四川省乐山市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷含答案（word版）

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的。
1. 设集合 A=x∈Zx2−2x−3≤0,B={1,3 ，则 ∁AB=
A. {2} B. {−1,0} C. {0,2} D. {−1,0,2}
2. 复数 52+i 的共轭复数是
A. 2+i B. 2−i C. −2+i D. −2−i
3. 已知函数 fx 的导函数 f′x 的图象如图所示,则
A. fx 有 3 个零点
B. x3 是 fx 的极小值点
C. 函数 fx 在区间 x1,x2 上单调递减
D. fx 的最大值是 fx1
4. 已知 e1,e2 是两个不共线的向量, a=2e1−3e2,b=4e1+ke2 . 若 a 与 b 是共线向量,则实数 k=
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
5. 已知 fx 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, fx=x2−x ,则 f72=
A. −14 B. 14 C. −12 D. 12
6. 已知 csπ4−α=23,α∈0,π4 ,则 csπ4+α=
A. 53 B. −23 C. 23 D. −53
7. 如图, 现要对某市的 5 个区域地图进行着色, 有 4 种颜色可供选择, 要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色, 则不同的着色方法共有
A. 48 种
B. 72 种
C. 96 种
D. 108 种
8. 已知等比数列 an 的公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,前 n 项积为 Tn ,且满足 a1>1,a2025⋅a2026>1 , a2025−1a2026−1S2026 B. a2024.a2026−1f2 ,则 glg23>glg32
D. 当 a>1 时,对任意 x1,x2∈0,+∞ ,都有 fx1+fx22≥fx1+x22
11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”,“优美曲线”与其对称轴的交点叫做 “优美曲线”的顶点. 对于“优美曲线” C:x2+y2=x+y ,则
A. 曲线 C 围成的图形面积为 π+2
B. 曲线 C 上任意两个顶点间的最大距离为 22
C. 若点 Ma,b 在曲线 C 上,则 a+b+3 最小值为 2
D. 若直线 kx−y+2=0 与曲线 C 有公共点,则 k 的取值范围为 −∞,−1]∪[1,+∞
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 若抛物线 C:y2=2pxp>0 上一点 M6,y0 到焦点 F 的距离为 9，则 p= _____.
13. 已知圆柱的高为 3 ，它的两个底面的圆周在直径为 6 的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为_____.
14. 为测量某海岛主峰的海拔高度,勘测船在海平面上的 A 点测得主峰顶点 Q 的仰角为 30∘ ,沿北偏东 45∘ 方向航行 22 km 后到达 B 点,测得 Q 的仰角为 45∘ ,且此时主峰位于 B 点的正北方向, 则该海岛主峰的海拔高度为_____km (海平面海拔视为 0，结果保留最简根式).
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
15. (13 分)
已知 an 是各项均为正数的等比数列， a1=3 ， 9a3+2a2=1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=lg3an ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
16. (15 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ，焦距为 2 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 作倾斜角为 60∘ 的直线 l ，直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点,求 △OAB 的面积.
17. (15 分)

如图，在四面体 A−BCD 中， BD=BC=BA ， ∠DBC=90∘ ， AB⊥ 平面 BCD ， M 是 AB 的中点， P 是 CM 的中点,点 Q 在线段 AD 上,且 AQ=3QD .
(1)求证: PQ// 平面 BCD ；
(2)求平面角 PQM 与平面 BCD 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数 fx=x2−2xex−ax,a∈R .
(1)若 a=0 ，求函数 fx 在 1,f1 处的切线方程；
(2)若 fx≥0 在 0,+∞ 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)若 fx 有三个零点，求 a 的取值范围.
19. (17 分)
一场电影观影中,影院内有 nn≥2 个座位,且每个座位都有人坐,现在观众依次检票进入影院. 已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回,该观众忘记了自己的座位号, 他将在 n 个座位中随机选择一个位置坐下. 后面进场的观众,若位置未被占据,则将在自己的位置上坐下; 若位置被占据, 则将在剩余的位置中随机选一个坐下.
(1)若 n=3 ，求第 3 位进场的观众选对位置的概率；
(2)若 n=4 ，记 X 为电影院内最终坐错位置的人数，求 X 的数学期望 EX ；
(3)证明:无论 n 取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等.