河南省新乡市原阳县2025-2026学年七年级下学期6月期末 数学试题（含解析）

这是一份河南省新乡市原阳县2025-2026学年七年级下学期6月期末 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 六边形B. 八边形C. 十边形D. 十二边形
3. 已知在中，，则边的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
4. 将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 13cmB. 14cmC. 15cmD. 16cm
7. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（“两”为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
10. 如图，将沿方向平移一定距离得到，点D落在线段上，与交于点G，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，与关于直线对称，若，，则_________．
12. 用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和__________个正方形．
13. 已知二元一次方程组，则的值是______．
14. 若整数使得关于的一元一次方程的解为正整数，且使得关于的不等式组有且仅有两个整数解，则所有满足条件的整数的和为__________．
15. 如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，两直角三角板的顶点重合，即，已知，，．若将三角板绕点旋转，当时，的度数为________．
三、解答题（共8题，共75分）
16. 解方程和解方程组、不等式组
（1）解方程：；
（2）解方程组：．
（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
17. 如图，已知的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图：
（1）将绕点C逆时针旋转得到；
（2）作出与关于点O成中心对称的；
（3）的面积为_________．
18. 如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求与的周长和．
19. 已知关于x、y的方程组
（1）方程组的解的和为8，求m的值；
（2）方程组的解x与y之差为1，求方程组的解．
20. 如图，已知直角三角形中，．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：
①作线段的垂直平分线交于G，交于E，
②作的角平分线，交于F，交于D．
（2）若，求的大小．
21. 已知关于的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，． 若，求整数n的值．
22. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某图书馆需购买20个书架，现有A，B两种型号可选．
素材一：A型书架的单价比B型书架的单价高．
素材二：购买4个A型书架和5个B型书架共需4900元．
素材三：图书馆购买书架的预算是11000元，且A型书架的数量需要大于8个．
请解答下列问题：
（1）A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）在满足素材三的条件下，请问有几种购买方案？哪种方案购买费用最低？并求出最低费用．
23. 综合与探究．
问题背景：已知如图1，凹四边形．
初探：
（1）试探究与，，之间的数量关系，并说明理由；
应用
（2）请你直接利用以上结论，解决下面问题．
如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______；
拓展
（3）如图，平分，平分，若，，求的度数．
数学
本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：试题分析：结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形
考点：（1）中心对称图形；（2）轴对称图形
2. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 六边形B. 八边形C. 十边形D. 十二边形
答案：C
解析：
思路：设边数为，利用多边形外角和为定值，以及边形内角和公式，列方程求解即可．
解答过程：解：设这个多边形的边数为．
．
解得 ．
∴这个多边形是十边形．
3. 已知在中，，则边的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
答案：C
解析：
思路：本题考查了三角形三边数量关系，掌握三角形三边数量关系的计算是解题的关键．
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．
解答过程：解：，
∴，
∴的长可能是，
故选：C ．
4. 将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：本题主要考查解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断．
解答过程：解：由，得，
由，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集为：．
故选：A．
5. 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：D
解析：
思路：本题考查了等式的性质，等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，等式仍成立．根据等式的性质逐项判断即可．
解答过程：解：等式性质规定，等式两边除以同一数时，该数必须不为零，
选项D中，若，则和无意义，变形不正确；
选项A、B、C均符合等式性质，正确．
故选：D．
6. 如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A. 13cmB. 14cmC. 15cmD. 16cm
答案：B
解析：
思路：本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到，则．
解答过程：解：∵直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
故选：B．
7. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查解二元一次方程组的加减消元法．根据选项中的做法逐项求解判断即可．
解答过程：A．得，，不能消掉未知数，错误；
B．得，，不能消掉未知数，错误；
C．得，，能消掉未知数x，正确；
D．得，，不能消掉未知数，错误．
故选：C．
8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（“两”为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题干描述找出两个等量关系，列出方程组对应选项即可．
解答过程：解：∵设马每匹两，牛每头两，
由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得第一个方程：，
由“马二匹、牛五头，共价三十八两”可得第二个方程：，
∴可得方程组．
9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
答案：A
解析：
思路：本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得．
解答过程：解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点．
故选：A．
10. 如图，将沿方向平移一定距离得到，点D落在线段上，与交于点G，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：C
解析：
思路：本题考查了平移的性质，根据平移的性质逐项分析即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键．
解答过程：解：由平移的性质可得：，，，，，故①②③④正确，
∴，
∴，即，故⑥正确；
由已知条件不能说明，故⑤错误；
综上所述，正确的有个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，与关于直线对称，若，，则_________．
答案：35°##35度
解析：
思路：根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．
解答过程：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣80°＝35°．
故答案为：35°．
方法提示：本题考查轴对称的性质与三角形的内角和，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和．
12. 用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和__________个正方形．
答案：2
解析：
思路：平面镶嵌的条件是同一顶点处各内角的和为，先确定正三角形与正方形的内角度数,再根据内角和列方程求解.
解答过程：解：正三角形每个内角为，正方形每个内角为，
设顶点处有个正方形，
根据题意得:，
整理得: ，
解得:
13. 已知二元一次方程组，则的值是______．
答案：
解析：
思路：此题求的是m-n的值，根据方程组可以解出m，n的值，进一步求得m-n的值.
解答过程：解方程：，
解得：，
所以m−n 的值是：.
故答案为：.
方法提示：此题考查的是对二元一次方程组的理解和运用，解题的关键是熟练二元一次方程组的解法.
14. 若整数使得关于的一元一次方程的解为正整数，且使得关于的不等式组有且仅有两个整数解，则所有满足条件的整数的和为__________．
答案：12
解析：
思路：解关于的不等式组，由解集满足的条件，求出整数的所有值，再从中找出满足关于的一元一次方程的解为正整数的整数的值，再计算即可．
解答过程：解不等式组得，
关于的不等式组有且仅有两个整数解，
∴整数解为4，5．
∴，
解得，
∵为整数，
∴可取10，11，12，
解关于的一元一次方程得，
∵关于的一元一次方程的解为正整数，
∴可取4、6、12，
综合，k只能取12，
所有满足条件的整数的和为12．
15. 如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，两直角三角板的顶点重合，即，已知，，．若将三角板绕点旋转，当时，的度数为________．
答案：或
解析：
思路：本题考查的是平行线的判定与性质，三角板的角度计算问题，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
分两种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算，即可得到的度数．
解答过程：解：如图1，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，
∵，
∴，
∴，
综上可得：当时，的度数为或．
故答案为：或．
三、解答题（共8题，共75分）
16. 解方程和解方程组、不等式组
（1）解方程：；
（2）解方程组：．
（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
答案：（1）
（2） （3），在数轴上表示解集如下：
解析：
思路：（1）去分母，去括号，移项合并同类项，最后化系数为1，求解即可．
（2）利用加减消元法解方程组即可．
（3）利用不等式的基本性质把每个不等式的解求出来，从而可得不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
（2）解：，
整理得：，
，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解为：．
（3）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故不等式组的解集为：，
在数轴上表示解集略
17. 如图，已知的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图：
（1）将绕点C逆时针旋转得到；
（2）作出与关于点O成中心对称的；
（3）的面积为_________．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）2
解析：
思路：题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型．
（1）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可；
（3）利用割补法求解即可．
（1）解：如图所示，为所作图形；
（2）解：如图所示，为所作图形；
（3）解：的面积为．
18. 如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求与的周长和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可．
（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
与的周长和为
．
19. 已知关于x、y的方程组
（1）方程组的解的和为8，求m的值；
（2）方程组的解x与y之差为1，求方程组的解．
答案：（1）6 （2）
解析：
思路：本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值等知识．
（1）解二元一次方程组，得出用m表示的x，y，再根据已知条件可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出m的值．
（2）根据已知条件得出m的值， 然后再把m的值代入（1）中x，y，即可得出答案．
（1）解：
①②，得：，
解得：，
把代入①式得：，
解得：，
∴原方程组的解为：，
∵，即，
解得：；
（2）∵方程组的解x与y之差为1，
即，
解得：，
把代入，得：．
20. 如图，已知直角三角形中，．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：
①作线段的垂直平分线交于G，交于E，
②作的角平分线，交于F，交于D．
（2）若，求的大小．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：本题考查了作线段的垂直平分线和作角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握作线段的垂直平分线和作角平分线以及直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的作法和角平分线的作法作图即可；
（2）根据直角三角形的性质列方程求出，，进一步求出，及，即可求得答案．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，
，
，
，，
又平分，
，
，
，
垂直平分线段，
，
．
21. 已知关于的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，． 若，求整数n的值．
答案：（1）；（2）；（3）
解析：
思路：（1）由二元一次方程组的解可求出答案；
（2）任取两个k的值，不妨取k=1，k=2，得到两个方程并组成方程组，解方程组即可；
（3）由题意得到方程组，求出k与n的关系式，求出n的取值范围即可得出答案．
解答过程：解：（1）把 代入方程，得

解得：．
（2）任取两个的值，不妨取，，得到两个方程并组成方程组．

解得：
即这个公共解是
（3）依题意，得


解得 ．
由≤k＜，得
≤＜，
解得 ＜≤，
当为整数时，．
方法提示：本题考查了二次一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
22. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某图书馆需购买20个书架，现有A，B两种型号可选．
素材一：A型书架的单价比B型书架的单价高．
素材二：购买4个A型书架和5个B型书架共需4900元．
素材三：图书馆购买书架的预算是11000元，且A型书架的数量需要大于8个．
请解答下列问题：
（1）A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）在满足素材三的条件下，请问有几种购买方案？哪种方案购买费用最低？并求出最低费用．
答案：（1）A型书架的单价为600元，B型书架的单价为500元
（2）共有两种购买方案，方案一购买A型书架9个、B型书架11个购买费用最低，最低费用为10900元
解析：
思路：本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设A型书架的单价为x元，B型书架的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设购买A型书架a个，则购买B型书架个，根据题意，列出不等式即可．
（1）解：设A型书架的单价为x元，B型书架的单价为y元．
根据题意，得，
解得．
答：A型书架的单价为600元，B型书架的单价为500元．
（2）解：设购买A型书架a个，则购买B型书架个．
根据题意，得，
解得，
∵，
∴，
∵a为非负整数，
∴或10，
当时，（个），
当时，（个），
∴共有两种购买方案，分别是：
（方案1）购买A型书架9个、B型书架11个，
（方案2）购买A型书架10个、B型书架10个，
方案1的购买费用为（元），
方案2的购买费用为（元），
∵，
∴购买A型书架9个、B型书架11个购买费用最低，最低费用为10900元．
23. 综合与探究．
问题背景：已知如图1，凹四边形．
初探：
（1）试探究与，，之间的数量关系，并说明理由；
应用
（2）请你直接利用以上结论，解决下面问题．
如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______；
拓展
（3）如图，平分，平分，若，，求的度数．
答案：（1），理由见解析
（2） （3）．
解析：
思路：本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键．
（1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果；
（2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果；
（3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可．
（1）解：，理由如下：
如图：连接并延长至点，
则，，
∵，，
∴
（2）解：由（1）得：，
∵，，
∴；
（3）解：由（1）可得：，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．