成推理填空．
（1）尺规作图：在射线上截取，在的上方作，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）推理填空：
已知：，，
求证：
证明：，
① ，
在和中：
，
（③ ），
④ ，
，
．
21. 《国家学生体质健康标准》是国家对不同年龄段学生体质健康方面的基本要求，是学生体质健康的个体评价标准．青少年体重指数是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式，其计算公式：，其中表示体重（），表示身高（）．《国家学生体质健康标准》将初一学生体重指数分成四个等级，如下表：
为了解初一学生体重指数分布情况，数学实践小组抽取了部分学生开展了如下调查：
【数据收集、数据整理】
【描述数据、分析数据】
根据以上信息，解决下列问题：
（1）一女生的体重为，身高为，则她的体重指数属于 等级；（填、、、）
（2）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中体重指数为“偏瘦”的圆心角的度数为 ；
（3）补全条形统计图中各等级女生的人数情况：
（4）若初一年级共有名学生，估计该年级体重指数为“肥胖”的学生共有多少人？
22. 先化简，再求值：，其中、满足，．
23. 列方程（或不等式）解决下列问题：
膳食中心为学生提供一款重量为克的营养早餐（包含一个克的鸡蛋、一盒牛奶、一块杂粮面包）．据测算，每克食物所含的部分营养物质如下表：
（1）若这份营养早餐的蛋白质总含量为克，请问这份早餐中牛奶和杂粮面包分别有多少克?
（2）一名体重指数偏瘦的学生要求早餐摄入的能量至少为千卡，请问这份早餐中牛奶的含量最多为多少克?
24. 如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，．
（1）求证：；
（2）若，，，请求出的度数．
25. 综合实践：
问题探究
探究1
在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心为三条中线的交点，如果三角形的顶点坐标为，可知其重心坐标为：
（1）问题：如图，鱼鳍的顶点坐标分别为，则其重心的坐标为： ．
（2）问题：如图．制作鱼尾可将剪裁掉得到，已知点为的中线、的交点，满足，，，则：
①的值为 ；
②请求出鱼尾（阴影部分）的面积．
探究
平面内，若一个组合图形由个匀质薄板组合而成，个匀质薄板的重心分别为，面积分别为．该组合图形的重心为，满足．
（3）问题：在探究的条件下，某探究小组通过悬挂法测得鱼身的重心．面积为，鱼尾的重心，请求出整条皮影鱼的重心的坐标．
26. 在中，点在直线上，连接，点为的中点，连接．
（1）如图1，，点在的延长线上，于点，，，的面积为4，求的长度；
（2）如图2，，点在上，连接并延长交于点，若，，求证：；
（3）如图3，，，的面积为10，点在的延长线上，．点是射线上一动点，过点作，连接、、，当取得最小值时，请直接写出此时的面积．
数学
满分150分，时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. 0D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
解答过程：解：，0，是有理数；
是无理数．
故选B．
2. 桥都重庆桥梁总数超过2万座，桥的类型丰富多样，每一座桥都有着独特的设计和建造技术．如图，千厮门大桥在建造时采用斜拉索设计．这种设计蕴含的数学原理是（ ）
A. 三角形的内角和为B. 三角形具有稳定性
C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线
答案：B
解析：
解答过程：解：由题意得这种设计蕴含的数学原理是三角形具有稳定性．
3. 下列调查中最适合用抽样调查的是（ ）
A. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
B. 调查重庆市区域内嘉陵江的水质情况
C. 调查天舟十号飞船零部件的质量情况
D. 调查全班同学观看电影《给阿嬷的情书》的情况
答案：B
解析：
思路：根据全面调查和抽样调查的特点即可作出判断．
解答过程：解：、调查违禁物品事关航空安全，要求百分百准确，适合普查，不符合题意；
、重庆市内嘉陵江水域范围大，无法对全部水质逐一调查，适合抽样调查，符合题意；
、飞船零部件质量关乎发射安全，需要逐个检查，适合普查，不符合题意；
、调查全班同学的情况范围小，可进行全面调查，适合普查，不符合题意．
4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据“右移横坐标加，下移纵坐标减”的规律计算即可得到结果．
解答过程：解：已知点，先向右平移4个单位长度，横坐标变为，
再向下平移2个单位长度，纵坐标变为，
∴．
5. 如图，在中，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可．
解答过程：解：A、∵在和中，
，
，正确，故本选项不符合题意；
B、∵在和中，
，
，正确，故本选项不符合题意；
C、∵，，
∴，则，
在和中，
，
，正确，故本选项不符合题意；
D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意．
6. 如图，祈年殿是天坛的重要建筑，其中关键榫卯部件是“榫头件”和“卯口件”．“榫头件”与“卯口件”的数量比为才能完美咬合．若某工厂每天可生产80个“榫头件”或100个“卯口件”（每天只能生产同一种部件），若要使该工厂在92天内生产的榫卯部件完美咬合，设该工厂生产“榫头件”的天数为，生产“卯口件”的天数为，则符合题意的方程（组）为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：设该工厂生产“榫头件”的天数为，生产“卯口件”的天数为，根据题意，分别列出方程组或方程，逐项判定即可．
解答过程：解：设该工厂生产“榫头件”的天数为，生产“卯口件”的天数为，
根据题意，列二元一次方程组，得，
列一元一次方程，得或，
故选项B符合题意．
7. 如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
解答过程：解：∵在中，，，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵是高，
∴，即，
∴，
∴ ．
8. 如图，小蜀利用点的平移在平面直角坐标系中形成一列汉字“凸”．他先将点向上平移1个单位得到，再将向右平移2个单位得到，将向上平移3个单位得到，将向右平移1个单位得到，将向下平移3个单位得到，将向右平移2个单位得到，将向下平移1个单位得到，将向右平移1个单位得到．依此规律，点的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先梳理平移步骤，发现每8个点完成一个完整”凸”字周期，先算出一个周期内横坐标总平移量、纵坐标变化规律；再用358除以周期8，得到周期组数与余数，分两段计算总横坐标、最终纵坐标，得到坐标．
解答过程：解：根据平移方式得：
，，，，，，，，，
观察：下标相差8的点纵坐标均为0，横坐标差值为，因此每8个点为一组，每组结束时点纵坐标回到0，横坐标整体向右平移6．
余6，
则横坐标为，
纵坐标等于纵坐标，
所以点的坐标．
9. 若关于的一元一次不等式组恰有两个偶数解，且关于、的方程组有正整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A. 7B. 17C. 16D. 6
答案：A
解析：
思路：先解一元一次不等式组，根据恰有两个偶数解确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有正整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和．
解答过程：解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
不等式组恰有两个偶数解，符合条件的偶数解为，0，
∴，解得．
解方程组，得，
方程组有正整数解，
是的正约数，且，．
∵，
∴，
在该范围内的正约数为3，4，6，12，
①当时，
，，符合正整数要求；
②当时，
，，符合正整数要求；
③当时，
，，符合正整数要求；
④当时，
，，不符合，舍去．
综上所述，符合条件的整数为1，2，4，和为．
10. 整式：，其中，为正整数．，…，，均为整数．满足，．下列说法：
①满足条件的整式中，的最大值为6；
②当，时，满足条件的整式共有22个；
③满足条件的所有二次二项式的和为．
其中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：D
解析：
思路：根据题意将所有符合条件的整式列举出来即可判断．
解答过程：解：∵，
∴的最大值为5，
∵为正整数，
∴的最小值为1，
∴．
∵，
∴．
①当时，则，
要使的值最大，则，，或，，
此时．
当时，
要使的值最大，则，，，，，
此时．
当时，
要使的值最大，则，，，，，，
此时．
当时，
要使的值最大，则，，，，，
此时．
当时，
要使的值最大，则，，，，
此时．
综上所述，的最大值为6，
故①正确；
②当，时，即，
若，，则或0或，共3种情况；
若，，则或或，共3种情况；
若，，则或，共2种情况；
若，，则或或，共3种情况；
若，，则或或，共3种情况；
若，，则或，共2种情况；
若，，则或或，共3种情况；
若，，则或，共2种情况；
若，，则，共1种情况；
综上所述，满足条件的整式共有22个；
故②正确；
③∵整式是二次二项式，
∴，
当时，则，，
此时；
当时，
若，则，
若，则，
若，则，
此时或或；
当时，
若，则，
若，则，
若，则或或，
此时或或或或；
当时，
若，则，
若，则或或，
此时或或或；
当时，
若，则或或，
此时或或；
综上所述，满足条件的所有二次二项式的和为，
故③正确；
∴正确的有3个．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 若是方程的解，则的值为______．
答案：8
解析：
思路：根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到的值，再代入所求代数式计算即可．
解答过程：解：∵是方程的解，
∴将，代入方程得：，
整理得，，
将代入得，．
12. 如图，在中，．平分，于点，若，，则______．
答案：6
解析：
思路：先求得，再根据角平分线的性质定理可得答案．
解答过程：解：∵，，
∴，
∵．平分，，
∴．
13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为____________．
答案：17
解析：
思路：本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题的关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，并结合三边关系验证能否构成三角形．
先根据等腰三角形“两腰相等”的性质，分“腰长为3、底边长为7”和“腰长为7、底边长为3”两种情况；再分别用“三角形任意两边之和大于第三边”验证每种情况是否成立；排除不成立的情况后，计算成立情况的三边之和，即为等腰三角形的周长．
解答过程：解：分两种情况讨论：
情况1：假设等腰三角形的腰长为3，底边长为7．
此时三边长度为3、3、7，验证三边关系：，，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，故此情况不成立．
情况2：假设等腰三角形的腰长为7，底边长为3．
此时三边长度为7、7、3，验证三边关系：，，满足三角形三边关系，故此情况成立．
计算周长：.
故答案为：17．
14. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：先求解方程得到关于的表达式，再根据方程的解是非负数列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围．
解答过程：解：，
移项得：，
系数化为得：，
∵方程的解是非负数，
∴，即，
去分母得：，
移项得：，
系数化为得：，
因此的取值范围是．
15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第四象限，轴．若．则点的坐标为______．
答案：
解析：
思路：先根据平行于轴的直线上点的坐标特征，得到点的横坐标，再根据的长度和点所在象限，计算得到点的纵坐标即可．
解答过程：解：轴，
点与点的横坐标相等，
点坐标为，
点的横坐标为，
设点的纵坐标为，
，
， 解得或，
点位于第四象限，第四象限内点的纵坐标小于，
，
点的坐标为．
16. 如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点的“三分矩面积”给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”为任意两点纵坐标差的最大值，则关于点的“三分矩面积”．若点的坐标为．点的坐标为，点在轴上，且关于点的“三分矩面积”，则点的坐标为______．
答案：或
解析：
思路：设，由题意，“水平底”，“竖直高”或或，分三种情况，根据关于点的“三分矩面积”求解即可．
解答过程：解：设，又点的坐标为．点的坐标为，
由题意，“水平底”，“竖直高”或或，
当时，点的“三分矩面积”，不合题意，舍去；
当时，，则点的“三分矩面积”，
解得或（舍去），
∴；
当时，，则点的“三分矩面积”，
解得或（舍去），
∴,
综上，点的坐标为或．
17. 如图，中，，，点在的延长线上，连接．以为边作，使，连接交于点，若，则的长度为______．
答案：3.6
解析：
思路：过点作，交的延长线于，先通过一线三垂直证明，得到，再证明，分别表示出与，利用面积等式列方程求出，最后计算．
解答过程：解：过点作，交的延长线于．
，
，即．
，
，
．
在和中：
，
，
．
设，则，
∴，
，
又，
，
∴，
∴，
代入面积条件：
，
解得，
．
18. 若一个四位数的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足其千位与十位数字之和的一半等于其百位与个位数字之和，则称这个数为“半调和数”．将这个“半调和数”的前两位数字记为两位数，后两位数字记为两位数，规定，．如：“半调和数”7254，，．若（其中，且，，均为整数）是“半调和数”，则______（请用含，的代数式表示）．若“半调和数”满足为整数，（为整数），则符合条件的“半调和数”的值为______．
答案： ①. ②. 6123
解析：
思路：根据“半调和数”的定义列等式推导关于，的代数式，再结合为整数和，，的取值范围确定的取值，代入，结合完全平方数性质得到符合条件的，，最终得到．
解答过程：解：设的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，
由“半调和数”定义得：，
化简得：，
∴ ．
由题意得，前两位两位数，
后两位两位数，
则，
∵为整数，
∴为整数，
∴能被整除．
∵，，
∴，
∴，
∴或，
即或．
若，则，，，
各数位为7，1，9，7，存在重复数字，不符合要求，舍去．
因此，则，，
则，，
∴，
代入得：
，
化简得：，即，
因此是完全平方数．
由，得，
仅当时，，是完全平方数，
∴，，
的各数位为6，1，2，3，均不为且互不相等，符合要求，
因此．
三、解答题：（本大题8个小题，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）解方程组
（2）解不等式组
解：由不等式①得：
由不等式②得：
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为：
答案：（1）
（2），，，
解析：
思路：（1）观察方程组两个方程都含，用加减消元法消去，先求出，再代入求．
（2）分别解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集，最后在数轴标注．
（1）解：得：，
，
将代入①，，
，
原方程组的解集为．
（2）解：由不等式①得：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
由不等式②得：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
把不等式和的解集在数轴上表示：略，
不等式组的解集为：．
20. 如图所示，，点在上，连接，请根据要求完成以下作图并根据已有思路完成推理填空．
（1）尺规作图：在射线上截取，在的上方作，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）推理填空：
已知：，，
求证：
证明：，
① ，
在和中：
，
（③ ），
④ ，
，
．
答案：（1） （2）①；②；③；④
解析：
思路：（1）以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点；以为圆心，适当长度画弧，交、于两点； 以为圆心，等长半径画弧交于一点； 量取前弧两点间距，在处弧上截取等长弧，连线得到射线，交 于,保留全部圆弧痕迹．
（2）根据平行的性质及角边角全等判定定理填空即可．
（1）略
（2）略
21. 《国家学生体质健康标准》是国家对不同年龄段学生体质健康方面的基本要求，是学生体质健康的个体评价标准．青少年体重指数是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式，其计算公式：，其中表示体重（），表示身高（）．《国家学生体质健康标准》将初一学生体重指数分成四个等级，如下表：
为了解初一学生体重指数分布情况，数学实践小组抽取了部分学生开展了如下调查：
【数据收集、数据整理】
【描述数据、分析数据】
根据以上信息，解决下列问题：
（1）一女生的体重为，身高为，则她的体重指数属于 等级；（填、、、）
（2）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中体重指数为“偏瘦”的圆心角的度数为 ；
（3）补全条形统计图中各等级女生的人数情况：
（4）若初一年级共有名学生，估计该年级体重指数为“肥胖”的学生共有多少人？
答案：（1）
（2），
（3） （4）估计初一年级体重指数为“肥胖”的学生有人
解析：
思路：（1）利用计算公式算出对应数值，对照女生等级划分标准判断所属等级；
（2）先结合条形图求出肥胖等级总人数，再根据扇形图等级占比算出调查总人数，先求出偏瘦等级人数及对应占比，再用圆心角公式计算对应圆心角度数；
（3）依据总人数和扇形图各等级占比求出、等级总人数，减去对应等级男生人数，算出各等级女生人数，完成条形统计图补全；
（4）用样本中肥胖学生所占百分比，结合初一年级总人数，通过样本估计总体求出肥胖学生预估人数．
（1）解：根据体重指数公式，其中体重，身高，
计算身高的平方：，
代入公式计算：，
对照女生等级标准：肥胖等级要求，
因为，所以该女生的属于等级；
（2）解：从条形图可得：肥胖等级的男生有人、女生有人，因此等级总人数为人，
从扇形图可得：肥胖等级占总调查人数的，
根据“总人数部分人数对应占比”：总人数人，
计算“偏瘦”的圆心角先计算各等级的总人数：超重等级占，总人数为人；
标准等级：男生人女生人；
肥胖等级：人；
偏瘦等级的总人数为：人，
等级占总人数的比例为，
圆心角度数；
（3）解：偏瘦等级：总人数人，男生人，女生人数人；
标准等级：条形图已给出女生人；
超重等级：总人数人，男生人，女生人数人；
肥胖等级：条形图已给出女生人；
条形图见答案处；
（4）解：样本中肥胖学生占比为，因此全年级名学生中，肥胖人数约为：人，
答：估计该年级体重指数为“肥胖”的学生共有人．
22. 先化简，再求值：，其中、满足，．
答案：，
解析：
思路：先通过去括号、合并同类项对整式进行化简，再根据算术平方根、立方根、绝对值及有理数乘方的运算法则求出、的值，最后将、代入化简后的式子计算出最终结果．
解答过程：解：原式
，，
原式．
23. 列方程（或不等式）解决下列问题：
膳食中心为学生提供一款重量为克的营养早餐（包含一个克的鸡蛋、一盒牛奶、一块杂粮面包）．据测算，每克食物所含的部分营养物质如下表：
（1）若这份营养早餐的蛋白质总含量为克，请问这份早餐中牛奶和杂粮面包分别有多少克?
（2）一名体重指数偏瘦的学生要求早餐摄入的能量至少为千卡，请问这份早餐中牛奶的含量最多为多少克?
答案：（1）这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克
（2）这份早餐中牛奶的含量最多为克
解析：
思路：（1）根据早餐总重克建立重量等量关系，结合鸡蛋、牛奶、杂粮面包每百克蛋白质含量，列出蛋白质总含量的等式，联立二元一次方程组求解牛奶、杂粮面包重量；
（2）先表示出杂粮面包的重量，再结合鸡蛋、牛奶、杂粮面包每百克能量数值，根据早餐总能量不低于千卡列出一元一次不等式，求解得到牛奶重量的最大值．
（1）解：设这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克，
则：，
解得，
答：这份营养早餐中牛奶有克，杂粮面包克；
（2）解：设这份营养早餐中牛奶有克，
则：，
解得，
答：这份早餐中牛奶的含量最多为200克．
24. 如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，．
（1）求证：；
（2）若，，，请求出的度数．
答案：（1）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解析：
思路：（1）证明即可证得结论；
（2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可．
（1）略
（2）解：
，，
．
25. 综合实践：
问题探究
探究1
在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心为三条中线的交点，如果三角形的顶点坐标为，可知其重心坐标为：
（1）问题：如图，鱼鳍的顶点坐标分别为，则其重心的坐标为： ．
（2）问题：如图．制作鱼尾可将剪裁掉得到，已知点为的中线、的交点，满足，，，则：
①的值为 ；
②请求出鱼尾（阴影部分）的面积．
探究
平面内，若一个组合图形由个匀质薄板组合而成，个匀质薄板的重心分别为，面积分别为．该组合图形的重心为，满足．
（3）问题：在探究的条件下，某探究小组通过悬挂法测得鱼身的重心．面积为，鱼尾的重心，请求出整条皮影鱼的重心的坐标．
答案：（1）
（2）①；②
（3）解析：
思路：（1）直接套用三角形重心坐标公式，将三个顶点横、纵坐标分别求和再除以，即可算出鱼鳍的重心坐标；
（2）依托三角形重心分中线的核心性质求解线段比值，再结合中线垂直、直角三角形面积公式，先求出小三角形面积，用大面积减去裁剪部分面积得到鱼尾阴影面积；
（3）运用组合均质图形重心加权公式，以鱼鳍、鱼身、鱼尾三部分的面积为权重，分别对各部分重心横、纵坐标加权求和，再除以总面积，最终得到整条皮影鱼的重心坐标．
（1）解：∵鱼鳍的顶点坐标分别为、，
∴其重心的坐标为：，即；
（2）解：①是的重心，
；
②，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意得，，，
，
，
．
26. 在中，点在直线上，连接，点为的中点，连接．
（1）如图1，，点在的延长线上，于点，，，的面积为4，求的长度；
（2）如图2，，点在上，连接并延长交于点，若，，求证：；
（3）如图3，，，的面积为10，点在的延长线上，．点是射线上一动点，过点作，连接、、，当取得最小值时，请直接写出此时的面积．
答案：（1）
（2）证明：在上截取，连接．
．
（3）解析：
思路：（1）由是中点，三角形中线平分面积，先推出，得到总面积；再算出底边长，利用三角形面积公式底高反求高．
（2）在上截取，连接．证明，，转化线段后证得．
（3）过作直线，交延长线于，过作直线，交延长线于，证明，以点为原点建立坐标系，求出点的轨迹为，当点三点共线时，取得最小值，此时为的中点，轴，求出此时的面积即可．
（1）解：，，
，
，
为中点，是的中线，
，
已知，
，
又，
即是以为底的高，
，
，
解得：．
（2）略
（3）解：过作直线，交延长线于，过作直线，交延长线于，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
又，
，
，
如图，以点为原点建立坐标系，
，
又，
，
则点的轨迹为，
当点三点共线时，取得最小值，
又，
此时为的中点，，
，
又，
，
，
又为的中点，
，
轴，
．性别
偏瘦
标准
超重
肥胖
男生
女生
能量/千卡
蛋白质/克
鸡蛋
牛奶
杂粮面包
项目主题
确定皮影鱼的重心位置
项目背景
皮影戏是国家级非物质文化遗产、发源于西汉，兴盛于唐宋，集雕刻、绘画、戏曲、光影技艺于一体．皮影鱼是皮影剧目里经典形象、寓意年年有余、鱼跃龙门，表演时配备操控杆，用以固定支撑鱼身主体．如图，皮影鱼由鱼鳍、鱼身、鱼尾三部分组成．


性别
偏瘦
标准
超重
肥胖
男生
女生
能量/千卡
蛋白质/克
鸡蛋
牛奶
杂粮面包
项目主题
确定皮影鱼的重心位置
项目背景
皮影戏是国家级非物质文化遗产、发源于西汉，兴盛于唐宋，集雕刻、绘画、戏曲、光影技艺于一体．皮影鱼是皮影剧目里经典形象、寓意年年有余、鱼跃龙门，表演时配备操控杆，用以固定支撑鱼身主体．如图，皮影鱼由鱼鳍、鱼身、鱼尾三部分组成．