2026年中考数学真题完全解读（江苏省连云港卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（江苏省连云港卷），共9页。试卷主要包含了3%，23 分），7%，37 分），08 × 105C．6，414，√3≈1，5 分，方等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026 年江苏省连云港市中考数学试卷继续贯彻“基础性、综合性、应用性、创新性”的命题导向，全卷
满分 150 分，考试时间 120 分钟，由 8 道单选题（24 分）、8 道填空题（24 分）和 11 道解答题（102 分）组成。试卷在题型结构上保持稳定，同时在情境创设、综合实践和思维探究方面呈现出鲜明的地方特色与素养导向。从模块分布看，数与式模块分值最高（约 49 分，占 32.7%），夯实了代数基础；图形的变化与综合实践模块（约 37 分，占 24.7%）通过折叠、作图、汽车转弯、几何探究等任务凸显“做中学”理念；图形的性质模块（约 23 分）、统计与概率模块（约 23 分）和函数模块（约 18 分）相互配合，共同覆盖初中
数学核心领域。试卷难度梯度清晰，前 16 题侧重基础运算与概念理解，第 17-24 题强化推理与应用，第 25-27题以综合实践、二次函数和几何探究压轴，对学生的模型观念、推理能力和创新意识提出较高要求。情境方面，第 3 题以连云港“五一”假期 608 万人次游客数据考查科学记数法，第 22 题以西游文化、山海风情和地域特产打造的文旅 IP 形象（云雾茶、豆丹、沙光鱼、东海水晶）考查概率，第 24 题以《九章算术》中的 “善田恶田”问题考查方程与分式方程应用，第 25 题以家用汽车转弯行驶为素材考查解直角三角形与综合实践，充分体现了数学与地方文化、传统文化和现实生活的深度融合。
试题亮点
港城文旅与古籍文化双轨并进，真实情境服务地方育人：第 3 题以 2026 年“五一”假期连云港接待游客 608
万人次为背景考查科学记数法，将本地旅游数据转化为数学表达问题；第 22 题以连云港全新打造的“云雾 茶、豆丹、沙光鱼、东海水晶”四个地域特产文旅 IP 形象为素材，通过盲盒抽取考查随机事件与概率计算；第 24 题取材《九章算术》“善田一亩价三百，恶田七亩价五百”的经典问题，用一元一次方程和分式方程解决好田坏田购买与亩产量问题。三题分别对应地方数据、地方文化和传统文化，构建了连云港卷独特的育 人情境矩阵。
综合实践与动手操作任务占比突出，探究性学习成为命题主线：第 13 题以矩形纸片两次折叠为背景，考查
折叠性质与等腰直角三角形判定；第 23 题要求在坐标系中用无刻度直尺和圆规完成作图，综合考查垂直平
分线、角平分线和面积相等等知识；第 25 题以自行车和家用汽车转弯为真实问题，设置“生活观察—类比
探究—综合实践”三阶任务，考查解直角三角形与动态分析；第 27 题以锐角三角形中费马点型最短路径探
究为压轴，融合等边三角形、外接圆、平行四边形和最值思想。四道题从折叠操作、尺规作图、跨学科实践到几何探究，完整呈现了“做数学、用数学、创数学”的能力梯度。
压轴题强化函数与几何深度融合，思维过程考查成为区分核心：第 26 题以抛物线平移、直线与抛物线交点、
相似三角形为载体，设置三问递进考查二次函数性质、参数范围和最值；第 16 题在菱形中通过对称转化将
面积差最值问题转化为点到直线距离最值；第 8 题以四边形双动点运动为背景，要求分段建立三角形面积与时间的函数关系并识别图象。三题分别代表代数压轴、几何最值和函数图象探究，共同指向数形结合、分类讨论和模型建构等高阶思维能力。
命题趋势
连云港卷将持续依托地方文旅与古籍经典创设情境，地域标识题位置趋于稳定：第 3 题以本地游客数据考 查科学记数法、第 22 题以港城特产 IP 考查概率、第 24 题以《九章算术》经典问题考查方程应用，三题分别位于选择题、解答题中段和后段，形成“数据—概率—应用”的情境链。未来备考应关注连云港的西游文化、山海资源、地域特产以及《九章算术》《孙子算经》等古籍素材，训练学生从真实情境和传统文化中抽象 数学模型的能力。
综合实践与动手操作题将继续成为连云港卷的显著特色，项目式学习比重可能进一步提升：第 13 题折叠操
作、第 23 题尺规作图、第 25 题汽车转弯综合实践、第 27 题几何探究，四题分值合计 37 分，占全卷近四 分之一。预计今后命题将继续强化“操作—观察—猜想—验证—应用”的探究路径，备考中应重视折纸、作图、测量、建模等实践活动，培养学生规范表达作图过程和解释结论的能力。
几何最值与函数综合题将继续作为压轴区分核心，数形结合与分类讨论要求更高：第 16 题菱形面积差最值、
第 25 题汽车转弯参数范围、第 26 题抛物线综合、第 27 题最短路径探究，四题均涉及最值、范围或存在性问题，需要学生通过画图、转化、建模求解。未来备考应强化“见最值想转化、见范围想边界、见动态想分段”的策略意识，提升在复杂图形中识别全等、相似、特殊三角形和圆性质的能力。
数据分析能力考查趋向综合解释，统计与概率模块保持“一大一小”格局：第 11 题以方差判断稳定性，第 21
题以空气质量数据综合考查平均数、众数、中位数和用样本估计总体，第 22 题以盲盒抽取考查概率计算与树状图应用。三题覆盖数据观念、数据分析和模型观念，要求学生既能准确计算统计量，又能解释结果的实际意义。预计未来该模块将继续以真实调查数据或地方生活素材为载体，强化数据读取、计算与决策解释能力。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能
力
1
单选
3
数与式→实数的概念→相反数的定义
运算能
力
2
单选
3
图形的性质→图形的对称性→轴对称图形的识别
几何直
观
3
单选
3
数与式→科学记数法→用科学记数法表示较大数
数据观
念
4
单选
3
数与式→实数与数轴→实数在数轴上的表示与大小比较
几何直
观
5
单选
3
数与式→实数的估算→无理数的估算
运算能
力
6
单选
3
图形的性质→圆→圆周角定理
推理能
力
7
单选
3
图形的性质→命题与定理→真命题与假命题的判断
推理能
力
8
单选
3
函数→函数图象→动点问题的函数图象（分段函数）
模型观
念
9
填空
3
方程与不等式→一元一次不等式→解一元一次不等式
运算能
力
10
填空
3
数与式→因式分解→提公因式法与公式法综合分解因式
运算能
力
11
填空
3
统计与概率→统计量→方差与稳定性
数据观
念
12
填空
3
图形的性质→平行四边形→平行四边形性质、角平分线、等腰三角形
推理能
力
13
填空
3
图形的变化与综合实践→图形的折叠→矩形折叠中的角度计算
几何直
观
14
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数比例系数 k 的几何意义
直观想
象
15
填空
3
数与式→代数式的最值→用换元法和配方法求代数式最值
运算能
力
16
填空
3
图形的性质→菱形→菱形性质、轴对称、面积最值
推理能
力
17
解答
6
数与式→实数的运算→实数混合运算（特殊角三角函数值、零指数幂、
负整数指数幂）
运算能
力
18
解答
6
方程与不等式→一元二次方程→解一元二次方程（因式分解法）
运算能
力
19
解答
6
数与式→分式的运算→分式的化简求值
运算能
力
20
解答
8
图形的性质→平行四边形→矩形性质与平行四边形判定
推理能
力
21
解答
10
统计与概率→统计图表→平均数、众数、中位数、频数分布、用样本
估计总体
数据分
析
考点模块占比分析
数与式模块（约 32.7%，49 分）：重点考查相反数、科学记数法、实数与数轴、无理数估算、因式分解、代数式最值、实数混合运算、分式化简求值等基础运算，对应第 1、3、4、5、10、15、17、19 题，并与方程与不等式模块共同构成代数基础。该模块以运算能力为核心，强调算理理解与算法程序的统一。
函数模块（约 12%，18 分）：重点考查动点问题的函数图象、反比例函数比例系数的几何意义和二次函数综合，对应第 8、14、26 题。第 26 题以抛物线平移、直线与抛物线交点、相似三角形为载体，体现了函数与几何深度融合的压轴取向。
图形的性质模块（约 15.3%，23 分）：重点考查轴对称图形、圆周角定理、命题与定理、平行四边形性质、矩形与菱形性质等，对应第 2、6、7、12、16、20 题。该模块强调几何直观与推理能力的协调发展。
图形的变化与综合实践模块（约 24.7%，37 分）：重点考查矩形折叠、无刻度直尺与圆规作图、解直角三角形实际应用、几何探究等，对应第 13、23、25、27 题。该模块分值仅次于数与式模块，体现了连云港卷对动手操作、实践探究和综合应用的高度重视。
统计与概率模块（约 15.3%，23 分）：重点考查方差与稳定性、统计图表综合分析、简单随机事件的概率计算，对应第 11、21、22 题。第 21 题以空气质量数据为背景综合考查平均数、众数、中位数和用样本估计总体，要求学生具备数据读取、计算与解释能力。
核心复习策略
夯实代数基础，落实运算与算理双过关
22
解答
10
统计与概率→概率→简单随机事件的概率计算（树状图/列表法）
数据观
念
23
解答
10
图形的变化与综合实践→尺规作图→无刻度直尺与圆规作图、坐标与
图形
几何直
观
24
解答
10
方程与不等式→方程与不等式的应用→一元一次方程与分式方程的实
际应用
模型观
念
25
解答
12
图形的变化与综合实践→解直角三角形→解直角三角形的实际应用、
综合与实践
应用意
识
26
解答
12
函数→二次函数综合→二次函数的图象与性质、平移、相似三角形
综合应
用
27
解答
12
图形的变化与综合实践→几何探究→最短路径问题、等边三角形、圆
的性质、综合与实践
创新意
识
针对相反数、科学记数法、因式分解、分式化简、实数混合运算等高频基础题，每日限时训练 8-10
道，重点纠正符号错误、指数运算失误、分式约分不彻底等问题。
建立“错题归因卡”，将第 5 题无理数估算、第 9 题不等式移项变号、第 18 题一元二次方程漏根等典型失误归类为“程序性错误”或“概念性错误”，每周复盘一次。
强化几何推理与动手操作，构建图形分析思维链
以第 2、6、7、12、20 题为模板，训练“读图—标注已知—寻找全等/相似/特殊图形—写出推理链”四步法，确保每一步都有定理或定义支撑。
对第 13 题折叠、第 23 题尺规作图、第 25 题汽车转弯等综合实践题，先动手操作再规范表达，总结“折叠即轴对称、作图先定目标、实际问题先建模型”的常用策略。
提升函数与建模能力，关注真实情境转化
围绕第 8 题动点函数图象、第 14 题反比例函数 k 的几何意义、第 26 题二次函数综合，建立“情境抽象—变量识别—关系表达—求解验证”的建模流程，强化文字语言、图形语言、符号语言之间的转化。
对第 24 题《九章算术》应用、第 25 题汽车转弯、第 27 题最短路径等跨模块问题，养成画图、分类、分段讨论的习惯，通过列表分析不同阶段变量取值范围，避免“想当然”导致范围错误。
避坑提醒：连云港卷最易踩的雷
×轻视基础运算导致失分：相反数、科学记数法、因式分解、分式方程、不等式组等基础题看似简单，但符号、指数、分母、解集方向最易出错。
×几何证明跳步或依据不清：平行四边形、矩形、菱形、圆的性质等证明题必须写明判定依据，避免因“显然成立”被扣分。
×分类讨论不画图：第 8 题动点分段、第 25 题转弯参数范围、第 27 题最短路径等题，若不画图分类，极易漏解或选错。
×应用题不回归实际意义：第 21 题统计估计、第 22 题概率、第 24 题方程应用等题要注意取整、单位和结论的实际合理性。
一、单选题
1．6 的相反数是（）
A．1
6
B．− 1
6
D．−6
命题透视
核心考点：相反数的定义
命题分析：
情境创设：以实数基本概念为情境，直接考查相反数定义的理解与运用，属于纯数学概念题。
问题设计：题干简洁，设问直接，要求学生准确运用“只有符号不同的两个数互为相反数”进行判断。
考查目标：考查学生对相反数概念的理解和基本运算能力，属于基础层次的数学抽象与运算能力考查。
答案与解析
【答案】D
【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，数的相反数是−，
∴6 的相反数为−6．
知识总结
①相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。②求一个数的相反数：在这个数前面添上“-”号。③解题要点：审题时区分“相反数”“倒数”“绝对值”三个易混概念；注意双重符号化简规则。④拓展关联：相反数常与数轴、绝对值、有理数运算结合出现。
下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（ ）
B．C．D．
命题透视
核心考点：轴对称图形的识别
命题分析：
情境创设：以银行标志图形为背景，将数学对称性知识融入生活情境，体现数学的应用价值。
问题设计：通过四个银行标志图形设置选项，要求学生找出能找到一条直线使图形沿该直线折叠后两边重合的图形。
考查目标：考查学生对轴对称图形定义的理解和几何直观能力，要求学生能在复杂图案中抽
象出对称轴。
答案与解析
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B、C、D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
知识总结
①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。②判断方法：尝试寻找可能的对 称轴，逐一验证；常见轴对称图形有线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆等。③解题要点： 不要仅凭视觉印象，要依据定义严格判断。④拓展关联：银行标志、交通标志、传统图案中常蕴含对称性，可结合美学与数学进行综合赏析。
3．2026 年“五一”假期期间，我市接待游客突破 608 万人次，同比增长 20.51%．数据“608 万”用科学记数法可表示为（）
A．608 × 104B．6.08 × 105C．6.08 × 106D．0.608 × 107
命题透视
核心考点：科学记数法
命题分析：
情境创设：以 2026 年“五一”假期连云港接待游客 608 万人次为背景，将本地旅游数据转化为数学表达问题。
问题设计：给出具体大数“608 万”，要求学生用科学记数法表示，选项设置常见错误形式，考查对科学记数法形式 a×10^n 的理解。
考查目标：考查学生用科学记数法表示大数的能力，以及数据观念，要求学生能从真实数据中抽象出数学表达。
答案与解析
【答案】C
【分析】科学记数法的形式为 × 10，其中 1 ≤ < 10，为整数，解题时先将单位“万”转换为普通数字再进行表示即可．
【详解】解：∵608 万= 6080000，
将 6080000 写成 × 10（1 ≤ < 10，为整数）的形式，可得 = 6.08 ，小数点向左移动了 6 位，
∴ = 6，即 6080000 = 6.08 × 106．
知识总结
①科学记数法：把一个数表示成 a×10^n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数。②确定 n 的方法：看原数变为 a 时小数点移动了多少位，n 的绝对值等于移动位数；原数绝对值大于 10 时，n 为正。③解题要点：先将“万”“亿”等单位换算为普通数字，再确定 a 和 n。④拓展关联：科学记数法广泛应用于人口、资源、旅游数据等大数表示，是数据表达的基础工具。
如图，数轴上的点 A，B，C 分别对应实数 a，b，c．下列结论正确的是（）
A． < B． > C． < D． > +
命题透视
核心考点：实数与数轴、实数大小比较
命题分析：
情境创设：以数轴上三个点的位置关系为背景，考查实数的大小比较和符号判断。
问题设计：给出数轴上点 A、B、C 对应的实数 a、b、c，要求学生判断四个选项中哪个结论正确，涉及数轴、相反数、绝对值等概念。
考查目标：考查学生对实数与数轴对应关系的理解，以及数形结合思想和推理能力。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据数轴可知： < < 0 < ， > > ，即可判断选项 A，B，C，根据 + = + >
即可判断选项 D．
【详解】解：根据数轴可知： < < 0 < ， > > ，故 A 选项错误，B 选项正确，C 选项错误，
∵ + = + > ，
∴D 选项错误．
知识总结
①实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都对应一个实数。②数轴比较大小：右边的数总比左边的数大。③绝对值的几何意义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离。④解题要点：先根据点在数轴上的位置确定各数的正负和绝对值大小，再逐项判断；注意特殊值法可以快速排除错误选项。
9
5．已知 =+ 5，以下对 p 的值估算正确的是（）
A．3 < < 4B．4 < < 5C．5 < < 6D．6 < < 7
命题透视
核心考点：无理数的估算
命题分析：
情境创设：以含无理数的代数式为背景，考查无理数的估算和取值范围判断。
问题设计：先对代数式进行化简，再通过估算无理数的取值范围确定 p 的范围，选项设置考查学生对估算精度的把握。
考查目标：考查学生的运算能力和估算能力，要求学生能灵活运用无理数的有界性进行推理。
答案与解析
【答案】C
【分析】先化简，再估算无理数 5的取值范围，即可推得的范围，得到正确结果．
【详解】解：∵ = 9 + 5，且 9 = 3
∴ = 3 + 5 ，
∵ 4 < 5 < 9，即 2 0，原式= 2 − = − 1 2 − 1，
222
2
∴ 2−2 = 2− = 2 − = 2 − ，
【分析】利用已知条件2 = 对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可．
【详解】解：∵ 2 = ，且, , 都不为 0，
∴ ≠ 0，
知识总结
①换元法：引入新变量代替复杂表达式，简化问题。②配方法：将二次式配成完全平方形式，利用非负性求最值。③解题要点：根据已知条件选择合适的新变量；配方后注意等号成立条件。④拓展关联：代数式最值常与方程、函数、不等式综合考查。
16．如图，菱形???中，∠?? = 60°，?? = 6，点 P 在边??上，且? = 2，Q 为边?上的动点，点 C
关于的对称点为?′．若△ ?′??、△ ?′?的面积分别记为△?′??、△?′?，则△?′?? − △?′?的最大值为．
命题透视
核心考点：菱形性质、轴对称、面积最值
命题分析：
情境创设：以菱形中动点和轴对称为背景，考查面积差最值问题的转化思想。
问题设计：在菱形中，点 P 固定，点 Q 在边上运动，点 C 关于某直线的对称点为 C'，要求学生求两个三角形面积差的最大值，需要通过对称转化将面积差转化为线段最值。
考查目标：考查学生的推理能力、几何直观和模型观念，要求学生能在复杂图形中识别对称
关系并将面积最值转化为距离最值。
答案与解析
【答案】6
【分析】根据△?'?? − △?'? = △?? − △?'?得出当△?′?最小时，即?′最小时，△?′?? − △?′?最大， 再根据?′+ ?′ ≥ ?得出?′最小 = ? − ?′ = 3 3 − 2，由此即可求解．
【详解】解：过点?作? ⊥ ?，垂足为，过点作? ⊥ ?，垂足为?，过点?′作?′ ⊥ ?，垂足为，
∵△?'?? + △?'? − △?? = △?'?，
∴△?′?? − △?′? = △?? − △?′?，
∵菱形???中，∠?? = 60°，?? = 6，
∴? = ?? = ?? = 6，∠?? = ∠?? = 60°，
∴? = ??sin∠?? = 6sin60° = 3 3，
2
∴△?? = 1 × 6 × 3 3 = 9 3．
∴△?′?? − △?′? = 9 3 − △?′?，
又∵= 1 ? ⋅ ?′ = 1 × 6?′ = 3?′，
△?′?22
∴当△?′?最小时，即?′最小时，△?′?? − △?′?最大， 由对称可知：?′= ? = 2，
∴?'在以为圆心 2 为半径的圆弧上运动，
∵? ⊥ ?，
∴?′+ ?′ ≥ ?，
∴当?′在线段?上时，?′取最小值，最小值?′ = ? − ?′， 又∵? ∥ ??，
∴? = ? = 3 3，
∴?′最小 = ? − ?′= 3 3 − 2，
∴△?′?的最小值= 3?′ = 3 × (3 3 − 2) = 9 3 − 6，
∴△?′?? − △?′?的最大值为= 9 3 − (9 3 − 6) = 6．
【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出△?′?? − △?′? = △?? − △?′?，将面积差最大问题转化为
△?′?最小，即?′最小．
知识总结
①菱形性质：四边相等，对角线互相垂直平分，对角线平分一组对角。②轴对称性质：对称点到对称轴距离相等，对应线段相等。③面积转化：利用面积差公式将目标转化为某个线段的最值。④解题要点：识别动点轨迹（如圆弧），利用“点到直线距离最短”或“两点之间线段最短”求最值。
1
3
三、解答题
计算
3
3 2
+ 2026 + π
0 −−1．
命题透视
核心考点：实数混合运算
命题分析：
情境创设：以纯数学运算为情境，考查实数的混合运算能力。
问题设计：给出一个包含特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式等的算式，要求学生计算结果。
考查目标：考查学生的运算能力，要求学生熟练掌握各类实数运算规则并能准确计算。
答案与解析
【答案】0
【分析】根据(3 2)3 = 2, (2026 + )0 = 1, ( 1 )−1 = 3，再计算即可．
3
【详解】解：原式= 2 + 1 − 3 = 0．
知识总结
①特殊角三角函数值：熟记 30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。②零指数幂：a^0=1（a≠0）。
③负整数指数幂：a^(-n)=1/a^n（a≠0）。④二次根式化简：将根号内能开得尽方的因数或因式开出来。⑤
解题要点：按运算顺序逐步计算；注意符号和指数。
解方程 − 1 = 8 − 8．
命题透视
核心考点：解一元二次方程（因式分解法）
命题分析：
情境创设：以纯数学运算为情境，考查一元二次方程的解法。
问题设计：给出一个可因式分解的一元二次方程，要求学生求出方程的根。
考查目标：考查学生解一元二次方程的运算能力，要求学生能根据方程特点选择合适解法。
答案与解析
【答案】1 = 8，2 = 1
【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可．
【详解】解： − 1 = 8 − 8，
− 1 − 8 − 1 = 0，
− 8 − 1 = 0，
− 8 = 0 或 − 1 = 0，
∴ 1 = 8，2 = 1．
知识总结
①解一元二次方程方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。②因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式乘积，右边为 0，再令每个因式等于 0 求解。③解题要点：先尝试移项使右边为 0；分解要彻底；不要漏根。④拓展关联：一元二次方程与二次函数、根的判别式密切相关。
先化简−2 ÷ 2−4+4，再从 3，−1，2 中选取一个合适的数代入求值．
2+
命题透视
核心考点：分式的化简求值
命题分析：
情境创设：以代数式化简求值为情境，考查分式运算和代入求值。
问题设计：要求先化简一个分式表达式，再从给定数值中选取合适的数代入求值，考查运算程序和对分式有意义的理解。
考查目标：考查学生的运算能力和逻辑推理能力，要求学生熟练掌握分式通分、约分及代入求值。
答案与解析
【答案】+1，当 = 3 时，原式= 4
−2
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
【详解】解：−2 ÷ 2−4+4
2+
= − 2 ⋅ + 1
− 2 2
= +1．
−2
∵要使原式有意义，需满足得 ≠ 0，2 + ≠ 0 且 2 − 4 + 4 ≠ 0，
∴ ≠ 0， ≠− 1 且 ≠ 2，
∴选取 = 3．
当 = 3 时，原式= 3+1 = 4．
3−2
知识总结
①分式化简步骤：先因式分解，再通分或约分，化为最简分式。②代入求值：选取使原分式有意义的值代入。③解题要点：代入数值前先化简，可减少计算量；注意分母不能为零、除数不能为零。④易错提醒：选取数值时忽略使分母为零的情况。
如图，在矩形???中，点 E，F 分别在??，?上，且 = ?．求证：四边形?是平行四边形．
命题透视
核心考点：矩形性质与平行四边形判定
命题分析：
情境创设：以矩形中两点分别在两边上且满足某条件为背景，考查平行四边形的判定。
问题设计：在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE=CF，求证四边形 BEDF 是平行
四边形。
考查目标：考查学生的推理能力和对平行四边形判定定理的掌握，要求学生能综合运用矩形性质完成证明。
答案与解析
【答案】证明：∵四边形???是矩形，
∴ ? = ??, ?? = ?，∠? = ∠? = 90°．又∵ = ?，
∴ Rt △ ? ≌ Rt △ ?? HL ．
∴ ? = ?，
∵ ?? = ?，
∴ ?? − ? = ? − ?．即? = ．
∴四边形?是平行四边形．
【分析】根据矩形性质结合 = ?证明 Rt △△ ? ≌ Rt △△ ?? HL ，继而可得? = ，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】略
知识总结
①矩形性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分。②平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分。③解题要点：由矩形性质得到 AD=BC、AD∥BC，结合 AE=CF 推出 DE=BF，再用“一组对边平行且相等”判定。
21．6 月 5 日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内 30 天的空气质量，并对空气质量指数
进行了统计分析．
【收集数据】
43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92
60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60
【整理数据】
规定： ≤ 50 时，空气质量为优；50 < ≤ 100 时，空气质量为良；100 < ≤ 150 时，空气质量为轻微污染．
【分析数据】
此组数据的平均数是 62.5，众数是 c ，中位数是 60．
【解决问题】
(1)填空： =， =， =；
请估计该城市这一年（365 天）中有多少天空气质量达到优；
根据上述统计分析情况，写一条你的想法．
命题透视
核心考点：平均数、众数、中位数、频数分布、用样本估计总体
命题分析：
情境创设：以空气质量监测为背景，考查统计图表的综合分析和数据解释能力。
问题设计：给出 30 天空气质量指数数据，要求填写频数分布表中的未知量、估计全年空气质量为优的天数，并根据统计结果提出想法。
考查目标：考查学生的数据分析能力和数据观念，要求学生能读取统计图表、计算统计量并解释实际意义。
答案与解析
【答案】(1)15，0.1，60
146 天
该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）
【分析】（1）根据频数总和等于总样本数、频率总和为 1、众数的定义逐个求解即可；
利用一年总天数乘以样本中空气质量为优的频率即可；
根据统计结果提出合理结论即可．
空气质量
频数（天数）
频率
优
12
0.4
良
a
0.5
轻微污染
3
b
合计
30
1.0
【详解】（1）解：由题意得： = 30 − 12 − 3 = 15，
= 1 − 0.4 − 0.5 = 0.1，
在这组数据中，60 出现的次数最多，
∴其众数 = 60．
解：365 × 0.4 = 146（天），
答：估计该城市这一年（365 天）中有 146 天空气质量达到优．
解：该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）．
知识总结
①频数分布表：各组频数之和等于样本容量；频率=频数/样本容量。②平均数、众数、中位数：分别反映数据的平均水平、出现次数最多的水平和中间水平。③用样本估计总体：总体中某部分数量≈总体容量×样本中该部分频率。④解题要点：注意从图表中提取关键数据，建立方程求解未知量。
我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅 IP 形象．小明将关于地域特产的
4 个 IP 形象（A 云雾茶、B 豆丹、C 沙光鱼、D 东海水晶），制作成 4 个玩具盲盒，每个盲盒中只有 1 个 IP
形象玩具．
若从这 4 个盲盒中随机抽取 1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是（填序号）；
①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件
若从这 4 个盲盒中随机抽取 2 个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的概率．
命题透视
核心考点：简单随机事件的概率计算（树状图/列表法）
命题分析：
情境创设：以连云港文旅 IP 形象盲盒为背景，考查随机事件和概率计算。
问题设计：第（1）问判断抽取特定盲盒的事件类型；第（2）问用画树状图或列表的方法求抽取两个特定 IP 形象的概率。
考查目标：考查学生的数据观念和模型观念，要求学生能用树状图或列表法列举所有等可能结果并计算概率。
答案与解析
【答案】(1)②
(2)1
6
【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案；
（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：从这 4 个盲盒中随机抽取 1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是：随机事件；
（2）解：树状图如图所示：
由图可以看出一共有 12 种等可能结果，
其中抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的结果有 2 种．
∴ （抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”）= 2 = 1．
126
答：抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的概率是1．
6
知识总结
①事件类型：必然事件、不可能事件、随机事件。②概率公式：P(A)=事件 A 发生的可能结果数/所有可能结果数。③树状图/列表法：适用于两步或两步以上试验，确保不重复、不遗漏。④解题要点：区分“放回”与“不放回”抽取；本题抽取两个盲盒属于不放回。
如图，在平面直角坐标系中，四边形???的顶点分别为?−6,0，10,0，?4,10，?0,8．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
在??边上作一点 P，使? = ，此时点 P 的坐标为；
在?边上作一点 Q，使△ ??和△ 的面积相等．
命题透视
核心考点：无刻度直尺与圆规作图、坐标与图形
命题分析：
情境创设：以平面直角坐标系中四边形为背景，考查无刻度直尺和圆规作图能力。
问题设计：第（1）问在边上作一点使满足某垂直关系，并求坐标；第（2）问在边上作一点使两个三角形面积相等。
考查目标：考查学生的几何直观、推理能力和创新意识，要求学生能利用坐标特征和几何性质完成作图。
答案与解析
【答案】(1)如图所示，点 P 的坐标为
2,9
(2)如图 2 所示．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得在直线 = 2 上，进而待定系数法求得直线??的解析式，令 = 2，
即可求解；
（2）根据题意得出为∠??的角平分线与?的交点，即可求解．
【详解】（1）解：∵? −6,0 ， 10,0
∴在直线 = −6+10 = 2 上，
2
设直线??的解析式为 = + ，代入? 4,10 ，? 0,8
∴ 4 + = 10 ，解得；
= 8
= 1
2
= 8
∴直线??的解析式为 = 1 + 8
2
当 = 2 时， = 1 × 2 + 8 = 9
2
∴ 2,9 ；
解：如图，
∵? −6,0 ， 10,0 ，? 0,8
∴? = 6, ? = 8, = 10
∴?? = ?2 + ?2 = 10
∴?? =
设到??的距离为ℎ1，到?的距离为ℎ2
∵△ ??和△ 的面积相等
∴1 × 10 × ℎ1 = 1 × 10 × ℎ2
2
2
∴ℎ1 = ℎ2
∴在∠??的角平分线上，作∠??的角平分线交?于点，即为所求．
知识总结
①垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。②角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。③面积相等转化：等底等高或底高乘积相等。④解题要点：保留作图痕迹；利用坐标计算验证点的位置；无刻度直尺作图常需借助网格平行线、垂直关系。
某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买 100 亩，价一万．其大意为：今有好田 1 亩价值 300 钱；坏田 7 亩价值 500 钱．今买好田、坏田共 100
亩，价值 10000 钱．
求好田、坏田各买了多少亩？
现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少 50 亩，好田的总产量为 3000kg，坏田的总产量为 6000kg，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的 3 倍，求好田的平均亩产量？
命题透视
核心考点：一元一次方程与分式方程的实际应用
命题分析：
情境创设：以《九章算术》中的“善田恶田”问题为背景，考查方程与分式方程的实际应用。
问题设计：第（1）问根据田亩总数和总价列一元一次方程求好田、坏田亩数；第（2）问根据产量关系列分式方程求好田平均亩产量。
考查目标：考查学生的模型观念和应用意识，要求学生能从古代数学问题中抽象出现代方程模型并求解。
答案与解析
【答案】(1)好田买了25亩，坏田买了175亩
2
2
(2)好田的平均亩产量是 300kg
【分析】（1）设好田有 x 亩，则坏田有 100 − 亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设坏田平均亩产量为kg，则好田平均亩产量是 3kg，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可
求解．
【详解】（1）解：设好田有 x 亩，则坏田有 100 − 亩．
根据题意，得 300 + 500 100 − = 10000．
7
解这个方程，得 = 25．∴ 100 − = 175．
2
2
答：好田买了25亩，坏田买了175亩．
2
2
（2）设坏田平均亩产量为kg，则好田平均亩产量是 3kg．
根据题意，得3000 + 50 = 6000．
3
解方程，得 = 100．
经检验， = 100 是所列方程的解．所以有 3 = 300．答：好田的平均亩产量是 300kg．
知识总结
①列方程解应用题步骤：审题找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验并作答。②分式方程应用：解完后必须检验，既要检验是否是增根，也要检验是否符合实际意义。③解题要点：第（2）问中“好田比坏田少 50 亩”和“好田平均亩产量是坏田的 3 倍”是两个关键等量关系。④拓展关联：《九章算术》中的盈不足、方程、勾股等问题是中华优秀传统文化的重要组成部分。
【生活观察】
小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图 1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，
车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图 2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离）? = 1.5m，前轮转向角即∠?? = 30°，则旋转半径 =m．
【类比探究】
小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图 3，某款家用汽车宽?约为 2m，轴心距?约为 3m．转弯时，若右前轮的转向角即∠? = 20.6°，求此时左前轮的转向角∠??的度数．
（参考数据：tan20.6° ≈ 3，tan26.6° ≈ 1，sin20.6° ≈ 9 ，tan33.6° ≈ 2，tan18.5° ≈ 1）
822533
【综合实践】
如图 4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心?，?与直角拐点共线位置时，其俯视图如图 5 所示．若路宽均为 5m，车辆左侧与实线的距离为 1m．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出 sin的范围．
命题透视
核心考点：解直角三角形的实际应用、综合与实践
命题分析：
情境创设：以自行车和家用汽车转弯行驶为背景，设置“生活观察—类比探究—综合实践”三阶任务，考查解直角三角形的实际应用。
问题设计：第（1）问以自行车转弯抽象为同心圆，求旋转半径；第（2）问以汽车转弯求左前轮转向角；第（3）问以直角弯道求转向角范围。
考查目标：考查学生的应用意识、模型观念和推理能力，要求学生能将实际问题抽象为几何图形并运用解直角三角形求解。
答案与解析
【答案】(1)3
(2)此时左前轮的转向角∠??的度数约为 26.6°
(3)3 < sin < 3 58
8
58
【分析】（1）根据题求得∠? = 30°，根据含 30 度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）先求得 ≈ 8m，进而解 Rt △ ??得出∠?? ≈ 26.6°，根据等角的余角相等得出∠?? = ∠?? ≈
26.6°，即可求解；
分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解．
【详解】（1）解：依题意， ⊥ ?，∠?? = 30°
∴∠? = 90° − ∠?? = 90° − 30° = 60°
∵? ⊥ ?
∴∠? = 90° − ∠? = 90° − 60° = 30°
∵? = 1.5m
∴ = 3m
解：由题意得? ⊥ ?， ⊥ ?，? ⊥ ??，? ⊥ ??
∴ ∠? + ∠? = 90°, ∠? + ∠? = 90°，
∴ ∠? = ∠? = 20.6°.
在 Rt △ ?中，tan∠? = ?
∴ tan20.6° = 3
33
∴ 8 ≈
解得： ≈ 8m
∴ ? = − ? ≈ 8 − 2 = 6m
在 Rt △ ??中, tan∠?? = ??
?
31
∴ tan∠?? = 6 = 2
∴ ∠?? ≈ 26.6°
∵ ∠?? + ∠?? = 90°，∠?? + ∠?? = 90°，
∴ ∠?? = ∠?? ≈ 26.6°.
答：此时左前轮的转向角∠??的度数约为 26.6°.
解：如图，连接，设?，交于点?，当最大时，?点经过点，此时? = ?? = 1
依题意，∠? = ∠? = ，
设? = ，则? = − 1，? = ?? = 3
在 Rt △ ?中，2 = ?2 + ?2
∴2 = − 1 2 + 32
解得： = 5
∴ = ? + ? = 5 + 2 = 7，? = 3,
在 Rt △ ?中，? = ?2 + 2 = 32 + 72 = 58
∴sin = sin∠? = sin∠? = ? = 3 58
?58
当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作?垂直于道路右侧
设道路宽为，依题意， = 5
∴? = ? = + ?? = 5 + 3 = 8
∴sin = sin∠? = sin∠? = ? = 3
?8
综上所述，3 < sin < 3 58
858
知识总结
①解直角三角形：已知直角三角形中的两个元素（至少一边是边），求其他元素。②常用关系：sin、 cs、tan 的定义；勾股定理；两锐角互余。③建模步骤：将实际问题中的距离、角度、方向转化为直角三角形的边和角；必要时作垂线构造直角三角形。④解题要点：注意参考数据的合理选用；第（3）问需分最大和最小两种情况讨论。
26．在平面直角坐标系中，抛物线 = − 2 − （m 为常数）与 x 轴交于点 A，B，点 A 位于点 B
的左侧，与 y 轴交于点 C．若将抛物线向右平移 1 个单位，或向左平移 3 个单位，都经过点3,0．
直接写出抛物线和直线?对应的函数表达式；
若平行于 x 轴的直线 l 与抛物线交于点?1, 1，?2, 2，与直线?交于点3, 3，且1 < 3 < 2，求2 + 2 + 2的取值范围；
123
设抛物线的顶点为 D，连接??，在 x 轴上找一点 P，使以点 P，B，D 为顶点的△ ?与△ ??相似，求点 P 的坐标．
命题透视
核心考点：二次函数的图象与性质、平移、相似三角形
命题分析：
情境创设：以平面直角坐标系中抛物线为背景，综合考查二次函数的性质、平移和相似三角形。
问题设计：第（1）问根据平移条件求抛物线和直线解析式；第（2）问求平行于 x 轴的直线与抛物线、直线交点满足条件时参数的取值范围；第（3）问在 x 轴上找点使三角形相似。
考查目标：考查学生的综合应用能力、推理能力和模型观念，是整卷的代数压轴题，对学生的运算能力、数形结合和分类讨论能力要求最高。
答案与解析
【答案】(1) = − 4 2 − 4 = 2 − 8 + 12； =− 2 + 12
(2)60 ≤ 2 + 2 + 2 < 76
123
(3)点 P 的坐标为 14 , 0 或 −9,0
3
【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点 3,0 分别代入两次平移后的
解析式，解出 m 的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求
出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出?解析式即可．
设直线 l： = ，根据已知条件得出 a 的取值范围，再联立直线 l 与抛物线和直线?，得出2 + 2 = 2 −
12
24 + 8 1 + 2 ，根据抛物线可知1 + 2 = 8 代入2 + 2 = 2 − 24 + 8 1 + 2 ，最后得出2 + 2 + 2 =
12123
1 − 8 2 + 60，最后由二次函数的图象和性质求解即可．
4
连接?，过点 D 作? ⊥ 轴，垂足为 E．根据正切的定义得出∠?? = ∠?，进而可得出点 P 在点
B 的左侧．则存在△ ?? ∽△ ?或△ ?? ∽△ ?．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可
得出答案．
【详解】（1）解：将抛物线向右平移 1 个单位后的解析式变成： = − 1 − 2 − ，将点 3,0 代入 = − 1 − 2 − 得：0 = 3 − 1 − 2 − ，
解得 = 1 或 = 4，
将抛物线向左平移 3 个单位后的解析式变成： = + 3 − 2 − ，将点 3,0 代入 = + 3 − 2 − 得：0 = 3 + 3 − 2 − ，
解得 = 4 或 = 9，
∴公共解为 = 4，
把 = 4 代入 = − 2 − ，
得出抛物线对应的函数表达式为 = − 4 2 − 4 = 2 − 8 + 12；令 = 0，
则 0 = 2 − 8 + 12，解得1 = 2，2 = 6，
∴? 2,0 ， 6,0 ，令 = 0，则 = 12，
∴? 0,12 ，
设?的解析式为 = + ，则 6 + = 0 ，
= 12
解得 =− 2
= 12
∴直线?对应的函数表达式为 =− 2 + 12．
解：如图 1，设直线 l： = ，
∵ 1 < 3 < 2，? 0,12 ，
∴ 0 < < 12．
∵直线 l 与抛物线和直线?都相交，
1
2 − 81 + 12 = ,
∴可列方程
2 − 82 + 12 = ,
2
−23 + 12 = .
得2 + 2 − 8 1 + 2 + 24 = 2．
12
∴ 2 + 2 = 2 − 24 + 8 1 + 2 ，
12
∵抛物线的对称轴是 = 4，
∴ 1 + 2 = 8，
∴ 2 + 2 = 2 + 40．
12
3
又 = 6 − ，
2
∴ 2 + 2 + 2 = 2 + 40 + 6 −
2 = 1
− 8 2 + 60．
12324
∵1 > 0，
4
∴抛物线开口向上，又∵ 0 < < 12，
∴当 = 8 时，y 取得最小值为 60，当 = 0 时，y 取得最大值为1
4
0 − 8 2 + 60 = 76，
∴ 60 ≤ 1
4
− 8 2 + 60 < 76．
即 60 ≤ 2 + 2 + 2 < 76．
123
解：如图 2，连接?，过点 D 作? ⊥ 轴，垂足为 E．
∵抛物线 = − 4 2 − 4，
∴顶点? 4, − 4 ．
∴? =4 − 6 2 + −4 − 0 2 = 2 5，
由（1）可知，? = 12， = 6，? = 4， = 2，? = 4，? =0 − 6 2 + 12 − 0 2 = 6 5，
∵tan∠?? = 12 = 2，tan∠? = 4 = 2
62
∴ tan∠?? = tan∠? = 2，
∴ ∠?? = ∠?．
∵△ ?与△ ??相似，
∴点 P 在点 B 的左侧．
∴存在△ ?? ∽△ ?或△ ?? ∽△ ?．当△ ?? ∽△ ?时，
则? = ，
??
得 4 =
6 52 5
∴ = 4．
3
∴点 14 , 0 ．
3
当△ ?? ∽△ ?时，有? = ?，
?
得 4 = 2 5
6 5
∴ = 15，
∴点 −9,0 ．
综上，使△ ?与△ ??相似的点 P 的坐标为 14 , 0 或 −9,0 ．
3
知识总结
①二次函数平移：遵循“左加右减、上加下减”原则。②待定系数法：设出解析式，代入已知点坐标求解。③相似三角形性质：对应边成比例、对应角相等。④解题要点：第（2）问注意直线与抛物线、直线都相交的条件限制；第（3）问需分类讨论对应顶点关系。⑤拓展关联：二次函数综合常与面积、最值、存在性问题结合，是中考压轴题的重要类型。
27．【问题情境】
在锐角△ ??中，求作一点 P，使? + + ?的值最小．下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理．
如图 1，以??为边向外作等边三角形???，再作△ ???的外接圆⊙ ，连接?，与⊙ 交于点 P．则点 P 即为求作的点．
在?上取一点′，使′ = ?，连接?′，在⊙ 中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠?′ = ① = 60°，故△ ?′是等边三角形．所以? = '．
进而可证得△ ??′≌△ ??．所以? = ?′．所以 + ? + ? = + ′+ ′? = ?．
由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，
?的长即为? + + ?的最小值．
【方法迁移】
如图 2，已知点 A，B 到直线 l 的距离? = = 4， = 6．在图中找一点 P，使点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值．
【拓展应用】
如图 3，若村庄 A，B，C，D 的连线构成一个矩形，且? = ，? = （ < < 3）．
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含 a，b 的代数式表示）．
命题透视
核心考点：最短路径问题、等边三角形、圆的性质、综合与实践
命题分析：
情境创设：以锐角三角形中求一点使距离和最小（费马点型问题）为起点，通过“问题情境
—方法迁移—拓展应用”三阶任务，考查几何探究和最短路径问题。
问题设计：第（1）问阅读材料完成填空；第（2）问将方法迁移到点到两点和一直线的距离之和最小问题；第（3）问将方法应用到矩形区域内铺设天然气管道的最短路径设计。
考查目标：考查学生的创新意识、推理能力和综合应用能力，是整卷的几何探究压轴题，要求学生能理解“旋转构造等边三角形+外接圆+垂线段最短”的思想方法。
答案与解析
【答案】(1)①∠???；②两点之间线段最短
(2)作法：如图，连接?，在?上方作等边三角形??，再作△ ??的外接圆，过点 D 作?? ⊥ ，垂足为
M，??交?于 N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点．
点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和最小值为 3 3 + 4；
(3)管道路线总长度最短为 + 3．
设计方案：如图所示，分别以边?和边??向矩形外侧作等边三角形??和等边三角形???，再作△ ??
和△ ???的外接圆．连接 M，N，分别交两圆于点1和点2，其中铺设路线为?1，1，?2，?2，12．
【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解；
连接?，在?上方作等边三角形??，再作△ ??的外接圆，过点 D 作?? ⊥ ，垂足为 M，??交?于 N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点．证明四边形?是平行四边形，利用平行，可证?? ⊥ ?，根据等边三角形的性质，可求得∠?? = 30°，证明出?是外接圆的直径，接着证明此时? + + ? = ??达到最小，再解 Rt △ ???，求得??、??，得出答案；
分别以边?和边??向矩形外侧作等边三角形??和等边三角形???，再作△ ??和△ ???的外接圆，连接 M，N，分别交两圆于点1和点2，结合（2）可得出??的长即为管道路线总长度的最小值，即可求解．
【详解】（1）略
作法：如图 1，连接?，在?上方作等边三角形??，再作△ ??的外接圆，过点 D 作?? ⊥ ，垂足为 M，??交?于 N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点．
∵? ⊥ , ⊥ ，
∴? ∥ ，
∵? = ，
∴四边形?是平行四边形，
∴? ∥ ，? = = 6，又?? ⊥ ，即∠?? = 90°，
∴∠?? = ∠?? = 90°，
∵? ∥ ，?? ⊥ ，? = 4，? ⊥ ，
∴?? = ? = 4，
∵三角形??是等边三角形，?? = ?，∠?? = 90°，
∴∠?? = ∠? = 30°，∠?? = 60°，
∵∠? = ∠? = 30°，
∴∠?? = ∠? + ∠?? = 90°，
∴?为△ ??的外接圆的直径，
∵∠?? = 90°，∠?? = 30°，
∴? = 1 ?，同理 = 1 ?，
22
∴此时? + + ? = 1 ? + 1 ? + ? = ? + ? = ??，
22
∴此时点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和达到最小，最小值为??的长．
∵△ ??是等边三角形，
∴ ∠?? = 60°，?? = ? = 6．
在 Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ sin∠?? = 6 × sin60° = 6 × 3 = 3 3，
2
∴ ?? = ?? + ?? = 3 3 + 4．
∴点 P 到点 A、点 B、直线 l 的距离之和最小值为 3 3 + 4．
解：如图所示，分别以边?和边??向矩形外侧作等边三角形??和等边三角形???，再作△ ??和
△ ???的外接圆．连接 M，N，分别交两圆于点1和点2，连接?1，1，?2，?2，设??交?于点，交??于点，其中铺设路线为?1，1，?2，?2，12．
由（2）可知，? ⊥ ??, ?? ⊥ ??，?1 = 1 = 1 ?1，?2 = ?2 = 1 2?， = ?? = ，
22
∴铺设的管道长度为：?1 + 1 + 12 + ?2 + ?2 = ?1 + 12 + 2? = ??，
∴此时管道长度达到最小，最小值为??，
∵三角形??为等边三角形，? = ，
∴∠?? = 60°，?? = ，
∵? ⊥ ??，
∴? = ??sin60° = 3 ，同理可求得?为 3 ，
22
∴?? = ? + ? + = 2 × 3 + = 3 + ，
2
∴管道路线总长度的最小值为 + 3．
知识总结
①费马点思想：通过向外作等边三角形并构造外接圆，将折线距离转化为直线距离，利用“两点之间线段最短”求最小值。②方法迁移：将点到两定点距离和最小问题推广到点到两定点和一直线距离和最小问题。③拓展应用：矩形区域内管道最短铺设可分解为两个“点到两点和一直线”子问题。④解题要点：理解构造等边三角形和外接圆的作用；注意等边三角形的边长选择与管道总长的关系。