安徽省芜湖市2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷（含答案）

这是一份安徽省芜湖市2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据90,92,94,97,99的第75百分位数为( )
A. 90B. 92C. 94D. 97
2.已知复数z满足z1+i=2，则复数z的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.某中学高一年级300人，高二年级400人，高三年级300人，为了解该校学生对食堂的满意程度，现按照各年级人数的比例分配进行分层抽样，已知抽取高二学生20名，则本次抽取的样本容量为( )
A. 15B. 30C. 40D. 50
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
B. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C. 若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β
D. 若α∩β=m，m//n，n⊄α，则n//α
5.已知向量a= 3,1，b=1,0，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. 33bB. bC. 3bD. 2b
6.《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为4，则该方亭的体积为( )
A. 104 23B. 92 23C. 80 23D. 68 23
7.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是6”，事件B=“两次掷出的点数相同”，事件C=“第一次掷出的点数是偶数”，则( )
A. PA=16B. A与B相互独立C. B与C相互独立D. A与C相互独立
8.已知a，b是两个非零向量，且a+3b=a−b=1，则a+b+2b的最大值为( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组从小到大排列的样本数据，记为a1,a2,a3,a4,a5.现去掉a1,a5后，得到新数据a2,a3,a4，则下列说法正确的是( )
A. 新数据的中位数与原数据的中位数相等B. 新数据的众数与原数据的众数一定相同
C. 新数据的极差不大于原数据的极差D. 新数据的方差不小于原数据的方差
10.如图，在▵ABC中，AB=2，BC=3，B=π3，点D为AB的中点，点E在BC上，且BE=2EC，线段AE与CD相交于点F，则下列说法正确的是( )
A. AC= 7B. AE=13AB+23AC
C. AE⋅DC=3D. BF=14BA+12BC
11.已知四面体ABCD中，AB=CD= 2，AC=BD=BC=AD= 5，则下列说法正确的是( )
A. 异面直线AC与BD所成角的余弦值为45
B. 四面体ABCD的外接球的表面积为6π
C. 若平面α过棱AB,AD,AC的中点，则平面α与四面体ABCD的内切球相切
D. 若P为△ACD内部(包含边界)的动点，且直线BP与平面ACD所成角的正切值为4 5，则P点轨迹的长度小于2 515π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知PA=0.5，PB=0.3，如果A，B互斥，则PA∪B= ．
13.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=3，acsB=2c−bcsA，则▵ABC面积的最大值为 ．
14.正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为12，E，F分别为线段DD′和线段A′C上的点，若D′E=3，A′F=37A′C，则平面AEF截正方体ABCD−A′B′C′D′所得截面的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=1,2，b=k,1，c=2,3．
(1)若a与b共线，求k的值；
(2)若a⊥b，求b与c夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
甲、乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，计分规则如下：①两人手势相同(平局)：每人各+1分；②两人手势不同，胜者+2分，败者−1分.比赛一共进行两局，两人之间及每局游戏结果均相互独立．
(1)求甲单局得2分的概率P1；
(2)求甲得3分的概率P2．
17.(本小题15分)
为响应国家“全民健身”号召，某校为了解学生每周体育锻炼时长情况，随机抽取100名学生进行调查，将他们的周锻炼时长(单位：分钟)进行统计，并得到如下频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
(i)估计样本中100名学生周锻炼时长的平均数；
(ii)若落在40,50内数据的方差是2；落在50,60内数据的方差是3，求这两组数据合并后的平均数z和方差s2．
18.(本小题17分)
如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60 ∘，AD⊥AE，AE=2 3，将▵ADE沿AD翻折至▵ADP，如图2．
(1)若M为PD中点，证明：PB//平面MAC；
(2)当AP⊥AB时．
(i)证明：平面PBD⊥平面PAC；
(ii)求平面PCD与平面PAB所成角的正切值．
19.(本小题17分)
布洛卡点由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特征，是几何学中兼具美学与实用价值的点．定义如下：设P在▵ABC内部，且∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为▵ABC的布洛卡点，角θ为▵ABC的布洛卡角．如图，在▵ABC中，a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，且a2+b2=3c2.记▵ABC的面积为S，外接圆半径为R，点P为▵ABC的布洛卡点，θ为▵ABC的布洛卡角．

(1)求csC的最小值；
(2)证明：csθsinθ=csAsinA+csBsinB+csCsinC；
(3)利用(1)和(2)的结论：
(i)求PAc+PBa+PCb的最小值；
(ii)证明：S